✨Giới hạn của một dãy

right|thumb|alt=Sơ đồ hình lục giác, ngũ giác và bát giác nội tiếp và ngoại tiếp một đường tròn|Dãy số cho bởi chu vi của một [[đa giác đều n cạnh ngoại tiếp đường tròn có giới hạn bằng chu vi của đường tròn đó, tức là bằng $2\backslash pi\; r$. Dãy tương ứng cho các đa giác nội tiếp cũng có giới hạn tương tự.]]

Trong toán học, giới hạn của một dãy là giá trị mà các số hạng của dãy "tiến tới". Nếu một giới hạn tồn tại, dãy được gọi là hội tụ, nếu không, dãy được gọi là phân kì. Giới hạn của một dãy số là một khái niệm quan trọng trong giải tích. Nếu $x\_n\; =\; \backslash frac\{1\}\{n\}$ thì $x\_n\; \backslash to\; 0$. Nếu $x\_n\; =\; 1/n$ khi $n$ chẵn, và $x\_n\; =\; \backslash frac1\{n^2\}$ khi $n$ lẻ thì $x$n \to 0. (Việc $x${n+1} > x_n khi $n$ lẻ không ảnh hưởng gì) *Với bất kì số thực nào, có thể xây dựng một dãy số hội tụ về số đó bằng cách lấy xấp xỉ thập phân. Ví dụ, dãy số $0.3,\; 0.33,\; 0.333,\; 0.3333,\; ...$ hội tụ về $1/3$. Chú ý rằng biểu diễn thập phân $0.3333...$ chính là giới hạn của, xác định bởi :$0.3333...\backslash triangleq\backslash lim${n\to\infty} \sum{i=1}^n \frac{3}{10^i}.

*Tìm giới hạn của một dãy số không phải lúc nào cũng hiển nhiên. Hai ví dụ điển hình là $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash left(1\; +\; \backslash frac1\{n\}\backslash right)^n$ (giới hạn có giá trị là số e) và trung bình cộng-nhân. Định lý kẹp thường hữu ích trong những trường hợp này.

Định nghĩa

Ta gọi $x$ là giới hạn của một dãy số $(x\_n)$ nếu điều kiện sau đây được thỏa mãn: :*Với mọi số thực $\backslash varepsilon\; >\; 0$, tồn tại một số tự nhiên $N$ sao cho, với mọi số tự nhiên $n\; \backslash geq\; N$, ta có . Nói cách khác, với mọi giá trị độ gần $\backslash varepsilon$, các số hạng của dãy sẽ tiến gần đến giới hạn trong khoảng đó.

Dãy số $(x\_n)$ khi ấy được gọi là hội tụ về hoặc tiến tới giới hạn $x$, viết là $x$n \to x hoặc $\backslash lim${n\to\infty}x_n = x.

Định nghĩa trên có thể biểu diễn bằng ký hiệu: :*

Nếu một dãy số có tồn tại giới hạn thì đó là dãy hội tụ; ngược lại nó là dãy phân kỳ.

Minh họa

Tính chất

Giới hạn của dãy số có những tính chất tương tự như những phép tính số học thông thường. Nếu $a\_n\; \backslash to\; a$ và $b\_n\; \backslash to\; b$ thì $a\_n+b\_n\; \backslash to\; a+b$, $a\_n\backslash cdot\; b\_n\; \backslash to\; ab$ và, nếu $b$ và tất cả $b\_n$ đều khác 0, $\backslash frac\{a\_n\}\{b\_n\}\; \backslash to\; \backslash frac\{a\}\{b\}$.

Với mọi hàm số liên tục f, nếu $x\_n\; \backslash to\; x$ thì $f(x\_n)\; \backslash to\; f(x)$. Thực ra, bất kỳ hàm số f nào có giá trị thực liên tục khi và chỉ khi nếu nó bảo toàn giới hạn của dãy số (điều này không nhất thiết đúng với những định nghĩa tổng quát hơn của tính liên tục).

Một số tính chất quan trọng của giới hạn cho dãy số thực như sau(với điều kiện, trong mỗi đẳng thức ở dưới, giới hạn ở vế phải tồn tại).

Giới hạn của một dãy số là duy nhất. $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; (a\_n\; \backslash pm\; b$n) = \lim{n\to\infty} an \pm \lim{n\to\infty} bn *$\backslash lim${n\to\infty} c an = c \cdot \lim{n\to\infty} an *$\backslash lim${n\to\infty} (a_n \cdot bn) = (\lim{n\to\infty} an)\cdot( \lim{n\to\infty} bn) *$\backslash lim${n\to\infty} \left(\frac{a_n}{bn}\right) = \frac{\lim\limits{n\to\infty} an}{\lim\limits{n\to\infty} bn} với điều kiện $\backslash lim${n\to\infty} bn \ne 0 *$\backslash lim${n\to\infty} an^p = \left[ \lim{n\to\infty} a_n \right]^p Nếu $a\_n\; \backslash leq\; b$n với mọi $n\; >\; N$ thì $\backslash lim${n\to\infty} an \leq \lim{n\to\infty} b_n (Định lý kẹp) Nếu $a\_n\; \backslash leq\; c\_n\; \backslash leq\; b$n với mọi $n\; >\; N$, và $\backslash lim${n\to\infty} an = \lim{n\to\infty} bn = L, thì $\backslash lim${n\to\infty} c_n = L. Nếu một dãy số bị chặn và đơn điệu thì nó hội tụ. Một dãy số hội tụ khi và chỉ khi mọi dãy con của nó hội tụ.

Những tính chất trên được sử dụng rất nhiều để chứng minh giới hạn mà không cần sử dụng định nghĩa cồng kềnh trên. Chẳng hạn, một khi chứng minh được $\backslash frac\{1\}\{n\}\; \backslash to\; 0$ ta dễ dàng chứng minh được $\backslash frac\{a\}\{b+\backslash frac\{c\}\{n\; \backslash to\; \backslash frac\{a\}\{b\}$, ($b\; \backslash ne\; 0$), sử dụng những tính chất trên.

Giới hạn vô cùng

Một dãy số $(x\_n)$ được gọi là tiến tới vô cùng, viết là $x$n \to \infty hay $\backslash lim${n\to\infty}x_n = \infty nếu, với mọi $K$, tồn tại $N$ sao cho với mọi $n\; \backslash geq\; N$ thì $x\_n\; >\; K$; tức là các số hạng của dãy dần lớn hơn bất kì $K$ cố định nào. Tương tự, $x\_n\; \backslash to\; -\backslash infty$ nếu, với mọi $K$, tồn tại $N$ sao cho với mọi $n\; \backslash geq\; N$ thì . Nếu một dãy số tiến tới cộng hoặc trừ vô cùng thì nó phân kỳ (tuy nhiên, một chuỗi phân kỳ có thể không tiến tới cộng hay trừ vô cùng: ví dụ như dãy số $x\_n=(-1)^n$).

Không gian metric

Định nghĩa

Một điểm $x$ trong không gian metric $(X,\; d)$ là giới hạn của dãy $(x\_n)$ nếu, với mọi $\backslash varepsilon\; >\; 0$, tồn tại $N$ sao cho với mọi $n\; \backslash geq\; N$, . Định nghĩa này trỏ thành định nghĩa cho số thực khi $X\; =\; \backslash mathbb\{R\}$ và $d(x,\; y)\; =\; |x-y|$.

Tính chất

Với hàm số liên tục f bất kỳ, nếu $x\_n\; \backslash to\; x$ thì $f(x\_n)\; \backslash to\; f(x)$. Thực chất, hàm số f liên tục khi và chỉ khi nó bảo toàn giới hạn của dãy số.

Giới hạn của dãy số, nếu tồn tại, là duy nhất, do những điểm khác nhau cách nhau một khoảng dương. Nếu dãy số có hai giới hạn khác nhau, với $\backslash varepsilon$ nhỏ hơn một nửa khoảng cách giữa chúng, các số hạng của dãy không thể cách mỗi giới hạn một khoảng đều bé hơn $\backslash varepsilon$.

Không gian tôpô

Định nghĩa

Một điểm $x$ trong không gian tôpô $(X,\; \backslash tau)$ là giới hạn của dãy số (x_n) nếu, với mọi lân cận $U$ của $x$, tồn tại $N$ sao cho, với mọi $n\; \backslash geq\; N$, $x\_n\; \backslash in\; U$. Định nghĩa này trở thành định nghĩa cho không gian metric nếu $(X,\; d)$ là một không gian metric và $\backslash tau$ là tôpô tạo ra bởi $d$.

Giới hạn của một dãy các điểm $\backslash left(x\_n:n\backslash in\; \backslash mathbb\{N\}\backslash right)\backslash ;$ trong không gian tôpô $T$ là một trường hợp đặc biệt của giới hạn của một hàm số: tập xác định là $\backslash mathbb\{N\}$ trong không gian $\backslash mathbb\{N\}\; \backslash cup\; \backslash lbrace\; +\backslash infty\; \backslash rbrace$ với tôpô cảm sinh của tập số thực mở rộng, miền giá trị là $T$, và đối số $n$ tiến tới $+\backslash infty$, ở đây là một điểm giới hạn của $\backslash mathbb\{N\}$.

Tính chất

Nếu $X$ là một không gian Hausdorff thì giới hạn của dãy số là duy nhất nếu chúng tồn tại. Tuy nhiên điều này không đúng trong tổng quát; cụ thể, nếu $x$ và $y$ là không thể phân biệt tôpô (tức chúng có cùng lân cận), bất kỳ chuỗi nào hội tụ đến $x$ cũng phải hội tụ đến $y$ và ngược lại.

Dãy Cauchy

thumb|Đồ thị của dãy Cauchy (x_n), màu xanh, với trục tung là x_n và trục hoành n. Ta thấy, một cách trực quan, dãy số tiến dần đến một giới hạn khi các số hạng của dãy trở nên gần nhau hơn khi n tăng. Trong [[tập số thực mọi dãy Cauchy hội tụ về một giới hạn.]]

Một dãy Cauchy là một dãy có các số hạng trở nên gần nhau một cách tùy ý, sau khi bỏ qua những số hạng đầu. Dãy Cauchy có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các dãy trong không gian metric, và cụ thể là trong giải tích thực. Một kết quả đặc biệt quan trong giải tích thực là tiêu chuẩn Cauchy về tính hội tụ của dãy số: một dãy số hội tụ khi và chỉ khi nó là một dãy Cauchy. Kết quả này vẫn đúng trong những không gian metric đầy đủ khác.

Định nghĩa cho số siêu thực

Định nghĩa của giới hạn cho số siêu thực cụ thể hóa cảm nhận rằng với số thứ tự "rất lớn", số hạng tương ứng "rất gần" với giới hạn. Chính xác hơn, một dãy số thực $(x\_n)$ hội tụ về $L$ nếu với mọi số siêu nguyên vô hạn H, số hạng $x\_H$ gần vô hạn với $L$, tức là hiệu $x\_H-L$ nhỏ vô cùng. Nói cách khác, $L$ là phần chuẩn của $x\_H$:

:$L\; =\; \{\backslash rm\; st\}(x\_H).\backslash ,$

Do đó, giới hạn có thể được định nghĩa bằng công thức

:$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; x\_n=\; \{\backslash rm\; st\}(x\_H),$

và giới hạn tồn tại khi và chỉ khi vế phải không phụ thuộc vào cách chọn một số H vô cùng.