✨Phương trình Helmholtz

phải|nhỏ|Two sources of radiation in the plane, given mathematically by a function $f$ which is zero in the blue region. phải|nhỏ|The [[real part of the resulting field $A,$ $A$ is the solution to the inhomogeneous Helmholtz equation $(\backslash nabla^2\; +\; k^2)\; A\; =\; -f.$]] Phương trình Helmholtz, đặt tên theo Hermann von Helmholtz, là một phương trình vi phân riêng phần elliptic

:$(\backslash nabla^2\; +\; k^2)\; A\; =\; 0$

với $\backslash nabla^2$ là toán tử Laplace, $k$ là hằng số, và hàm số chưa biết $A=A(x,\; y,\; z)$ được định nghĩa trên không gian Euclid n-chiều Rⁿ (thông thường n=1, 2, hay 3, khi nghiệm của phương trình này có ý nghĩa vật lý).

Xuất phát của phương trình

Phương trình Helmholtz thường xuất hiện trong các nghiên cứu về các bài toán vật lý liên quan đến phương trình đạo hàm riêng trong cả không gian và thời gian. Phương trình Helmholtz, đại diện cho dạng không phụ thuộc vào thời gian của phương trình nguyên thủy, thường là kết quả của việc áp dụng kĩ thuật phân tách biến để làm giảm độ phức tạp của việc phân tích bài toán.

Ví dụ, ta xét phương trình sóng:

:$\backslash left(\backslash nabla^2-\backslash frac\{1\}\{c^2\}\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\{t\}^2\}\backslash right)u(\backslash mathbf\{r\},t)=0.$

Phân tách biến bắt đầu bằng cách giả sử rằng hàm sóng u(t) thật sự là có thể phân tách được:

:$u(\backslash mathbf\{r\},t)=A\; (\backslash mathbf\{r\})\; \backslash cdot\; T(t)$ và :$T(t)\; =\; e^\{i\backslash omega\; t\}.$ Thay thế dạng này vào phương trình sóng, và sau đó đơn giản, ta có 2 phương trình vi phân:

:$\backslash nabla^2\; A\; +\; \backslash frac\{\backslash omega^2\}\{c^2\}\; A\; =\; (\backslash nabla^2\; +\; k^2)\; A\; =\; 0$ và $\backslash omega\; \backslash \; \backslash stackrel\{\backslash mathrm\{def\{=\}\backslash \; kc$ với $k$ là vectơ sóng và ω là tần số góc. Do vậy ta có thể viết lại như là:

:$\backslash nabla^2\; A\; +\; k^2\; A\; =\; (\backslash nabla^2\; +\; k^2)\; A\; =\; 0.$

Để ý là do bản chất của ansatz (nghiệm phỏng đoán) cho $T,$ $T$ thỏa mãn:

:$\backslash frac\{d^2\{T\{d\{t\}^2\}\; +\; \backslash omega^2T\; =\; \backslash left(\{\; d^2\; \backslash over\; dt^2\; \}\; +\; \backslash omega^2\; \backslash right)\; T\; =\; 0,$ với $A\; =\; e^\{-i\backslash mathbf\{k\}\backslash cdot\backslash mathbf\{r.$

Bây giờ ta có phương trình Helmholtz cho biến không gian $\backslash mathbf\{r\}$ và một phương trình vi phân bậc 2 về thời gian. Nghiệm theo thời gian sẽ là một tổ hợp tuyến tính của các hàm sine và cosine, với tần số góc ω, trong khi dạng của nghiệm trong không gian sẽ phụ thuộc vào các điều kiện biên.

Hoặc theo cách khác, sử dụng các biến đổi tích phân, chẳng hạn như biến đổi Laplace hay biến đổi Fourier, thường được sử dụng để biến đổi một phương trình đạo hàm riêng hyperbolic thành một dạng của phương trình Helmholtz.

Bởi vì mối liên quan với phương trình sóng, phương trình Helmholtz thường nảy sinh trong các bài toán của các ngành vật lý như các nghiên cứu về bức xạ điện từ trường, địa chấn(seismology), và lan truyền âm thanh.

Giải phương trình Helmholtz bằng phương pháp phân tách biến

Tấm mỏng rung động

Dạng tương tự của sợi dây rung động trong không gian 2 chiều là một tấm mỏng rung động, với cạnh của tấm được kẹp lại bất động. Phương trình Helmholtz được giải cho nhiều dạng cơ bản trong thế kỉ thứ 19: tấm mỏng hình chữ nhật bởi Siméon Denis Poisson vào năm 1829, tấm hình tam giác đều bởi Gabriel Lamé vào năm 1852, và tấm mỏng hình tròn bởi Alfred Clebsch vào năm 1862. Hình mặt trống bầu dục được nghiên cứu bởi Emile Mathieu, dẫn đến phương trình vi phân Mathieu. Các hình dạng giải được đều tương ứng với những hình dạng mà bảng billiard động là tích phân được, nghĩa là không hỗn loạn.

Nếu miền là một hình tròn đường kính a, thường người ta đổi sang tọa độ cực r và θ. Phương trình Helmholtz bây giờ có dạng

:$A\_\{rr\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{r\}\; A$r + \frac{1}{r^2}A{\theta\theta} + k^2 A = 0.

Chúng ta có thể giả sử điều kiện biên là A biến mất nếu r=a; do vậy

:$A(a,\backslash theta)\; =\; 0.\; \backslash ,$

Phương pháp phân tích biến dẫn đến nghiệm thử có dạng

:$A(r,\backslash theta)\; =\; R(r)\backslash Theta(\backslash theta),\; \backslash ,$

với Θ phải tuần hoàn với chu kì 2π. Điều này dẫn tới

:$\backslash Theta\text{'}\text{'}\; +n^2\; \backslash Theta\; =0,\; \backslash ,$

và :$r^2\; R\text{'}\text{'}\; +\; r\; R\text{'}\; +\; r^2\; k^2\; R\; -\; n^2\; R=0.\; \backslash ,$

Do điều kiện tuần hoàn nên ta có

:$\backslash Theta\; =\; \backslash alpha\; \backslash cos\; n\backslash theta\; +\; \backslash beta\; \backslash sin\; n\backslash theta,\; \backslash ,$

và rằng n phải là một số nguyên. Phần theo bán kính R có dạng

:$R(r)\; =\; \backslash gamma\; J\_n(\backslash rho),\; \backslash ,$

với hàm số Bessel J_n(ρ) thỏa mãn phương trình Bessel

:$\backslash rho^2\; J\_n\text{'}\text{'}\; +\; \backslash rho\; J\_n\text{'}\; +(\backslash rho^2\; -\; n^2)J\_n\; =0,$

và ρ=kr. Hàm số theo bán kính J_n có vô số nghiệm với mỗi giá trị của n, ký hiệu bởi ρ_m,n. Điều kiện biên rằng A bằng 0 với r=a sẽ được thỏa mãn nếu như chu kì tương ứng được cho bởi

:$k${m,n} = \frac{1}{a} \rho{m,n}. \,

Nghiệm tổng quát A sau đó sẽ là chuỗi kép vô hạn của các hạng tử với tích của các

:$\backslash sin(n\backslash theta)\; \backslash ,\; \backslash hbox\{or\}\; \backslash ,\; \backslash cos(n\backslash theta),\; \backslash ,\; \backslash hbox\{and\}\; \backslash ,\; J$n(k{m,n}r).

Những nghiệm này là những tần số rung động của một mặt trống hình tròn.

Nghiệm trong không gian 3 chiều

Trong tọa độ cầu, nghiệm của phương trình là:

: $A\; (r,\; \backslash theta,\; \backslash phi)=\; \backslash sum${k} \sum{l=0}^\infty \sum{m=-l}^l (a{l m} jl (k r) + b{l m} n_l (k r)) Y ^ m_l ({ \theta,\phi}).

Nghiệm này thường gặp trong các nghiệm theo biến không gian của phương trình sóng và phương trình truyền nhiệt. Ở đây $j\_l\; (k\; r)$ và $n\_l\; (k\; r)$ là những hàm số cầu Bessel, và

:$Y^m\_l\; (\{\backslash theta,\backslash phi\})$

là những hàm cầu điều hòa (Abramowitz và Stegun, 1964). Chú ý là những dạng này là những nghiệm tổng quát, và cần những điều kiện biên để sử dụng ở các trường hợp cụ thể. Với những miền bên ngoài kéo ra vô hạn, một điều kiện phát xạ có thể là cần thiết (Sommerfeld, 1949).

Paraxial form

The paraxial form of the Helmholtz equation is:

:$\backslash nabla\_T^2\; A\; -\; j\; 2k\; \{\; \backslash partial\; A\; \backslash over\; \backslash partial\; z\; \}\; =\; 0$

where

:$\backslash nabla\_T^2\; =\; \{\; \backslash partial^2\; \backslash over\; \backslash partial\; x^2\; \}\; +\; \{\; \backslash partial^2\; \backslash over\; \backslash partial\; y^2\; \}$

is the transverse form of the Laplacian.

This equation has important applications in the science of optics, ở đó nó provides solutions that describe the propagation of electromagnetic waves (light) in the form of either paraboloidal waves or Gaussian beams. Most lasers emit beams that take this form.

In the paraxial approximation, the complex magnitude of the electric field E becomes

:$E(\backslash mathbf\{r\})\; =\; A(\backslash mathbf\{r\})\; e^\{-jkz\}$

where A represents the complex-valued amplitude of the electric field, which modulates the sinusoidal plane wave represented by the exponential factor.

The paraxial approximation places certain upper limits on the variation of the amplitude function A with respect to longitudinal distance z. Specifically:

:$\backslash bigg|\; \{\; \backslash partial\; A\; \backslash over\; \backslash partial\; z\; \}\; \backslash bigg|\; \backslash ll\; |\; kA\; |$ and :$\backslash bigg|\; \{\; \backslash partial^2\; A\; \backslash over\; \backslash partial\; z^2\; \}\; \backslash bigg|\; \backslash ll\; |\; k^2\; A\; |$

These conditions are equivalent to saying that the angle θ between the wave vector k and the optical axis z must be small enough so that

:$\backslash sin(\backslash theta)\; \backslash approx\; \backslash theta\; \backslash qquad\; \backslash mathrm\{and\}\; \backslash qquad\; \backslash tan(\backslash theta)\; \backslash approx\; \backslash theta$

Inhomogeneous Helmholtz equation

The inhomogeneous Helmholtz equation is the equation

: $\backslash nabla^2\; A\; +\; k^2\; A\; =\; -f\; \backslash mbox\; \{\; in\; \}\; \backslash mathbb\; R^n$

where $f:\backslash mathbb\; R^n\backslash to\; \backslash mathbb\; C$ is a given function with compact support, and $n=1,\; 2,\; 3.$

In order to solve this equation uniquely, one needs to specify a boundary condition at infinity, which is typically the Sommerfeld radiation condition

: $\backslash lim\_\{r\; \backslash to\; \backslash infty\}\; r^\{\backslash frac\{n-1\}\{2\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; r\}\; -\; ik\; \backslash right)\; A(r\; \backslash hat\; \{x\})\; =\; 0$

uniformly in $\backslash hat\; \{x\}$ with $|\backslash hat\; \{x\}|=1$, where the vertical bars denote the Euclidean norm.

With this condition, the solution to the inhomogeneous Helmholtz equation is the convolution

: $A(x)=(G*f)(x)=\backslash int\backslash limits\_\{\backslash mathbb\; R^n\}!\; G(x-y)f(y)\backslash ,dy$

(notice this integral is actually over a finite region, since $f$ has compact support). Here, $G$ is the Green's function of this equation, that is, the solution to the inhomogeneous Helmholtz equation with $f$ equaling the Dirac delta function, so $G$ satisfies

: $\backslash nabla^2\; G\; +\; k^2\; G\; =\; -\backslash delta\; \backslash mbox\; \{\; in\; \}\; \backslash mathbb\; R^n.$

The expression for the Green's function depends on the dimension of the space. One has

: $G(x)\; =\; \backslash frac\{ie^\{ik|x|\{2k\}$

for $n=1,$

: $G(x)\; =\; \backslash frac\{i\}\{4\}H^\{(1)\}\_0(k|x|)$

for $n=2$, where $H^\{(1)\}\_0$ is a Hankel function, and

: $G(x)\; =\; \backslash frac\{e^\{ik|x|\{4\backslash pi\; |x|\}$

for $n=3.$