Dãy số thực là một danh sách (hữu hạn hoặc vô hạn) liệt kê các số thực theo một thứ tự nào đó.

Định nghĩa

Theo quan điểm của lý thuyết tập hợp dãy số là một ánh xạ a: $\backslash mathbb\; N\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R$, trong đó $\backslash mathbb\; N$ là tập hợp số tự nhiên, hoặc tập con của tập số tự nhiên nhỏ hơn / lớn hơn một số tự nhiên m nào đó. Khi đó thay cho a(n) ta dùng ký hiệu a_n. ::a_n = a(n) Nếu X là hữu hạn ta có dãy hữu hạn: :: a_m,..., a_n. Ngược lại nó được xem là vô hạn. :: a₀, a₁,..., a_n,... Đôi khi, dãy hữu hạn cũng có thể được xem là vô hạn với các phần tử từ thứ m trở đi là bằng nhau.

Khi bắt đầu từ phần tử $a\_\{n\_0\}$ dãy thường được ký hiệu: :$(x$n){n \ge n_0 } với x_n là phần tử thứ n.

Người ta thường xét hơn các dãy bắt đầu từ phần tử $a\_1$. :$(x$n){n \ge 1 } với x_n là phần tử thứ n

Sau đây sẽ chủ yếu đề cập đến các dãy số thực vô hạn. Nhiều định nghĩa và kết quả dưới đây có thể mở rộng cho dãy các phần tử trong không gian metric hoặc không gian topo.

Ý nghĩa thực tế

Trong nhiều bài toán, dãy số có thể được tạo dựng qua quá trình thu thập dữ liệu. Các dữ liệu thu thập có thể gồm nhiều số từ x₁, x₂,...x_n. Tập hợp các số này có thứ tự, nghĩa là có số đầu tiên (x₁), số thứ 2 (x₂) và các số tiếp theo.

Biên của dãy

Cho dãy $(x$n){n \ge 1 }. Tập hợp các giá trị của dãy: :$(x\_1,\; x\_2,\; x\_3,\; \backslash cdots)\; \backslash \; =\; \backslash \; (x\_n;\; n\; =\; 1,2,3,\; \backslash cdots)$ được gọi là biên của dãy đó.

Biên này không có thứ tự. Ví dụ, cho dãy $\{(-1)^n\}\_\{n\; \backslash ge\; 1\}$, có biên là {-1,1}. Nó có 2 phần tử thay đổi là 1 và -1.

Dãy số thực đơn điệu

Định nghĩa

Cho dãy số thực $(x$n){n \ge 1} với x_n là các số thực. Nó là

• Không tăng khi và chỉ khi $x$n \ge x{n+1} với mọi $n\; \backslash ge\; 1$.
• Không giảm khi và chỉ khi $x$n \le x{n+1} với mọi $n\; \backslash ge\; 1$.

Nếu dãy có được một trong hai tính chất này, ta gọi dãy đó là dãy đơn điệu.

Ví dụ, với dãy $(2^n)${n \ge 1}, ta có $2^\{n+1\}\; =\; 2^n.\; 2$. Do 2 > 1 nên , hay . Suy ra $(2^n)${n \ge 1} là dãy tăng.

Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Một cách để xác định một dãy có đơn điệu hay không là dựa vào đạo hàm của hàm số tương ứng.

Ví dụ như cho dãy $\backslash left(\backslash frac\{\backslash ln(n)\}\{n\}\backslash right)\_\{n\; \backslash ge\; 1\}$. Xét hàm số: :$f(x)\; =\; \backslash frac\{\backslash ln(x)\}\{x\}$ với $x\; \backslash ge\; 1$ Lấy đạo hàm của nó, ta thu được: :$f\text{'}(x)\; =\; \backslash frac\{\backslash ln\text{'}(x)x\; -\; (x)\text{'}\; \backslash ln(x)\}\{x^2\}\; =\; \backslash frac\{1\; -\; \backslash ln(x)\}\{x^2\}$ Đạo hàm này nhỏ hơn không khi x > e. Điều này xảy ra với mọi n > 2, nên dãy $\backslash left(\backslash frac\{\backslash ln(n)\}\{n\}\backslash right)\_\{n\; \backslash ge\; 3\}$ là dãy giảm.

Dãy số thực bị chặn

Dãy $(x$n){n \ge 1} bị chặn trên khi và chỉ khi tồn tại T ở đó $x\_n\; \backslash le\; T$, với mọi $n\; \backslash ge\; 1$. Số T được gọi là giá trị chặn trên.

Ngược lại, dãy $(x$n){n \ge 1} bị chặn dưới khi và chỉ khi tồn tại D ở đó $x\_n\; \backslash ge\; D$, với mọi $n\; \backslash ge\; 1$. Số D được gọi là giá trị chặn dưới.

Nếu một dãy có cả hai tính chất trên thì dãy đó được gọi là dãy bị chặn.

Ví dụ, dãy $(3^n)\_\{n\; \backslash ge\; 1\}$ bị chặn dưới bởi 3 vì nó luôn có giá trị dương lớn hơn hoặc bằng 3.

Giới hạn của một dãy số thực

Khái niệm giới hạn của dãy số bắt nguồn từ việc khảo sát một số dãy số thực, có thể tiến "rất gần" một số nào đó. Chẳng hạn, xét dãy số thực: :$2,\; \backslash frac\; 3\; 2,\; \backslash frac\; 4\; 3,\; \backslash dots,\; \backslash frac\; \{n+1\}\; n,\; \backslash dots$ :hay :$2,\; 1+\backslash frac\; 1\; 2,\; 1+\backslash frac\; 1\; 3,\; \backslash dots,\; 1\; +\; \backslash frac\; 1\; n,\; \backslash dots$

Khi cho n tăng lên vô hạn thì phân số $\backslash frac\; 1\; n$ trở nên nhỏ tuỳ ý, do đó số hạng thứ n của dãy $1+\backslash frac\; 1\; n$ có thể tiến gần đến 1 với khoảng cách nhỏ tuỳ ý. Người ta diễn đạt điều đó bằng định nghĩa sau

Đinh nghĩa

Cho dãy số thực (x_n) và một số thực x. Khi đó nếu: :$\backslash forall\; \backslash ;\; \backslash epsilon\; \backslash ;\; >\backslash ;\; 0,\; \backslash exist\; \backslash ;\; n\_0\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}\backslash ,$, $\backslash forall\; \backslash ;\; n\; >\backslash ;\; n\_0$, . thì x được gọi là giới hạn của dãy (x_n). Khi đó ta cũng nói dãy (x_n) hội tụ.

Giới hạn của dãy thường được ký hiệu: :$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}x\_n=x$

Các định lý cơ bản

Nếu dãy $(x\_n)$ có giới hạn hữu hạn thì nó bị chặn.

Dãy hội tụ chỉ có một giới hạn.

Nếu $\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}x$n = a, \lim{n \to \infty}y_n = b và $x\_n\backslash le\; y\_n,\backslash forall\; n\backslash in\; \backslash mathbb\{N\}$ thì $a\backslash le\; b$.

Nếu $\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}x$n = \lim{n \to \infty}y_n = a và $x\_n\backslash le\; z\_n\backslash le\; y$n,\forall n\in \mathbb{N} thì $\backslash lim${n \to \infty}z_n = a.

Dãy đơn điệu tăng (giảm) hội tụ khi và chỉ khi nó bị chặn trên (dưới).

Tính chất

Nếu các dãy (x_n) và (y_n) hội tụ và :$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}x\_n\; =\; L\_1$

thì :$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}(x\_n+y\_n)\; =\; L\_1\; +\; L\_2$

:$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}(x\_ny\_n)\; =\; L\_1L\_2$

và (nếu L₂ khác 0)

:$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}(x\_n/y\_n)\; =\; L\_1/L\_2$

Một số giới hạn cơ bản

:$\backslash lim${n\to\infty} \frac{1}{n^p} = 0 \hbox{ nếu } p > 0 :$\backslash lim${n\to\infty} a^n = 0 \hbox{ nếu } |a| < 1 :$\backslash lim${n\to\infty} n^{\frac{1}{n = 1 :$\backslash lim${n\to\infty} a^{\frac{1}{n = 1 \hbox{ nếu } a>0

Vô cùng bé, vô cùng lớn

Nếu một dãy số có giới hạn là 0 thì nó được gọi là một vô cùng bé. Nếu:$\backslash forall\; \backslash ;\; M\; >\backslash ;\; 0,\; \backslash exist\; \backslash ;\; n\_0\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}\backslash ,$, $\backslash forall\; \backslash ;\; n\; >\backslash ;\; n\_0$, $|x\_n|>\backslash ;M;$. thì dãy $x$n được gọi là vô cùng lớn. Khi đó ta cũng viết: :$\backslash lim${n\rightarrow \infty } x_n = \infty