✨Khai triển Laplace

Khai triển Laplace

Trong đại số tuyến tính, khai triển Laplace, được đặt tên theo Pierre-Simon Laplace, còn được gọi là khai triển phần bù đại số, là một biểu thức cho định thức |B| của một ma trận n × n B theo các định thức con đầu của B.

Đối với các ma trận lớn, khi tính toán, khai triển Laplace nhanh chóng trở nên kém hiệu quả so sánh với các phương pháp sử dụng phân tích ma trận.

Phát biểu

Phần bù đại số (i,j) của ma trận B là vô hướng C_ij xác định bởi

: $C$ {ij}\ = (-1)^{i+j} M{ij}\,,

trong đó M_ij là định thức con của B tạo ra từ việc xóa hàng thứ i và cột thứ j của B.

Khai triển Laplace được phát biểu như sau

Định lý. Giả sử B = [ b _ij ] là một ma trận n*n và i, j là hai phần tử của {1,2,...,n }.

Thế thì định thức của | B | thỏa mãn:

: $\begin{align}
|B| & = b$ {i1} C{i1} + b{i2} C{i2} + \cdots + b{in} C{in} \[5pt] & = b{1j} C{1j} + b{2j} C{2j} + \cdots + b{nj} C{nj} \[5pt] & = \sum{j'=1}^{n} b{ij'} C{ij'} = \sum{i'=1}^{n} b{i'j} C{i'j} \end{align}

Các biểu thức trên lần lượt được gọi là khai triển Lalace theo hàng i và theo cột j của ma trận B.

Ví dụ

Xét ma trận

: $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}.$

Khai triển Laplace theo hàng đầu tiên:

: $\begin{align}
|B| & = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \ 7 & 8 \end{vmatrix} \[5pt]
& = 1 \cdot (-3) - 2 \cdot (-6) + 3 \cdot (-3) = 0.
\end{align}$

Khai triển Laplace theo cột thứ hai:

: $\begin{align}
|B| & = -2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \ 7 & 9 \end{vmatrix} + 5 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \ 7 & 9 \end{vmatrix} - 8 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \ 4 & 6 \end{vmatrix} \[5pt]
& = -2 \cdot (-6) + 5 \cdot (-12) - 8 \cdot (-6) = 0.
\end{align}$

👁️ 1 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚

💫 Khai triển Laplace

Trong đại số tuyến tính, **khai** **triển Laplace**, được đặt tên theo Pierre-Simon Laplace, còn được gọi là **khai triển phần bù đại số**, là một biểu thức cho định thức |_B_| của một ma

💫 Phép biến đổi Laplace

thumb|220x124px | right| phép biến đổi Laplace của hàm f(t) = t và ảnh của nó là hàm F(s) = 1/s^2. F(s) cũng chính là phần diện tích bên dưới đường cong y = t.e^(-st)

💫 Ma trận vuông

nhỏ| Một ma trận vuông bậc 4. Các giá trị

a_{ii}

tạo thành [[đường chéo chính của một ma trận vuông. Chẳng hạn, đường chéo chính của ma trận 4 nhân 4 ở trên chứa

💫 Quy tắc Sarrus

phải|nhỏ|_Quy tắc Sarrus_: Định thức của ba cột bên trái là tổng của các tích chéo xuống sang phải trừ đi tổng của các tích chéo lên sang phải **Quy tắc Sarrus** là một phương pháp

💫 Biến đổi tích phân

Trong toán học, một **biến đổi tích phân** là biến đổi _T_ có dạng sau: :

(Tf)(u) = \int \limits_{t_1}^{t_2} K(t, u)\, f(t)\, dt.

Đầu vào của biến đổi là một hàm _f_, và đầu

💫 Isaac Newton

**Sir Isaac Newton** (25 tháng 12 năm 1642 – 20 tháng 3 năm 1726 (lịch cũ)) là một nhà toán học, nhà vật lý, nhà thiên văn học, nhà thần học, và tác giả (ở thời

💫 Phân phối chuẩn

\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!| cdf =

\frac12 \left(1 + \mathrm{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\right) \!

| mean =

\mu

| median =

\mu

| mode =

\mu

| variance =

\sigma^2

| skewness = 0| kurtosis =

0

| entropy =

\ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)\!

| mgf =

M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)

| char =

\phi_X(t)=\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)

| **Phân phối

💫 Nguyên tử hydro

phải|nhỏ|200x200px|Mô phỏng một nguyên tử hydro cho thấy đường kính bằng xấp xỉ hai lần bán kính [[mô hình Bohr. (Ảnh mang tính minh họa)]] Một **nguyên tử hydro** là một nguyên tử của nguyên

💫 Lý thuyết nhiễu loạn

**Lý thuyết nhiễu loạn** là phương pháp toán học để tìm ra nghiệm gần đúng cho một bài toán, bằng cách xuất phát từ nghiệm chính xác của một bài toán tương tự đơn giản

💫 Hàm sinh mô men

Trong lý thuyết xác suất và thống kê, **hàm sinh mô men** (**moment-generating function** hay **MGF**) của một biến ngẫu nhiên là một mô tả thay thế cho hàm phân phối xác suất của nó.

💫 Ma trận (toán học)

phải|Mỗi phần tử của một ma trận thường được ký hiệu bằng một biến với hai chỉ số ở dưới. Ví dụ, a_2,1 biểu diễn phần tử ở hàng thứ hai và cột thứ nhất

💫 Leonhard Euler

**Leonhard Euler** ( , ; 15 tháng 4 năm 170718 tháng 9 năm 1783) là một nhà toán học, nhà vật lý học, nhà thiên văn học, nhà lý luận và kỹ sư người Thụy

💫 Từ trường

Từ trường của một thanh [[nam châm hình trụ.]] **Từ trường** là môi trường năng lượng đặc biệt sinh ra quanh các điện tích chuyển động hoặc do sự biến thiên của điện trường hoặc

💫 Định thức

**Định thức**, trong đại số tuyến tính, là một hàm cho mỗi ma trận vuông _A_, tương ứng với số vô hướng, ký hiệu là **det**(_A_). Ý nghĩa hình học của định thức là tỷ

💫 Lịch sử cơ học

Những viên gạch đầu tiên của bộ môn cơ học dường như được xây nền từ thời Hy Lạp cổ đại. Những kết quả nghiên cứu đầu tiên được ngày nay biết đến là của

💫 Phương trình Navier–Stokes

**Phương trình Navier-Stokes**, là hệ các phuơng trình đạo hàm riêng miêu tả dòng chảy của các chất lỏng và khí (gọi chung là chất lưu), được đặt theo tên của kỹ sư-nhà vật lý

💫 Khâu Thành Đồng

**Khâu Thành Đồng** (tên tiếng Anh: **Shing-Tung Yau**, chữ Hán: 丘成桐, sinh ngày 4 tháng 4 năm 1949), là một nhà toán học Hoa Kỳ gốc Hoa, giữ ghế giáo sư William Caspar Graustein tại

💫 Hàm hyperbol

phải|Một tia đi qua gốc của hyperbol

\scriptstyle x^2\ -\ y^2\ =\ 1

cắt hyperbol tại điểm

\scriptstyle (\cosh\,a,\,\sinh\,a)

, với

\scriptstyle a

là 2 lần diện tích của hình giới hạn bởi tia và trục

💫 Lý thuyết điều khiển tự động

Khái niệm của vòng phản hồi dùng để điều khiển hành vi động lực của hệ thống: đây là phản hồi âm, vì giá trị cảm biến (sensor) bị trừ đi từ giá trị mong

💫 Thủy triều

Triều lên (nước lớn) và triều xuống (nước ròng) tại [[vịnh Fundy.]] **Thủy triều** là hiện tượng nước biển, nước sông... lên xuống trong một chu kỳ thời gian phụ thuộc biến chuyển thiên văn.

💫 Biến đổi Z

Trong toán học và xử lý tín hiệu, **biến đổi Z **chuyển đổi một tín hiệu thời gian rời rạc, là một chuỗi số thực hoặc số phức, thành một đại diện trong miền tần

💫 Xác suất

nhỏ|250x250px|Xác suất của việc tung một số con số bằng cách sử dụng hai con xúc xắc. **Xác suất** (Tiếng Anh: _probability_) là một nhánh của toán học liên quan đến các mô tả bằng

💫 Lịch sử thiên văn học

_[[Nhà thiên văn học (Vermeer)|Nhà thiên văn_, họa phẩm của Johannes Vermeer, hiện vật bảo tàng Louvre, Paris]] **Thiên văn học** là một trong những môn khoa học ra đời sớm nhất trong lịch sử

💫 Hải Phòng

**Hải Phòng** là một trong sáu thành phố trực thuộc trung ương của Việt Nam. Đây là thành phố lớn thứ 3 Việt Nam về quy mô kinh tế, đồng thời là một thành phố

💫 Giá trị riêng và vectơ riêng

phải|nhỏ|250x250px|Ma trận biến đổi _A_ tác động bằng việc kéo dài vectơ _x_ mà không làm đổi phương của nó, vì thế _x_ là một vectơ riêng của _A_. Trong đại số tuyến tính, một

💫 Bộ điều khiển PID

phải|[[Sơ đồ khối của bộ điều khiển PID]] Một **bộ điều khiển vi tích phân tỉ lệ** (**PID- Proportional Integral Derivative**) là một cơ chế phản hồi vòng điều khiển tổng quát được sử dụng

💫 Kỹ thuật điều khiển

nhỏ|320x320px|Các hệ thống điều khiển đóng một vai trò quan trọng trong du hành không gian **Kỹ thuật điều khiển** hoặc **Kỹ thuật hệ thống điều khiển **là chuyên ngành kỹ thuật mà áp dụng

💫 Giả thuyết tinh vân

Một [[đĩa tiền hành tinh đang được hình thành ở tinh vân Orion.]] Trong quan niệm của nghệ sĩ này, về một hành tinh quay qua một khoảng trống trong đĩa hình thành hành tinh

💫 Danh sách chủ đề toán học

Bài này nói về từ điển các chủ đề trong toán học. ## 0-9 * -0 * 0 * 6174 ## A * AES * ARCH * ARMA * Ada Lovelace * Adrien-Marie Legendre *

💫 Josiah Willard Gibbs

**Josiah Willard Gibbs** (11 tháng 2 năm 1839 - 28 tháng 4 năm 1903) là một nhà khoa học người Mỹ đã có những đóng góp lý thuyết đáng kể cho vật lý, hóa học

💫 Cơ học lượng tử

thumb|upright=1.3|Các [[hàm sóng của electron trong một nguyên tử hydro tại các mức năng lượng khác nhau. Cơ học lượng tử không dự đoán chính xác vị trí của một hạt trong không gian, nó

💫 Logarit

💫 Địa chấn phản xạ

Thăm dò **Địa chấn phản xạ** (Seismic Reflection), là một phương pháp của _địa vật lý thăm dò_, phát sóng đàn hồi vào môi trường và bố trí thu trên mặt các _sóng phản xạ_

💫 Blaise Pascal

**Blaise Pascal** (; 19 tháng 6 năm 1623 – 19 tháng 8 năm 1662) là nhà toán học, vật lý, nhà phát minh, tác gia, và triết gia Công giáo người Pháp. Là cậu bé

💫 Danh sách nhân vật liên quan với Hải Phòng

Hoa phượng đỏ, biểu tượng của người Hải Phòng Dưới đây là **danh sách những nhân vật tiêu biểu** là những người đã sinh ra tại Hải Phòng, có quê quán (nguyên quán) ở Hải

💫 Bảo toàn năng lượng

Thí nghiệm của [[James Prescott Joule, năm 1843, để phát hiện sự chuyển hóa năng lượng từ dạng này (cơ năng) sang dạng khác (nhiệt năng)]] Trong vật lý và hóa học, **định luật bảo

💫 Phân phối xác suất

Trong toán học và thống kê, một **phân phối xác suất** hay thường gọi hơn là một **hàm phân phối xác suất** là quy luật cho biết cách gán mỗi xác suất cho mỗi khoảng

💫 Chủ nghĩa thực chứng

**Chủ nghĩa thực chứng** là một khuynh hướng nhận thức luận của triết học và xã hội học cho rằng phương pháp khoa học là cách thức tốt nhất để lý giải các sự kiện

💫 Lý thuyết đồ thị

nhỏ|phải|Hình vẽ một đồ thị có 6 đỉnh và 7 cạnh Trong toán học và tin học, **lý thuyết đồ thị** (tiếng Anh: _graph theory_) nghiên cứu các tính chất của đồ thị. Một cách

💫 Lỗ đen

[[Đĩa bồi tụ bao quanh lỗ đen siêu khối lượng ở trung tâm của thiên hà elip khổng lồ Messier 87 trong chòm sao Xử Nữ. Khối lượng của nó khoảng 7 tỉ lần khối

💫 Georg Simon Ohm

**Georg Simon Ohm** (16 tháng 3 năm 1789 – 6 tháng 7 năm 1854) là một nhà vật lý người Đức. Khi là một giáo viên trung học, Ohm bắt đầu nghiên cứu phát minh

💫 Sự hình thành và tiến hóa của Hệ Mặt Trời

Hình ảnh mô phỏng của một đám mây bụi tiền hành tinh. **Sự hình thành và tiến hóa của Hệ Mặt Trời** bắt đầu từ cách đây khoảng 4,6 tỷ năm với sự suy sụp

💫 Hệ đo lường quốc tế

thumb|7 đơn vị cơ bản SI **Hệ đo lường quốc tế** (tiếng Pháp: **S**ystème **I**nternational d'unités; viết tắt: **SI**), là 1 hệ thống đo lường thống nhất được sử dụng rộng rãi trên thế giới.

💫 Từ trường Trái Đất

thumb|Mô phỏng máy tính của từ trường Trái Đất trong thời gian phân cực bình thường giữa các lần [[đảo cực địa từ . Các biểu diễn đường sức màu xanh lam ứng với trường

💫 Oliver Heaviside

**Oliver Heaviside** (18 tháng 5 năm 1850 - 03 tháng 2 năm 1925) là một nhà khoa học, nhà toán học, nhà vật lý và kỹ sư điện người Anh. Ông là người đã áp

💫 Danh sách thuật toán

Bài viết này là **danh sách các thuật toán** cùng một mô tả ngắn cho mỗi thuật toán. ## Thuật toán tổ hợp ### Thuật toán tổ hợp tổng quát * Thuật toán Brent: tìm