✨Phương trình Laplace

Trong toán học, phương trình Laplace là một phương trình đạo hàm riêng được đặt theo tên người khám phá, Pierre-Simon Laplace. Nghiệm của phương trình Laplace là khá quan trọng trong nhiều ngành khoa học, đáng chú ý là trong các ngành điện từ trường, thiên văn học, và cơ chất lỏng, bởi vì chúng mô tả hành vi của thế năng của điện, trọng lực, và chất lỏng. Lý thuyết tổng quát của các nghiệm của phương trình Laplace được gọi chung là lý thuyết thế năng (potential theory).

Định nghĩa

Trong không gian 3 chiều, bài toán là đi tìm một hàm thực $f$ khả vi hai lần sao cho:

*Trong hệ tọa độ Descartes:

: $\{\backslash partial^2\; f\backslash over\; \backslash partial\; x^2\; \}\; +\; \{\backslash partial^2\; f\backslash over\; \backslash partial\; y^2\; \}\; +\; \{\backslash partial^2\; f\backslash over\; \backslash partial\; z^2\; \}\; =\; 0.$

*Trong hệ tọa độ trụ:

:$\backslash Delta\; f\; =\; \{1\; \backslash over\; r\}\; \{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; r\}\; \backslash left(r\; \{\backslash partial\; f\; \backslash over\; \backslash partial\; r\}\; \backslash right)$

• {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}
• {\partial^2 f \over \partial z^2 } =0

*Trong hệ tọa độ cầu:

: $\backslash Delta\; f\; =\; \{1\; \backslash over\; \backslash rho^2\}\{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; \backslash rho\}!\backslash left(\backslash rho^2\; \{\backslash partial\; f\; \backslash over\; \backslash partial\; \backslash rho\}\backslash right)\; !+!\{1\; \backslash over\; \backslash rho^2!\backslash sin\backslash theta\}\{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; \backslash theta\}!\backslash left(\backslash sin\backslash theta\; \{\backslash partial\; f\; \backslash over\; \backslash partial\; \backslash theta\}\backslash right)\; !+!\{1\; \backslash over\; \backslash rho^2!\backslash sin^2\backslash theta\}\{\backslash partial^2\; f\; \backslash over\; \backslash partial\; \backslash varphi^2\}\; =0.$

Nó được viết tổng quát lại là $\backslash nabla^2\; f\; =\; 0\; \backslash ,$ hay: $\backslash Delta\; f\; =\; 0,\backslash ,$ với $\backslash Delta\; =\; \backslash nabla^2$ là toán tử Laplace hay Laplacian:

Trong đó $\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{a\}=\; \backslash operatorname\{div\}\; \backslash mathbf\{a\}$ là divergence của vector $\backslash mathbf\{a\}$ và $\backslash nabla\; f\; =\; \backslash operatorname\{grad\}\backslash ,f$ là gradient của $f$.

Nghiệm của phương trình Laplace được gọi là hàm điều hòa (harmonic function).

Nếu vế phải là một hàm biết trước, chẳng hạn $\backslash Delta\; f\; =\; h\backslash ,$ thì phương trình được gọi là phương trình Poisson. Phương trình Laplace hay phương trình Poisson là những dạng đơn giản nhất của các phương trình đạo hàm riêng elliptic. Toán tử vi phân, $\backslash nabla^2$ hay $\backslash Delta$, (mà có thể định nghĩa được trong không gian n-chiều) được gọi là toán tử Laplace hay Laplacian.

Phương trình Laplace là trường hợp đặc biệt của phương trình Helmholtz.