✨Phương trình Schrödinger

Phương trình Schrödinger là một phương trình cơ bản của vật lý lượng tử mô tả sự biến đổi trạng thái lượng tử của một hệ vật lý theo thời gian, thay thế cho các định luật Newton và biến đổi Galileo trong cơ học cổ điển.

Trong cơ học lượng tử, trạng thái lượng tử của một hệ vật lý được mô tả đầy đủ nhất bởi một vector trạng thái thí dụ như hàm sóng trong không gian cấu hình, nghiệm của phương trình Schrödinger. Nghiệm của phương trình Schrödinger không chỉ mô tả các hệ nguyên tử và hạ nguyên tử (nguyên tử, phân tử, hạt nhân, điện tử và các hạt cơ bản khác) mà cả các hệ vĩ mô, thậm chí có thể là toàn bộ Vũ trụ. Phương trình này được đặt tên theo nhà vật lý người Áo Erwin Schrödinger, người đã lần đầu tiên thiết lập nó vào năm 1926.

Phương trình Schrödinger có nhiều dạng khác nhau, tùy thuộc vào các điều kiện khác nhau của hệ vật lý. Mục này nhằm mục đích giới thiệu phương trình Schrödinger cho trường hợp tổng quát và cho các trường hợp đơn giản hơn thường gặp.

Hệ lượng tử tổng quát

Đối với một hệ lượng tử tổng quát:

::$i\backslash hbar\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\; \backslash Psi(\backslash mathbf\{r\},\backslash ,t)\; =\; \backslash hat\; H\; \backslash Psi(\backslash mathbf\{r\},t)$

trong đó : $i$ là đơn vị ảo : $\backslash Psi(\backslash mathbf\{r\},t)$ là hàm sóng, biên độ xác suất cho các cấu hình khác nhau của hệ : $\backslash hbar$ là hằng số Planck thu gọn (thường được chuẩn hóa về đơn vị trong các hệ đơn vị tự nhiên) : $\backslash hat\; H$ là toán tử Hamilton.

Trường hợp một hạt trong không gian ba chiều

Đối với một hệ gồm một hạt trong ba chiều:

::$i\backslash hbar\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\; \backslash Psi(\backslash mathbf\{r\},\backslash ,t)\; =\; -\backslash frac\{\backslash hbar^2\}\{2m\}\backslash nabla^2\backslash Psi(\backslash mathbf\{r\},\backslash ,t)\; +\; V(\backslash mathbf\{r\})\backslash Psi(\backslash mathbf\{r\},\backslash ,t)$

trong đó : $\backslash mathbf\{r\}\; =\; (x,y,z)$ là tọa độ của hạt trong không gian ba chiều, : $\backslash Psi(\backslash mathbf\{r\},t)$ là hàm sóng, biên độ xác suất để hạt có một tọa độ xác định r ở một thời điểm xác định bất kì t. : $m$ là khối lượng của hạt. : $V(\backslash mathbf\{r\})$ là thế năng không phụ thuộc thời gian của hạt ở tọa độ r. :* $\backslash nabla^2$ là toán tử Laplace.

Xây dựng phương trình

Các giả thiết

:(1)Năng lượng toàn phần E của một hạt

::$E\; =\; T\; +\; V\; =\; \backslash frac\{p^2\}\{2m\}+V$ :::Đây là biểu thức cổ điển cho một hạt có khối lượng m trong đó năng lượng toàn phần E là tổng của động năng, $T\; =\; \backslash frac\{p^2\}\{2m\}$, và thế năng V. Xung lượng của hạt là p, hay tích của khối lượng và vận tốc. Thế năng là một hàm biến đổi theo vị trí và cũng có thể biến đổi cả theo thời gian.

:Chú ý rằng năng lượng E và xung lượng p xuất hiện trong các hệ thức sau:

:(2) Giả thuyết về lượng tử ánh sáng của Max Planck năm 1905, khẳng định rằng năng lượng của một photon tỷ lệ với tần số của sóng điện từ tương ứng:

::$E\; =\; h\; f\; =\; \{h\; \backslash over\; 2\backslash pi\}\; (2\backslash pi\; f)\; =\; \backslash hbar\; \backslash omega\; \backslash ;$ :::trong đó tần số f và năng lượng E của lượng tử ánh sáng (photon) được liên hệ bởi hăng số Planck h, :::và $\backslash omega\; =\; 2\backslash pi\; f\backslash ;$ là tần số góc của sóng.

:(3) Giả thuyết de Broglie năm 1924, phát biểu rằng bất kì một hạt nào cũng có thể liên quan đến một sóng, được biểu diễn một cách toán học bởi hàm sóng Ψ, và xung lượng p của hạt được liên hệ với bước sóng λ của sóng liên kết bởi hệ thức:

::$p\; =\; \{\; h\; \backslash over\; \backslash lambda\; \}\; =\; \{\; h\; \backslash over\; 2\backslash pi\; \}\; \{2\backslash pi\; \backslash over\; \backslash lambda\}\; =\; \backslash hbar\; k\backslash ;$ :::trong đó $\backslash lambda\backslash ,$ là bước sóng và $k\; =\; 2\backslash pi\; /\; \backslash lambda\backslash ;$ là hằng số sóng hay số sóng góc.

:Biểu diễn p and k như là những vector, chúng ta có ::$\backslash mathbf\{p\}\; =\backslash hbar\; \backslash mathbf\{k\}\backslash ;$

:(4) Giả thiết rằng phương trình sóng phải là tuyến tính. Ba giả thuyết ở trên cho phép chúng ta có thể xây dựng được phương trình cho các sóng phẳng. Để kết luận rằng phương trình đó cũng đúng cho một trường hợp tổng quát bất kì đòi hỏi hàm sóng phải tuân theo nguyên lý chồng chất trạng thái.

Phương trình cho sóng phẳng đơn sắc

Schrödinger đã có một cách nhìn sâu sắc, vào cuối năm 1925, đó là phải biểu diễn pha của một sóng phẳng như là một thừa số pha phức: ::$\backslash Psi(\backslash mathbf\{x\},t)\; =\; Ae^\{i(\backslash mathbf\{k\}\backslash cdot\backslash mathbf\{x\}-\; \backslash omega\; t)\}$

và nhận ra rằng vì :: $\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\; \backslash Psi\; =\; -i\backslash omega\; \backslash Psi$ nên :: $E\; \backslash Psi\; =\; \backslash hbar\; \backslash omega\; \backslash Psi\; =\; i\backslash hbar\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\; \backslash Psi$ và tương tự vì :: $\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\}\; \backslash Psi\; =\; i\; k\_x\; \backslash Psi$ và :: $\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; x^2\}\; \backslash Psi\; =\; -\; k\_x^2\; \backslash Psi$ chúng ta tìm ra: :: $p\_x^2\; \backslash Psi\; =\; (\backslash hbar\; k\_x)^2\; \backslash Psi\; =\; -\backslash hbar^2\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; x^2\}\; \backslash Psi$ do đó, đối với sóng phẳng, ta được: :: $p^2\; \backslash Psi\; =\; (p\_x^2\; +\; p\_y^2\; +\; p\_z^2)\; \backslash Psi\; =\; -\backslash hbar^2\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; x^2\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; y^2\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; z^2\}\backslash right)\; \backslash Psi\; =\; -\backslash hbar^2\backslash nabla^2\; \backslash Psi$ Và bằng cách thế những biểu thức cho năng lượng và xung lượng này vào công thức cổ điển $E\; =\; \backslash frac\{p^2\}\{2m\}+V$ chúng ta thu được phương trình nổi tiếng của Schrödinger cho trường hợp một hạt trong không gian ba chiều với sự có mặt của một trường thế năng V:

::$i\backslash hbar\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\backslash Psi=-\backslash frac\{\backslash hbar^2\}\{2m\}\backslash nabla^2\backslash Psi\; +\; V\backslash Psi$

Phương trình này đã được tổng quát hóa thành một tiên đề của cơ học lượng tử, nghĩa là coi nó là đúng cho mọi trường hợp mà không thể chứng minh được bằng lý thuyết mà chỉ có thể kiểm chứng bằng thực nghiệm. Phương trình Schrödinger đã đưa ra được nhiều tiên đoán phù hợp với thực tế và được kiểm định là đúng cho vô số trường hợp khác nhau.