✨Hiện tượng vận chuyển

nhỏ|Các phân tử khí đang thực hiện quá trình khuếch tán từ trong chai ra bên ngoài môi trường.|200x200pxSự lan truyền của các phân tử của một hỗn hợp ở trong chất lỏng hay chất khí từ nơi chúng đưa vào, trong điều kiện không có các dịch chuyển vĩ mô ở trong chất lỏng hay chất khí, được gọi là hiện tượng khuếch tán. Sự xuất hiện các lực ma sát giữa hai lớp chất lỏng hay chất khí chuyển động với các vận tốc khác nhau là biểu hiện của lực ma sát nội hay tính nhớt. Sự chuyển của năng lượng từ các miền nóng hơn sang các miền lạnh hơn, khi không có các sự dịch chuyển của chất lỏng hay chất khí hay các sự chảy đối lưu trong chúng được gọi là sự dẫn nhiệt. Cơ chế bên trong của ba hiện tượng đó là một - đó là chuyển động nhiệt hỗn loạn của các phân tử đã dẫn đến sự dịch chuyển của chúng. Các hiện tượng đó được gọi là các hiện tượng vận chuyển vì trong sự khuếch tán có sự vận chuyển chất của hỗn hợp, trong sự ma sát nội có sự vận chuyển xung lượng, còn trong sự dẫn nhiệt có sự vận chuyển nhiệt lượng.

Lý thuyết

Đoạn đường tự do của các phân tử

Đoạn đường tự do trung bình của các phân tử là khoảng cách trung bình mà phân tử đi qua giữa các va chạm kế tiếp của nó với các phân tử khác. Trong một đơn vị thời gian, phân tử được tách ra va chạm với tất cả các phân tử, mà tâm của chúng nằm trong hình trụ gẫy có bán kính bằng đường kính $d$ của phân tử, còn độ dài của nó bằng vận tốc trung bình tương đối $\backslash bar\{u\}${td} của phân tử. Thể tích của hình trụ đó bằng $\backslash bar\{u\}${td}.\pi.d^2, còn số các phân tử trong đó bằng $n.\backslash bar\{u\}.\; \backslash pi.d^2$. Vì trong mỗi va chạm, có đồng thời hai phân tử tham gia, nên tổng số các va chạm trong một đơn vị thể tích sau một đơn vị thời gian bằng $\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash pi.d^2.\backslash bar\{u\}\_\{td\}.n^2$.

Sau một đơn vị thời gian, phân tử va chạm $\backslash pi.d^2.n.u${td} lần trên đoạn đường $\backslash bar\{u\}${tuyet doi}, do đó đoạn đường tự do trung bình bằng $l=\backslash tfrac\{u${tuyetdoi{\pi.d^2.n.u{td, hay vì $\backslash bar\{u\}${td}=\sqrt{2}.\bar{u}{tuyetdoi} nên $l=\backslash tfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}.\backslash pi.d^2.n\}$

Hiện tượng khuếch tán

Nếu trong chất khí có phân bố một hỗn hợp với nồng độ $n(x)$, thì khi gradient nồng độ $\backslash frac\{\backslash operatorname\{d\}!n\}\{\backslash operatorname\{d\}!x\}\backslash neq0$, chuyển động hỗn loạn của các phân tử sẽ tạo điều kiện san bằng nồng độ dọc theo trục Ox.

Dòng các phân tử của hỗn hợp qua diện tích $\backslash Delta\; S$ đặt vuông góc với trục Ox theo chiều dương bằng $\backslash Delta\; N\_+=\backslash tfrac\{1\}\{6\}.n\_1.\backslash bar\{u\}.\backslash Delta\; S.\backslash Delta\; t$, trong đó $n\_1$ là nồng độ của hỗn hợp ở bên trái diện tích, $\backslash Delta\; t$ là khoảng thời gian.

Dòng các phân tử của hỗn hợp qua cùng diện tích đó theo chiều âm bằng $\backslash Delta\; N\_-=\backslash tfrac\{1\}\{6\}.n\_2.\backslash bar\{u\}.\backslash Delta\; S\backslash Delta\; t$, trong đó $n\_2$ là nồng độ các phân tử của hỗn hợp ở bên phải diện tích.

Hệ số $\backslash tfrac\{1\}\{6\}$ trong các đẳng thức trên là do tính xác suất của chuyển động hỗn loạn của các phân tử.

Vì sự san bằng các nồng độ xảy ra do các va chạm của những phần tử nên các nồng độ $n\_1$ và $n\_2$ cần được coi là xác định trên các khoảng cách bằng độ dài của đoạn đường tự do $l$ tính từ diện tích $\backslash Delta\; S$.

Dòng các phân tử của hỗn hợp qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian bằng:

$l=\backslash frac\{\backslash Delta\; N\_+-\backslash Delta\; N\_-\}\{\backslash Delta\; S\backslash Delta\; t\}=\backslash frac\{1\}\{6\}(n\_1-n\_2)\backslash bar\{u\}=-\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash bar\{u\}l\backslash frac\{n\_1-n\_2\}\{2l\}=-\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash bar\{u\}l\backslash tfrac\{\backslash Delta\; n\}\{\backslash Delta\; x\}$

Tích $\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash bar\{u\}l=D$ được gọi là hệ số khuếch tán.

Định luật Fick

Dòng các phân tử của hỗn hợp qua một đơn vị diện tích sau một đơn vị thời gian tỷ lệ thuận với gradient của nồng độ:

$I=-D.\backslash frac\{\backslash Delta\; n\}\{\backslash Delta\; x\}$

Dấu trừ chứng tỏ rằng, dòng khuếch tán hướng theo chiều giảm của nồng độ hỗn hợp.

Phương trình khuếch tán

Nếu nhân đẳng thức trên với khối lượng của phân tử, ta có thể tìm được định luật cơ bản Fick cho hiện tượng khuếch tán thông qua qua dòng chất khuếch tán $q$ và nồng độ $C$ của chất dưới dạng $q=-D\backslash tfrac\{\backslash partial\; c\}\{\backslash partial\; x\}$

Dòng khuếch tán qua một mặt kín $S$ sau khoảng thời gian $\backslash Delta\; t=t\_1-t\_2$ bằng:

$q\_1=-\backslash int\backslash limits\_\{t\_1\}^\{t\_2\}\backslash int\backslash limits\backslash int\backslash limits\_\{S\}D\backslash frac\{\backslash partial\; c\}\{\backslash partial\; n\}\backslash operatorname\{d\}\backslash !S\backslash operatorname\{d\}\backslash !t=-\backslash int\backslash limits\_\{t\_1\}^\{t\_2\}\backslash int\backslash limits\backslash int\backslash limits\_\{S\}D\; grad\; c.n\backslash operatorname\{d\}\backslash !S\backslash operatorname\{d\}\backslash !t$, trong đó $n$ là pháp tuyến ngoài với mặt.

Nếu $F(x,y,z,t)$là mật độ của nguồn chất của hỗn hợp, nghĩa là lượng chất được tạo thành sau một đơn vị thời gian trong một đơn vị thể tích do các phản ứng hóa học, thì trong thể tích $V$ giới hạn bởi mặt $S$ trong khoảng thời gian $\backslash Delta\; t$ sẽ xuất hiện khối lượng:

$q\_2=\backslash int\backslash limits\_\{t\_1\}^\{t\_2\}\backslash int\backslash limits\backslash int\backslash limits\_\{V\}\backslash int\; \backslash operatorname\; F\backslash operatorname\{d\}\backslash !V\backslash operatorname\{d\}\backslash !t$

Các quá trình đã mô tả có kèm theo sự biến thiên của nồng độ hỗn hợp tại mỗi điểm, sau khoảng thời gian $\backslash Delta\; t$, độ biến thiên của lượng chất hỗn hợp trong toàn bộ thể tích $V$ bằng:

$q\_3=\backslash int\backslash limits\_\{t\_1\}^\{t\_2\}\backslash int\backslash limits\backslash int\backslash limits\_\{V\}\backslash int\backslash limits\backslash frac\{\backslash partial\; c\}\{\backslash partial\; t\}\backslash operatorname\{d\}\backslash !V\backslash operatorname\{d\}\backslash !t$

Phương trình cân bằng khối lượng có dạng $q\_2-q\_1=q$3. Biến đổi tích phân mặt theo công thức:$\backslash int\backslash limits\backslash int\backslash limits${S}Dgradc.n.\operatorname{d}!S=\int\int\limits_{V}\int div(Dgradc)\operatorname{d}!V

Xét đến sự cân bằng các khối lượng, chúng ta thu được:

$\backslash int\backslash limits\_\{t\_1\}^\{t\_2\}\backslash int\backslash int\backslash limits\_\{V\}\backslash int[F+div(Dgradc)-\backslash frac\{\backslash partial\; c\}\{\backslash partial\; t\}]\backslash operatorname\{d\}\backslash !V\backslash operatorname\{d\}\backslash !t=0$

Từ đó ta suy ra được phương trình khuếch tán trong môi trường đứng yên:

$\backslash frac\{\backslash partial\; c\}\{\backslash partial\; t\}=\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\}(D.\backslash frac\{\backslash partial\; c\}\{\backslash partial\; x\})+\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; y\}(D.\backslash frac\{\backslash partial\; c\}\{\backslash partial\; y\})+\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; z\}(D.\backslash frac\{\backslash partial\; c\}\{\backslash partial\; z\})+F(x,y,z,t)$

Đó là phương trình vi phân với các đạo hàm riêng loại parabolic, tương tự với phương trình dẫn nhiệt.

Nội ma sát hay tính nhớt

Nếu một lớp khí dịch chuyển đối với một lớp khác, nghĩa là gradient vận tốc theo hướng vuông góc với mặt của lớp khác không thì do sự dời chuyển của các phân tử từ lớp này sang lớp khác trong chuyển động hỗn loạn, sự vận xung lượng từ lớp này sang lớp khác sẽ được thực hiện.

Xung lượng được chuyển qua diện tích $\backslash Delta\; S$ ở trên mặt phân giới của các lớp theo một hướng bằng: $mv$1\Delta N+=\tfrac{1}{6}mv_1n\bar{u}\Delta S\Delta t, trong đó $v\_1$ là vận tốc dịch chuyển định hướng của chất khí ở trong lớp có các phân tử thoát qua đến những khoảng cách bằng đoạn đường tự do tính từ mặt $\backslash Delta\; S$ trên.

Xung lượng được chuyển qua theo chiều ngược lại bằng: $mv$2\Delta N-=\tfrac{1}{6}mv_2n\bar{u}\Delta S\Delta t, trong đó $v\_2$ là vận tốc dịch chuyển định hướng của chất khí đến những khoảng cách bằng đoạn đường tự do về phía kia của diện tích.

Độ biến thiên xung lượng của lớp bằng xung lực ma sát:

$\backslash Delta\; F\_\{ms\}\backslash Delta\; t=mv\_1\backslash Delta\; N\_+-mv\_2\backslash Delta\; N\_-$

Lực ma sát tác dụng lên một đơn vị diện tích của mặt phân giới giữa các lớp lân cận bằng:

$F\_\{ms\}=\backslash frac\{1\}\{3\}nm\backslash bar\{u\}l\backslash frac\{v\_2-v\_1\}\{2l\}=-\backslash frac\{1\}\{3\}nm\backslash bar\{u\}l\backslash frac\{\backslash Delta\; v\}\{\backslash Delta\; x\}$

Tích số $\backslash tfrac\{1\}\{3\}l\backslash bar\{u\}nm=\backslash eta$ được gọi là hệ số ma sát nội hay độ nhớt.

Lực ma sát nội khi các lớp trong chất khí chuyển động tỷ lệ thuận với gradient vận tốc:

$F\_\{ms\}=-\backslash eta\backslash frac\{\backslash Delta\; v\}\{\backslash Delta\; x\}$

Công thức Stokes (Gabriel Stokes, 1819 - 1903) đúng cho quả cầu bán kính $r$ chuyển động với vận tốc $v$ trong chất lỏng có độ nhớt $\backslash eta$, theo công thức này lực cản bằng:

$F\_\{can\}=-6\backslash pi\backslash eta\; r\; v$

Tính dẫn nhiệt

Cho một dòng nhiệt truyền qua chất khí đựng giữa các thành song song có các nhiệt độ $T\_1$ và $T\_2$ theo phương của trục Ox vuông góc với các thành. Các phân tử đi qua diện tích $\backslash Delta\; S$ vuông góc với trục mang theo chiều dương của trục một năng lượng bằng:

$\backslash omega\; \_1\backslash Delta\; N\_+=\backslash frac\{i\}\{2\}kT\_1.\backslash frac\{1\}\{6\}\backslash bar\{u\}n\backslash Delta\; S\backslash Delta\; t$

Năng lượng được mang theo chiều ngược lại bằng:

$\backslash omega\; \_2\backslash Delta\; N\_-=\backslash tfrac\{i\}\{2\}kT\_2.\backslash tfrac\{1\}\{6\}\backslash bar\{u\}n\backslash Delta\; S\backslash Delta\; t$

Ở đây $i$ là số bậc tự do của các phân tử khí, còn $T\_1$ và $T\_2$ lần lượt là các giá trị nhiệt độ trong các mặt phẳng $x-\backslash lambda$ và $x+\backslash lambda$. Dòng nhiệt đi qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian bằng:

$q=\backslash frac\{\backslash omega\; \_1\backslash Delta\; N\_++\backslash omega\; \_2\backslash Delta\; N\_-\}\{\backslash Delta\; S\backslash Delta\; t\}=-\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash bar\{u\}nl\backslash frac\{T\_2-T\_1\}\{2l\}.\backslash frac\{i\}\{2\}k$

Đại lượng $\backslash lambda=\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash bar\{u\}nl\backslash frac\{i\}\{2\}k$ được gọi là hệ số dẫn nhiệt.

Định luật Fourier

Dòng nhiệt đi qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian tỷ lệ thuận với gradient nhiệt độ:

$q=-\backslash lambda\backslash frac\{\backslash Delta\; T\}\{\backslash Delta\; x\}$

Dấu trừ chủng tỏ rằng dòng nhiệt hướng từ lớp có nhiệt độ cao hơn sang lớp có nhiệt độ thấp hơn.

Phương trình dẫn nhiệt

Theo định luật Fourier, nhiệt lượng toàn phần đi qua mặt kín $S$ trong khoảng thời gian $\backslash Delta\; t=t\_2-t\_1$ bằng:

$q\_1=-\backslash int\backslash limits\_\{t\_1\}^\{t\_2\}\backslash int\backslash limits\_\{S\}\backslash int\backslash lambda\; \backslash frac\{\backslash partial\; T\}\{\backslash partial\; n\}\backslash operatorname\{d\}\backslash !S\backslash operatorname\{d\}\backslash !t=-\backslash int\backslash limits\_\{t\_1\}^\{t\_2\}\backslash int\backslash limits\_\{S\}\backslash int\backslash limits\backslash lambda\; gradTn\backslash operatorname\{d\}\backslash !S\backslash operatorname\{d\}\backslash !t$

Nếu $F(x,y,z,t)$ là mật độ của các nguồn nhiệt thì trong thể tích $V$ sau khoảng thời gian $\backslash Delta\; t$, lượng nhiệt tỏa ra bằng:

$q\_2=\backslash int\backslash limits\_\{t\_1\}^\{t\_2\}\backslash iint\backslash limits\_V\backslash int\backslash limits\; F\backslash operatorname\{d\}\backslash !V\backslash operatorname\{d\}\backslash !t$

Các quá trình nêu trên có kèm theo sự biến thiên nhiệt độ tại mỗi điểm của vật và độ biến thiên toàn phần của lượng nhiệt trong vật sau khoảng thời gian $\backslash Delta\; t$bằng:$q$3=\int\limits{t_1}^{t_2}\iint\limitsV\int c\rho \frac{\delta T}{\delta t}\operatorname{d}!V\operatorname{d}!t, trong đó $c$ là nhiệt dung riêng, còn $\backslash rho$ là mật độ.

Nếu dùng phương trình cân bằng nhiệt $q\_2-q\_1=q\_3$ và biến đổi tích phân mặt theo công thức Ostrogradski:

$\backslash iint\backslash limits\_SgradT.n\backslash operatorname\{d\}\backslash !S=\backslash int\backslash int\backslash limits\_\{V\}\backslash int\; div(\backslash lambda\; gradT)\backslash operatorname\{d\}\backslash !V$, chúng ta sẽ thu được: $\backslash int\backslash limits\_\{t\_1\}^\{t\_2\}\backslash int\backslash int\backslash limits\_\{V\}\backslash int\backslash limits[F+div(\backslash lambda\; gradT)-c\_\backslash rho\backslash frac\{\backslash partial\; T\}\{\backslash partial\; t\}]\backslash operatorname\{d\}\backslash !V\backslash operatorname\{d\}\backslash !t=0$, từ đó suy ra phương trình dẫn nhiệt: $c\_\backslash rho\backslash frac\{\backslash partial\; T\}\{\backslash partial\; t\}=\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\}(\backslash lambda\backslash frac\{\backslash partial\; T\}\{\backslash partial\; x\})+\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; y\}(\backslash lambda\backslash frac\{\backslash partial\; T\}\{\backslash partial\; y\})+\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; z\}(\backslash lambda\backslash frac\{\backslash partial\; T\}\{\backslash partial\; z\})+F(x,y,z,t)$

Đó là phương trình vi phân với các đạo hàm riêng loại parabolic. Đôí với môi trường đồng nhất $\backslash lambda$ là một hằng số, phương trình sẽ đơn giản hơn và có dạng:

$\backslash frac\{\backslash partial\; T\}\{\backslash partial\; t\}=a^2\backslash Delta\; T+f$, trong đó $\backslash Delta$ là toán tử Laplace, còn $a^2=\backslash frac\{\backslash lambda\}\{c\_\backslash rho\}$ là hệ số dẫn nhiệt, $f=\backslash frac\{F\}\{c\_\backslash rho\}$.

Nếu cho các điều kiện giới hạn vá các điều kiện ban đầu, chúng ta có thể chọn được nghiệm duy nhất của phương trình truyền nhiệt.