✨Không gian mêtric

Không gian mêtric

Trong toán học, không gian mêtric là một tập hợp mà một khái niệm của khoảng cách (được gọi là mêtric) giữa các phần tử của tập hợp đã được định nghĩa.

Không gian mêtric gần gũi nhất với cách hiểu trực quan của con người là không gian Không gian Euclide 3 chiều. Khái niệm "mêtric" trong thực tế là sự tổng quát hóa của mêtric Euclide phát sinh từ 4 thuộc tính được biết đến lâu đời của khoảng cách Euclide. Không gian metric Euclide định nghĩa khoảng cách giữa 2 điểm bằng chiều dài theo đoạn thẳng nối chúng với nhau. Một không gian mêtric khác trong hình học Elíp và hình học hyperbolic, có khoảng cách trên quả cầu được đo bằng góc của một mêtric, và mô hình hyperboloid của hình học hyperbolic được dùng bởi thuyết tương đối hẹp với một không gian mêtric vận tốc.

Sơ lược về không gian metric

Định nghĩa không gian metric

Cho E là một tập hợp khác rỗng. Một ánh xạ $d: E \times E: \to \mathbb{R}$ thỏa mãn:

d(x, y) ≥ 0, với mọi x,y $\in$ E (tính phân biệt dương)

d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y

d(x, y) = d(y, x), với mọi x,y $\in$ E (tính đối xứng)

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), với mọi x,y,z $\in$ E (bất đẳng thức tam giác)

Khi đó d được gọi là khoảng cách hay một metric trên E và cặp (E,d) được gọi là một không gian mêtric. Không gian metric (E,d) thường được viết là E với d được hiểu ngầm khi không bị nhầm lẫn.

Một số metric thông dụng trong không gian Rⁿ

:Cho $x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ , $y = (y_1, y_2, \ldots, y$ n) \in \mathbb{R}^{n} :: $d(x,y) = \sum$ {k=1}^n |x_k - yk| :: $d(x,y) = [\sum$ {k=1}^n (x_k - yk) ^p $]$ ^1/p, khi p=2, metric này gọi là metric Euclide.
:: $d(x,y) = \max$ {1 \leq k \leq n}|x_k-y_k| :: $d(x,y) = \begin{cases} 0, & x = y \ 1, & x \ne y \end{cases}$ gọi là metric rời rạc. :: $d(x,y) = \begin{cases} 0, & x_k = y_k \ |x_k-y_k|, & x_k \ne y_k \end{cases}$ Với mọi $k \geq 2$ .

Metric trên không gian hàm từ tập A bất kỳ vào không gian metric (X,d)

Xác định bởi $d(f,g) = \sup_{x \in A}d(f(x), g(x))$ .

Trong đó $f,g: A \to (X,d)$ .

Metric trên không gian các hàm liên tục từ [a,b] vào R

Xác định bởi $d(f,g)= \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)|\, dx$ .

Trong đó $f,g: [a,b] \to \mathbb{R}$ liên tục.

Quả cầu mở, quả cầu đóng

Cho $X$ là không gian metric và $a \in X$ và r>0, theo định nghĩa :

$B_{d}(a,r) = \{ x \in X: d(a,x) < r \}$ là quả cầu mở tâm a, bán kính r trong không gian metric _(X,d)_.
$B'_{d}(a,r) = \{ x \in X: d(a,x) \leq r \}$ là quả cầu đóng tâm a, bán kính r trong không gian metric _(X,d)_.

Xét các bổ đề sau:

Bổ đề

Cho (X,d) là không gian metric, nếu $x \in X, r>0$ thì $y \in B$ {d}(x,r) sẽ có tồn tại $\delta$ {r}>0 sao cho: :: $B$ {d}(y,\delta{r})\subset B_{d}(x,r).

Chứng minh: ::Đặt $\delta=r-d(x,y)$ , cần chứng minh $B(y,\delta) \subset B_d(x,r)$ ::Hay lấy $z \in B_d(y,\delta)$ bất kỳ, thì $d(y,z) < \delta$ ::Do đó $d(x,y) + d(y,z) < d(x,y) + \delta = d(x,y) + [r-d(x,y)] = r$ :: $\Rightarrow d(x,z)<d(x,y)+d(y,z)<r$ :: $\Rightarrow z \in B_d(x,r) \Rightarrow B_d(y, \delta) \subset B_d(x,r)$

Ví dụ về tập mở theo các metric trong R²

Cho $x=(x_1, x_2), y=(y_1, y_2)$ và các metric sau: :: $d_1(x,y) = |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2|$ :: $d_2(x,y) = [(x_1 - y_1)$ ² $+ (x_2 - y$ 2)² $]$ ^1/2 :: $d$ {\infty}(x,y) = max {|x_1 - y_1|, |x_2 - y_2| }

Khi đó các quả cầu mở tương ứng với các metric trên trong $\mathbb{R}^{2}$ lần lượt là: $B_{d$ 1}(0,1), B{d2}(0,1), B{d_{\infty(0,1) như hình vẽ:

Vi du metric

Topo sinh bởi metric

Định lý

Cho (X,d) là không gian metric, họ các quả cầu mở $\mathfrak{B} = {B_d(a,r): a \in X, r>0 }$ là cơ sở của topo trên X.

Chứng minh: ::Điều cần chứng minh $\mathfrak{B}$ là cơ sở ::Với mỗi $x \in X$ được chứa trong một tập của $\mathfrak{B}$ . Dễ thấy $x \in B_d(x,r), \forall r>0$ ::Xét điều kiện thứ 2 cho một cơ sở được thỏa, cần chỉ ra rằng nếu $x \in B_1 \cap B_2$ và $B_1, B_2 \in \mathfrak{B}$ thì có tồn tại $B_3 \in \mathfrak{B}$ sao cho $x \in B_3 \subset B_1 \cap B_2$ . ::Lấy $B_1, B_2$ là hai tập trong $\mathfrak{B}$ , và giả sử $x \in B_1 \cap B_2$ . Khi đó theo bổ đề 1.2.1, tồn tại $\delta_1, \delta_2 >0$ sao cho $B_d(x, \delta_1) \subset B_1$ và $B_d(x,\delta_2) \subset B_2$ . Đặt $\delta = min{\delta_1,\delta_2 }$ . Khi đó $x \in B_d(x,\delta) \subset B_1 \cap B_2$ như yêu cầu.

Định nghĩa

Lấy (X,d) là không gian metric, topo sinh bởi cơ sở các quả cầu mở $\mathfrak{B} = {B_d(a,r): a \in X, r>0 }$ được gọi là topo sinh bởi metric (còn gọi là topo metric).

Định lý

Cho (X,d) là không gian metric, một tập $U \in X$ là mở trong topo sinh bởi metric d nếu và chỉ nếu với mỗi $y \in U$ tồn tại $\delta >0$ sao cho $B_d(y, \delta) \subset U$ .

Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 tập

Cho X,Y là hai không gian metric và ${x\in X}$ , A là tập con trong X. :: $d(x,A)= \inf_{a\in A} d(x,a)$ được gọi là khoảng cách từ điểm x đến tập A theo đó $d(x,A)= 0$ khi và chỉ khi $x \in cl(A)$ có thể kiểm chứng $d(x,A)$ là metric và nó liên tục.

Khoảng cách Hausdorff

thumb|Ví dụ về khoảng cách Hausdorff Cho X,Y là hai không gian metric và ${x\in X}$ , A và B lần lượt là các tập con trong X,Y. :: $d_{H}(A,B)= \max \left{ \underset{a\in A}{\sup}\underset{b\in B}{\inf}d\left(a,b\right),\underset{b\in B}{\sup}\underset{a\in A}{\inf}d\left(a,b\right)\right}$ được gọi là khoảng cách từ tập A đến tập B Hay còn có thể viết rút gọn là: : $d$ {H}(A,B)= \max \lbrace{ \sup{a\in A} d(a,B), \sup{b\in B} d(b,A) \rbrace} Khoảng cách này cũng là một metric và được gọi là metric Hausdorff. :: $d$ {H}(A,B)= 0 khi và chỉ khi $A \equiv B$

Không gian metric tích

Không gian metric tích là không gian tích của tất cả các không gian metric, cụ thể: : Cho $\left(X$ {1},d{1}\right),\left(X{2},d{2}\right),...,\left(X{m},d{m}\right) là các không gian metric, định nghĩa $\left(X,d\right)=\left(X$ {1}\times...\times X{m},d\left(d{1},...,d{m}\right)\right) là không gian metric tích. Cho $x$ {1},y{1}\in X{1},....,x{m},y{m}\in X{m}. Đặt $x=\left(x$ {1},x{2},...,x{m}\right) và $y=\left(y$ {1},y{2},...,y{m}\right)\in X{1}\times...\times X{m} thì :: $d\left(x,y\right)=d\left(d$ {1}\left(x{1},y{1}\right),...,d{m}\left(x{m},y{m}\right)\right) Ví dụ Cho $\left{ \left(\mathbb{R},d$ {k}\right)\right} {k=\overline{1,..,n là các không gian metric, định nghĩa metric tích trên $\mathbb{R}^{n}$ như sau: :: $d\left(x,y\right)=\overset{n}{\underset{^{k=1{\sum\left[\dfrac{1}{2^{k\left(\dfrac{d$ {k}\left(x{k},y{k}\right)}{1+d{k}\left(x{k},y{k}\right)}\right)\right] . Kiểm tra được $d\left(x,y\right)$ là metric trên $\mathbb{R}^{n}$

Dãy Cauchy - không gian metric đầy

Một số ứng dụng của metric

Trong lý thuyết thông tin: sự sai lệch các đoạn mã và ký tự

Với lượng thông tin khổng lồ được truyền qua điện thoại, Internet hay từ vệ tinh ngoài không gian đến Trái Đất,... Điều này cực kỳ quan trọng nếu đảm bảo sự nguyên vẹn của thông tin khi nhận được.

Khoảng cách Hamming

Khoảng cách Hamming là cái tên được đặt theo tên của Richard Hamming, người giới thiệu lý thuyết này trong tài liệu có tính cơ sở của ông về mã phát hiện lỗi và sửa lỗi (error-detecting and error-correcting codes). Nó được sử dụng trong kỹ thuật viễn thông để tính số lượng các bit trong một từ nhị phân (binary word) bị đổi ngược, như một hình thức để ước tính số lỗi xảy ra trong quá trình truyền thông, và vì thế, đôi khi, nó còn được gọi là khoảng cách tín hiệu (signal distance). Việc phân tích trọng lượng Hamming của các bit còn được sử dụng trong một số ngành, bao gồm lý thuyết tin học, lý thuyết mã hóa, và mật mã học. Tuy vậy, khi so sánh các dãy ký tự có chiều dài khác nhau, hay các dãy ký tự có xu hướng không chỉ bị thay thế đi, mà còn bị ảnh hưởng bởi dữ liệu bị chèn thêm vào, hoặc bị xóa đi, phương pháp đo đạc phức tạp hơn.

Trong lý thuyết thông tin, khi một thông tin được chuyển đi, ví dụ như khi gửi 1 tin nhắn, giả sử nó được mã hóa dưới dạng nhị phân gồm hữu hạn các dãy ký tự 0,1. n phần tử như vậy được gọi là 1 từ có chiều dài n.
Mỗi từ có chiều dài n như vậy có thể xem như một vector có chiều dài n gồm toàn bộ các ký tự chỉ chứa những số 0 và 1. Tập tất cả các ký tự như vậy được viết là $V^{n}=\left{ \left(a$ {1},a{2},...,a{n}\right)|\; a{i}\in\left{ 0,1\right},1\leq i\leq n\right} . Do đó $V^{n}$ là tích của n cặp $\left{ 0,1\right}$ .

Định nghĩa một metric giữa 2 từ trên tập này là số các vị trí mà tại đó chúng khác nhau.

Metric này được gọi là khoảng cách Hamming.

Ký hiệu là $D_{Ham}\left(\cdot,\cdot\right)$

Ví dụ: Cho 2 đoạn mã nhị phân

a=\left(0,0,1,1,0,1,0,0,1\right)

và

b=\left(0,1,1,0,0,1,0,0,0\right)

:Theo trên $a,b$ khác nhau ở các vị trí thứ 2,4 và 9 nên $D_{Ham}\left(a,b\right)=3$

Đối với trình tự DNA (DNA Sequence) và trong khoa học máy tính

Như đã trình bày ở mục trên: "khi so sánh các dãy ký tự có chiều dài khác nhau, hay các dãy ký tự có xu hướng thay thế, mất, chèn,... phức tạp hơn, như khoảng cách Levenshtein (Levenshtein distance) là một phương pháp có tác dụng và thích hợp hơn."

Ngoài ra, trong các thuật toán của bộ môn khoa học máy tính, khái niệm khoảng cách Levenshtein thể hiện khoảng cách khác biệt giữa 2 chuỗi ký tự. Khoảng cách này được đặt theo tên Vladimir Levenshtein, người đã đề ra khái niệm này vào năm 1965. Nó được sử dụng trong việc tính toán sự giống và khác nhau giữa 2 chuỗi, như chương trình kiểm tra lỗi chính tả của winword spellchecker.

Khoảng cách Levenshtein

Khoảng cách Levenshtein giữa dãy x và y xác định bởi:

D_L (x,y)=\min_S \lbrace{ i_S + d_S + r_S \rbrace}

Trong đó: : $i_S$ (insertions in sequence) đại diện cho số các phần tử chèn vào trong dãy. : $d_S$ (deletions in sequence) đại diện cho số phần tử bị xóa đi. : $r_S$ (replacements in sequence) chỉ số những vị trí bị thay thế.

Ví dụ

Tính khoảng cách Levenshtein giữa 2 dãy DNA sau:

X= AGTTCGAATCC, Y=AGCTCAGGAATC

Với X= AGTTCGAATCC : Thay thế T: $\;$ AGCTCGAATCC : Thêm vào A: AGCTCAGAATCC : Thêm vào G: AGCTCAGGAATCC :: Xóa đi C: $\qquad$ AGCTCAGGAATC

Do đó, số tối thiểu các phép chèn, xoá đi và thay thế để biến đổi X thành Y hay khoảng cách Levenshtein giữa X và Y là:

: $D_L (X,Y)=\min_S \lbrace{ i_S + d_S + r_S \rbrace}= 1+2+1 =4$

Một số tính chất, định nghĩa khác của không gian metric

Một số định nghĩa liên quan

Định nghĩa

Cho $d$ {1},d{2} là 2 metric trên X. 2 metric này gọi là tương đương nếu tồn tại $\alpha,\beta>0$ sao cho :: $\alpha d$ {1}\left(x,y\right)<d{2}\left(x,y\right)<\beta d{1}\left(x,y\right). :Ví dụ :3 metric $d$ {1}\left(x,y\right), d\left(x,y\right) và $d_{\infty}\left(x,y\right)$ là tương đương với nhau trên $\mathbb{R}^{n}$ : :2 metric $d\left(x,y\right)$ và $d'\left(x,y\right)=\min\left{ 1,d\left(x,y\right)\right}$ không tương đương với nhau trên X nhưng sinh ra cùng topo trên X

Định nghĩa

Cho $\left(X,d\right)$ là không gian metric, một tập con $A\subset X$ gọi là chặn theo d nếu tồn tại $\mu>0$ sao cho $d\left(x,y\right)< \mu$ ; $\forall$ $x,y\in A$ .

Nếu bản thân X bị chặn theo d thì nói d là metric bị chặn.

Định nghĩa

Cho $\left(X,d\right)$ là không gian metric, một song ánh $f:\, X\rightarrow Y$ được gọi là đẳng cấu đẳng cự (isometry) nếu $d$ {X}\left(x,x'\right)=d{Y}\left(f\left(x\right),f\left(x'\right)\right), $\forall$ $x,x'\in X$

Nếu $f:\, X\rightarrow Y$ là một isometry thì có thể nói các không gian metric X,Y là đẳng cự (isometric) .

Định nghĩa

Cho $\left(X,d\right)$ là không gian topo, X là không gian mêtric hóa được (metrizable) nếu tồn tại một metric d trên X mà nó sinh ra topo trên X .

Ví dụ: Xét topo Euclid trên đường tròn $S^1=\lbrace{ (x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2+y^2=1 \rbrace}$ như một không gian con thừa hưởng topo Euclid trên mặt phẳng $\mathbb{R}^2$ .

Topo này metric hóa được do:

Một cơ sở trên $S^1 \subset \mathbb{R}^2$ có được bằng cách giao các quả cầu mở trong $\mathbb{R}^2$ với $S^1$ .

Xét metric trên $S^1$ được xác định bằng cách đặt $d(p, q)= \min \lbrace{ \phi: 0 \leq \phi \rbrace}$ (tính theo radian) là góc không âm nhỏ nhất sao cho đường tròn điểm p và q trùng nhau.

Với metric này, các quả cầu mở sẽ là những khoảng mở trên đường tròn nên cơ sở của các quả cầu mở cho topo trên $S^1$ sinh ra bởi $d$ có cùng cơ sở như topo Euclid trên $S^1$ .

Các định lý

Định lý

:Mọi không gian metric đều tách được theo (T.4).

Định lý

:Cho $\left(X,d$ {X}\right) và $\left(Y,d$ {Y}\right) là các không gian metric. : $f:X\rightarrow Y$ là liên tục nếu và chỉ nếu với mỗi $x\in X,\epsilon>0$ có $\delta>0$ sao cho ::nếu $x'\in X$ và $d$ {X}\left(x,x'\right)<\delta thì $d$ {Y}\left(f\left(x\right),f\left(x'\right)\right)<\epsilon .

:Ngoài ra, định nghĩa sự liên tục của hàm $f$ theo định nghĩa tập mở: :Nếu $f:X\rightarrow Y$ liên tục thì với mọi $U$ mở trong $Y$ thì $f^{-1}(U)$ mở trong $X$ .

Định lý

Minhhoatopo :Cho d,d' là metric trên không gian X, với $\tau,\tau'$ lần lượt là các topo sinh bởi 2 metric trên. Khi đó, $\tau'$ mịn hơn $\tau$ nếu và chỉ nếu với mỗi $x\in X$ và $\epsilon>0$ , thì có $\delta>0$ sao cho $B$ {d'}\left(x,\delta\right)\subset B{d}\left(x,\epsilon\right) Chứng minh: ::Xét chiều $\left(\Rightarrow\right)$ . Giả sử $\tau'$ mịn hơn $\tau$ . :::Khi đó mỗi tập mở trong $\tau$ là mở trong $\tau'$ , hay $\forall$ $x\in X$ , $\epsilon>0$ , $B$ {d}\left(x,\epsilon\right) mở trong $\tau$ do đó mở trong $\tau'$ :::Do $B$ {d}\left(x,\epsilon\right) mở trong $\tau'$ và chứa 'x'. :::Theo Định lý 1.3.1 thì có $\delta>0$ sao cho $B$ {d'}\left(x,\delta\right)\subset B{d}\left(x,\epsilon\right) ::Xét chiều $\left(\Leftarrow\right)$ với mỗi $x\in X$ , $\epsilon>0$ , tồn tại $\delta>0$ sao cho $B$ {d'}\left(x,\delta\right)\subset B{d}\left(x,\epsilon\right). :::Cần chứng minh $\tau'$ mịn hơn $\tau$ .
:::Lấy 'U' mở trong $\tau$ , điều cần chứng minh nó mở trong $\tau'$ . :::Lấy $x\in U$ bất kỳ, do $U$ mở trong $\tau$ nên theo Định lý 1.3.1 thì có $\epsilon>0$ sao cho $B$ {d}\left(x,\epsilon\right)\subset U :::Giả sử có $\delta>0$ sao cho $B$ {d'}\left(x,\delta\right)\subset B{d}\left(x,\epsilon\right)\subset U, hay $B$ {d'}\left(x,\delta\right)\subset U. :::Điều này dẫn đến với mỗi $x\in U$ , có một $\delta>0$ sao cho $B_{d'}\left(x,\delta\right)\subset U$ . :::Theo Định lý 1.3.1, $U$ mở trong $\tau'$ (điều phải chứng minh)

Định lý 3.2.4

Nếu $\left(X,d\right)$ là không gian topo metric hóa và Y đồng phôi với X thì Y cũng metric hóa được.

Định lý 3.2.5

Một không gian metric là compact nếu và chỉ nếu mọi dãy đều có dãy con hội tụ. Hay:

Cho $(X,d)$ là không gian metric, ta nói $X$ compact nếu và chỉ nếu mọi dãy $\left(x$ n \right) \in X đều có dãy con $\left(x$ {n_{m \right) của $x_n$ hội tụ trong $X$ .

Hơn nữa, nếu $A \subset \mathbb{R}^n$ là tập con compact trong $\mathbb{R}^n$ với $\left(\mathbb{R}^n,d \right)$ là không gian metric Euclide với topo Euclide thì $A$ đóng và bị chặn.

👁️ 0 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚

💫 Lưới ε (không gian metric)

Trong lĩnh vực toán học về không gian metric và trong không gian

\scriptstyle{M^n_\mathbb{R

một **lưới ε** của một tập hợp điểm _A_ là một tập hợp điểm _B_ sao cho với mọi điểm trong

💫 Không gian mêtric

Trong toán học, **không gian mêtric** là một tập hợp mà một khái niệm của khoảng cách (được gọi là mêtric) giữa các phần tử của tập hợp đã được định nghĩa. Không gian mêtric

💫 Không gian mêtric hóa được

Trong lĩnh vực tôpô của toán học, một **không gian mêtric hóa được** là một không gian tôpô đồng phôi với một không gian mêtric. Như thế, một không gian tôpô

(X,\tau)

được gọi là

💫 Không gian Baire

Không gian Baire là một lớp không gian quan trọng, thuộc lĩnh vực Topo - một chuyên ngành của Toán học. Không gian Baire mang tên của nhà toán học người Pháp René-Louis Baire, với

💫 Không gian Euclid

Mọi điểm trong không gian Euclid ba chiều biểu hiện trong hệ quy chiếu [[Hệ tọa độ Descartes|Descartes]] Khoảng 300 năm TCN, nhà toán học Hy Lạp cổ đại Euclid đã tiến hành nghiên cứu

💫 Không gian tô pô

**Không gian tôpô** là những cấu trúc cho phép người ta hình thức hóa các khái niệm như là sự hội tụ, tính liên thông và tính liên tục. Những dạng thường gặp của **không

💫 Không gian khả ly

**Không gian khả ly** (trong tiếng Anh: _separable space_) là một khái niệm của ngành tôpô. Một không gian mêtric X (tổng quát hơn: không gian tôpô) được gọi là khả ly nếu nó có

💫 Không gian Hilbert

Trong toán học, **không gian Hilbert** (Hilbert Space) là một dạng tổng quát hóa của không gian Euclid mà không bị giới hạn về vấn đề hữu hạn chiều. Đó là một không gian có

💫 Không gian tích trong

nhỏ|300x300px|Biểu diễn hình học của góc giữa hai vectơ, được định nghĩa bởi tích trong. thế=Scalar product spaces, inner product spaces, Hermitian product spaces.|nhỏ|300x300px|Các không gian tích vô hướng trên một trường bất kỳ có

💫 Không gian đếm được bậc hai

Trong tô pô, một **không gian đếm được bậc hai** là một không gian có một cơ sở đếm được, tức là nó thỏa mãn tiên đề dếm được thứ hai. ## Tính chất *

💫 Không gian định chuẩn

Cùng với khái niệm không gian mêtric, **không gian định chuẩn** cũng đóng vai trò rất quan trọng trong giải tích nói chung và topo nói riêng. ## Sơ lược về không gian định chuẩn

💫 Hội tụ (không gian tôpô)

Khái niệm hội tụ trong toán học có thể được sử dụng trong các không gian Euclid (chẳng hạn xem định nghĩa (_ε_, _δ_) của giới hạn), các không gian metric, ví dụ như

💫 Không–thời gian

Trong vật lý, **không–thời gian** là một mô hình toán học kết hợp không gian ba chiều và 1 chiều thời gian để trở thành một không gian bốn chiều. Sơ đồ không–thời gian có

💫 Thuật ngữ hình học Riemann và hinh học metric

Đây là một danh sách một số thuật ngữ được sử dụng trong hình học Riemannian và hình học metric — không bao gồm các thuật ngữ của tô pô vi phân. Các bài viết

💫 Không gian Banach

Trong toán học, **không gian Banach**, đặt theo tên Stefan Banach người nghiên cứu các không gian đó, là một trong những đối tượng trung tâm của nghiên cứu về giải tích hàm. Nhiều không

💫 Tô pô rời rạc

Trong tô pô và các ngành liên quan của toán học, một **không gian rời rạc** là một ví dụ cực kì đơn giản của một không gian topo hay các cấu trúc tương tự,

💫 Hàm liên tục

Trong toán học, một **hàm liên tục** hay **hàm số liên tục** là một hàm số không có sự thay đổi đột ngột trong giá trị của nó, gọi là những điểm gián đoạn. Chính

💫 Compact

thumb|upright=1.6| Điều kiện để một tập là compact trong không gian Euclid được phát biểu thông qua [[định lý Heine-Borel, không compact bởi vì nó không bị chặn (mặc dù là tập đóng), dù bị

💫 Tô pô giới hạn dưới

Trong toán học, **tô pô giới hạn dưới** hay **tô pô khoảng nửa mở phải** là tô pô được định nghĩa trên tập

\mathbb{R}

của các số thực; nó khác với tô pô tiêu chuẩn

💫 Tiên đề tách

liên_kết=https://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BA%ADptin:Hausdorff_regular_normal_space_diagram.png|thế=Illustrations of the properties of Hausdorffness, regularity and normality|nhỏ|Hình minh họa một số tiên đề tách. Các vùng đường viền đứt đoạn vô định hình màu xám biểu thị các tập hợp mở xung quanh

💫 Mặt cầu

nhỏ|phải|Mặt cầu với các trục Trong không gian metric ba chiều, **mặt cầu** là quỹ tích những điểm cách đều một điểm O cố định cho trước một khoảng không đổi R. Điểm O gọi

💫 Xây dựng mêtric Schwarzschild

Mêtric Schwarzschild miêu tả không-thời gian dưới ảnh hưởng của một khối vật chất đối xứng cầu có khối lượng lớn và không quay. ## Quy ước và ký hiệu Trong bài này ta làm

💫 Dãy Cauchy

Trong toán học, **dãy Cauchy** (; ), được đặt tên theo nhà toán học Augustin-Louis Cauchy, là dãy mà các phần tử tiến đến gần nhau tùy ý khi dãy tiếp tục. Chính xác hơn,

💫 Mêtric Schwarzschild

Trong thuyết tương đối rộng của Albert Einstein, **mêtric Schwarzschild** (hay **nghiệm Schwarzschild**, **chân không Schwarzschild**), mang tên của Karl Schwarzschild, miêu tả trường hấp dẫn bên ngoài khối vật chất không quay, trung hòa

💫 Quả cầu

Trong toán học, **quả cầu** (hay còn gọi là **khối cầu** hay **hình cầu**) thể hiện phần bên trong của một mặt cầu; cả hai khái niệm quả cầu và mặt cầu không chỉ được

💫 Bất đẳng thức tam giác

Trong toán học, **bất đẳng thức tam giác** là một định lý phát biểu rằng trong một tam giác, chiều dài của một cạnh phải nhỏ hơn tổng, nhưng lớn hơn hiệu của hai cạnh

💫 Khoảng cách Euclid

nhỏ|upright=1.35|Áp dụng định lý Pythagoras để tính khoảng cách Euclid trong mặt phẳng Trong toán học, **khoảng cách Euclid** () giữa hai điểm trong không gian Euclid là độ dài của đoạn thẳng nối hai

💫 Mêtric Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker

**Mêtric Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker** (**FLRW**) là nghiệm chính xác của phương trình trường Einstein trong thuyết tương đối tổng quát; miêu tả một vũ trụ đơn liên hoặc đa liên với tính chất đồng nhất, đẳng hướng

💫 Phép đẳng cự

###### Trong toán học, một **phép đẳng cự** là một phép biến đổi bảo toàn khoảng cách giữa các không gian metric, thường được giả sử là một song ánh. nhỏ| [[Hàm hợp|Hợp của hai

💫 Số chiều Hausdorff

thumb|Ước lượng Số chiều Hausdorff của bờ biển nước Anh Trong toán học, **Số chiều Hausdorff** (còn được biết đến như là **Số chiều Hausdorff - Besicovitch**) là một số thực không âm mở rộng

💫 Định lý Hopf–Rinow

**Định lý Hopf–Rinow** là một tập hợp các phát biểu về tính đầy trắc địa của các đa tạp Riemann. Nó được đặt theo tên của Heinz Hopf và sinh viên Willi Rinow, người đã

💫 Vectơ-4

**Vectơ-4** là một véctơ trên một không gian 4 chiều thực đặc biệt, gọi là không gian Minkowski. Chúng xuất hiện lần đầu trong lý thuyết tương đối hẹp, như là sự mở rộng của

💫 Đường kính

Một [[đường tròn và đường kính của nó.]] Trong hình học phẳng, **đường kính** của một đường tròn là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm bất kỳ trên đường tròn đó. Đường kính là

💫 Định lý Heine-Cantor

Trong toán học, **định lý Heine–Cantor** phát biểu rằng nếu

f:M\rightarrow N

là hàm liên tục giữa hai không gian mêtric

M,N

và

M

compact thì

f

liên tục đều trên

💫 Tô pô hiển nhiên

Trong tô pô, một không gian tô pô hiển nhiên là một không gian mà trong đó các tập mở chỉ bao gồm tập rỗng và tập hợp toàn thể không gian. ## Chi tiết

💫 Chiều cao

phải|nhỏ|290x290px| Một [[hình hộp chữ nhật thể hiện kích thước chiều dài, chiều rộng và chiều cao. ]] **Chiều cao** là thước đo khoảng cách dọc, phạm vi dọc (mức độ "cao" của một người

💫 Mêtric Kerr

**Mêtric Kerr** (hay **chân không Kerr**, **nghiệm Kerr**) miêu tả hình học của không thời gian trong chân không xung quanh một lỗ đen quay đối xứng trục trung hòa điện với chân trời sự

💫 Tô pô

nhỏ|Dưới con mắt tôpô học, cái cốc và cái vòng là một **Tô pô** hay **tô pô học** có gốc từ trong tiếng Hy Lạp là topologia (tiếng Hy Lạp: τοπολογία) gồm _topos_ (nghĩa là

💫 Định lý phạm trù Baire

**Định lý phạm trù Baire** là định lý quan trọng trong topo, trong giải tích hiện đại, định lý mang tên nhà toán học người Pháp René-Louis Baire (1874 - 1932). Định lý có hai

💫 Mặt Mobius

nhỏ|Không gian mà chú cua [[còng này (có một càng to hơn bên kia nên là một hình không đối xứng) sinh sống là một mặt Mobius. Lưu ý rằng chú cua biến thành hình

💫 Định nghĩa (ε, δ) của giới hạn

thumb|right|Khi điểm nằm trong một khoảng so với , nằm trong một khoảng so với Trong giải tích, **định nghĩa

(\epsilon,\delta)

của giới hạn** (định nghĩa giới hạn bằng ký tự epsilon–delta) là một phát

💫 Tô pô compact-mở

Trong toán học, **tô pô compact-mở** **(compact-open topology)** là một tô pô được định nghĩa bởi tập hợp các ánh xạ liên tục giữa 2 không gian tô pô. Tô pô compact-mở là một trong

💫 Giới hạn của hàm số

thumb|220x124px | right | Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a

Mặc dù hàm số không được định nghĩa tại , khi tiến

💫 Giới hạn của một dãy

right|thumb|alt=Sơ đồ hình lục giác, ngũ giác và bát giác nội tiếp và ngoại tiếp một đường tròn|Dãy số cho bởi chu vi của một [[đa giác đều _n_ cạnh ngoại tiếp đường tròn có

💫 Hiệu đối xứng

Trong toán học, **hiệu đối xứng** của hai tập hợp, hay còn gọi là **phép hợp tuyển**, là tập các phần tử thuộc một trong hai tập hợp nhưng không cả hai. Ví dụ, hiệu

💫 Mikhail Leonidovich Gromov

**Mikhail Leonidovich Gromov** (; sinh ngày 23 tháng 12 năm 1943) là một nhà toán học mang hai quốc tịch Nga và Pháp, được biết đến với những đóng góp quan trọng trong hình học,

💫 Định lý Arzela-Ascoli

Định lý này được mang tên của hai nhà toán học người Ý Cesare Arzelà (1847-1912) và Giulio Ascoli, (1843–1896). Định lý nêu ra một tiêu chuẩn để xác định khi nào một tập các

💫 Tập mở

phải|Ví dụ: Các điểm

(x, y)

thỏa mãn

x^2+y^2=r^2

tô màu xanh. Các điểm

(x, y)

thỏa mãn

x^2+y^2 là các điểm trong hình tròn tô màu đỏ. Tập các điểm tô màu đỏ là

💫 Lý thuyết nhóm hình học

nhỏ|[[Đồ thị Cayley của nhóm tự do có hai phần tử sinh. Đây là nhóm hyperbol có biên Gromov là tập Cantor. Tương tự với đồ thị Cayley, nhóm hyperbol và biên của nó là

💫 Điểm cô lập

Trong toán học, đặc biệt là trong tô pô, _cô lập_ là mối quan hệ giữa một điểm với một tập hợp chứa nó. Một cách trực quan, một điểm cô lập của một tập

✨Không gian mêtric

Sơ lược về không gian metric

Định nghĩa không gian metric

d(x, y) ≥ 0, với mọi x,y \in E (tính phân biệt dương)

d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y

d(x, y) = d(y, x), với mọi x,y \in E (tính đối xứng)

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), với mọi x,y,z \in E (bất đẳng thức tam giác)

Một số metric thông dụng trong không gian Rn

Metric trên không gian hàm từ tập A bất kỳ vào không gian metric (X,d)

Metric trên không gian các hàm liên tục từ [a,b] vào R

Quả cầu mở, quả cầu đóng

Bổ đề

Ví dụ về tập mở theo các metric trong R2

Topo sinh bởi metric

Định lý

Định nghĩa

Định lý

Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 tập

Khoảng cách Hausdorff

Không gian metric tích

Dãy Cauchy - không gian metric đầy

Một số ứng dụng của metric

Trong lý thuyết thông tin: sự sai lệch các đoạn mã và ký tự

Khoảng cách Hamming

Đối với trình tự DNA (DNA Sequence) và trong khoa học máy tính

Khoảng cách Levenshtein

Một số tính chất, định nghĩa khác của không gian metric

Một số định nghĩa liên quan

Định nghĩa

Định nghĩa

Định nghĩa

Định nghĩa

Các định lý

Định lý

Định lý

Định lý

Định lý 3.2.4

Định lý 3.2.5

d(x, y) ≥ 0, với mọi x,y $\in$ E (tính phân biệt dương)

d(x, y) = d(y, x), với mọi x,y $\in$ E (tính đối xứng)

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), với mọi x,y,z $\in$ E (bất đẳng thức tam giác)

Một số metric thông dụng trong không gian Rⁿ

Ví dụ về tập mở theo các metric trong R²