✨Toán tử Laplace

Trong toán học và vật lý, toán tử Laplace hay Laplacian, ký hiệu là $\backslash Delta\backslash ,$  hoặc $\backslash nabla^2$  được đặt tên theo Pierre-Simon de Laplace, là một toán tử vi phân, đặc biệt trong các toán tử elliptic, với nhiều áp dụng. Trong vật lý, nó được sử dụng trong mô tả của quá trình truyền sóng, quá trình truyền nhiệt và tạo nên phương trình Helmholtz. Nó cũng có vai trò quan trọng trong tĩnh điện và cơ học chất lưu, thành phần chính trong phương trình Laplace và phương trình Poisson. Trong cơ học lượng tử, nó đại diện cho động năng trong phương trình Schrödinger. Trong toán học, hàm số nào mà bằng không dưới toán tử Laplace được gọi là hàm điều hòa; toán tử Laplace ở trung tâm của lý thuyết Hodge và trong các kết quả của de Rham cohomology.

Định nghĩa

Toán tử Laplace là toán tử vi phân bậc 2 trong không gian Euclid n-chiều, định nghĩa như là div ($\backslash nabla\backslash cdot$) của gradient ($\backslash nabla\; f$). Do đó nếu f là một hàm số thực có đạo hàm bậc 2, thì Laplacian của f được định nghĩa bởi

:$\backslash Delta\; f\; =\; \backslash nabla^2\; f\; =\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash nabla\; f,$   (1)

Nói một cách tương đương, Laplacian của f là tổng của các đạo hàm riêng bậc 2 thuần túy trong tọa độ Descartes $x\_i$:

:$\backslash Delta\; f\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash frac\; \{\backslash partial^2\; f\}\{\backslash partial\; x^2\_i\}.$   (2)

Biểu diễn trong các tọa độ khác nhau

Trong hai chiều

Toán tử Laplace trong không gian hai chiều được viết như là

:$\backslash Delta\; f\; =\; \backslash frac\{\backslash partial^2f\}\{\backslash partial\; x^2\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; f\}\{\backslash partial\; y^2\}$

với x và y là tọa độ Descartes trong mặt phẳng xy.

Trong tọa độ cực,

:$\backslash Delta\; f\; =\; \{1\; \backslash over\; r\}\; \{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; r\}\; \backslash left(r\; \{\backslash partial\; f\; \backslash over\; \backslash partial\; r\}\; \backslash right)$

• {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2} .

Trong ba chiều

Trong không gian 3 chiều, người ta thường viết toán tử Laplace sử dụng nhiều hệ tọa độ khác nhau.

Trong tọa độ Descartes,

:$\backslash Delta\; f\; =\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; f\}\{\backslash partial\; x^2\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; f\}\{\backslash partial\; y^2\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; f\}\{\backslash partial\; z^2\}.$

Trong tọa độ trụ,

:$\backslash Delta\; f\; =\; \{1\; \backslash over\; \backslash rho\}\; \{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; \backslash rho\}\; \backslash left(\backslash rho\; \{\backslash partial\; f\; \backslash over\; \backslash partial\; \backslash rho\}\; \backslash right)$

• {1 \over \rho^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}
• {\partial^2 f \over \partial z^2 }.

Trong tọa độ cầu:

:$\backslash Delta\; f\; =\; \{1\; \backslash over\; r^2\}\; \{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; r\}\; \backslash left(r^2\; \{\backslash partial\; f\; \backslash over\; \backslash partial\; r\}\; \backslash right)$

• {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right)
• {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}.

($\backslash theta\; \backslash$ là góc đo từ cực Bắc và $\backslash phi$ là kinh độ).Biểu thức $\{1\; \backslash over\; r^2\}\; \{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; r\}\; \backslash left(r^2\; \{\backslash partial\; f\; \backslash over\; \backslash partial\; r\}\; \backslash right)$ có thể được thay bằng biểu diễn tương đương $\{1\; \backslash over\; r\}\; \{\backslash partial^2\; \backslash over\; \backslash partial\; r^2\}\; \backslash left(r\; f\; \backslash right)$.

Không gian N chiều

Trongtọa độ cầu trong $N$ chiều, với cách đặt tham số $x=r\backslash theta\; \backslash in\; \{\backslash mathbb\; R\}^N$ với $r\; \backslash in\; [0,+\backslash infty)$ và $\backslash theta\; \backslash in\; S^\{N-1\}$,

:$\backslash Delta\; f\; =\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; f\}\{\backslash partial\; r^2\}$

• \frac{N-1}{r} \frac{\partial f}{\partial r}
• \frac{1}{r^2} \Delta_{S^{N-1 f

mà $\backslash Delta\_\{S^\{N-1$ là toán tử Laplace–Beltrami trên mặt cầu trong không gian $N-1$ (còn gọi là Laplacian cầu). Người ta cũng có thể viết $\{\backslash partial^2\; f\; \backslash over\; \backslash partial\; r^2\}$

• \frac{N-1}{r} \frac{\partial f}{\partial r} một cách tương đương như là $\backslash frac\{1\}\{r^\{N-1\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; r\}\; \backslash Bigl(r^\{N-1\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; r\}\; \backslash Bigr).$

Các hằng đẳng thức

• Nếu f và g là hai hàm số, thì Laplacian của tích fg sẽ là

:$\backslash Delta(fg)=(\backslash Delta\; f)g+2((\backslash nabla\; f)\backslash cdot(\backslash nabla\; g))+f(\backslash Delta\; g).$

Trong trường hợp đặc biệt khi f là một hàm phụ thuộc vào bán kính $f(r)$ và g là một hàm cầu điều hòa, $Y\_\{lm\}(\backslash theta,\backslash phi)$. Ta thường gặp trường hợp đặc biệt này trong nhiều mô hình vật lý. Gradient của $f(r)$ là một vectơ theo hướng bán kính và gradient của một hàm chỉ phụ thuộc vào góc là tiếp tuyến với véctơ bán kính, do đó

:$2(\backslash nabla\; f(r))\backslash cdot(\backslash nabla\; Y\_\{lm\}(\backslash theta,\backslash phi))=0.$

Thêm nữa, hàm cầu điều hòa có tính chất đặc biệt là eigenfunction của toán tử Laplacian trong tọa độ cầu.

:$\backslash Delta\; Y${\ell m}(\theta,\phi) = -\frac{\ell(\ell+1)}{r^2} Y{\ell m}(\theta,\phi).

Do đó,

:$\backslash Delta(f(r)Y${\ell m}(\theta,\phi)) = \left(\frac{d^2f(r)}{dr^2} + \frac{2}{r} \frac{df(r)}{dr} - \frac{\ell(\ell+1)}{r^2} f(r)\right)Y{\ell m}(\theta,\phi).