✨Giới hạn (toán học)

Giới hạn (toán học)

thumb|220x124px | right|Giới hạn của hàm số :''Đây là bài viết nói chung về khái niệm giới hạn trong Toán học. Với các ứng dụng cụ thể, hãy xem các trang giới hạn dãy số và giới hạn hàm số. ''

Trong toán học, khái niệm giới hạn được sử dụng để chỉ giá trị mà một hàm số hoặc một dãy số tiến gần đến khi biến số tương ứng tiến gần đến một giá trị nào đó. Trong một không gian đầy đủ, khái niệm giới hạn cho phép ta xác định một điểm mới từ một dãy Cauchy các điểm đã được xác định trước. Giới hạn là khái niệm quan trọng của Giải tích và được sử dụng để định nghĩa về tính liên tục, đạo hàm và phép tính tích phân.

Khái niệm giới hạn dãy số được tổng quát hóa thành giới hạn của một lưới topo, và liên hệ chặt chẽ với các khái niệm giới hạn và giới hạn trực tiếp trong lý thuyết phạm trù.

Người ta ký hiệu giới hạn bằng chữ lim (viết tắt chữ tiếng Anh limit). Ví dụ để chỉ a là giới hạn của dãy số (an) ta viết lim(an) = a hoặc an → a.

Giới hạn của hàm số

:Bài chính: Giới hạn hàm số

nhỏ|phải|Khi x nằm trong khoảng (c - δ, c + δ) thì f(x) nằm trong khoảng ε (L - ε, L + ε) nhỏ|phải|Với mọi x > S, f(x) nằm trong khoảng ε (L - ε, L + ε)

Giả sử f(x) là một hàm số giá trị thực và c là một số thực. Biểu thức

:\lim_{x \to c} f(x)=L

có nghĩa là f(x) sẽ càng gần L nếu x đủ gần c. Trong trường hợp này, ta nói giới hạn của f(x), khi x đạt đến c là L. Cần chú ý rằng điều này cũng đúng cả khi f(c) ≠ L cũng như khi hàm số f(x) không xác định tại c. Ví dụ, xét hàm số

:f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}

thì f(1) không xác định nhưng khi x tiến tới 1 thì f(x) tiến tới 2:

Như vậy, f(x) có thể gần 2 một cách tùy ý, chỉ cần cho x đủ gần 1.

Karl Weierstrass đã hình thức hóa định nghĩa giới hạn hàm số bằng phương pháp (ε, δ) vào thế kỉ 19.

Ngoài trường hợp hàm số f(x) có giới hạn tại một điểm hữu hạn, hàm số f(x) còn có thể có giới hạn tại vô cực. Ví dụ, xét hàm số

:f(x) = {2x-1 \over x}

  • f(100) = 1,9900
  • f(1000) = 1,9990
  • f(10000) = 1,9999

Khi x trở nên vô cùng lớn thì giá trị của f(x) tiến dần đến 2, và giá trị của f(x) có thể gần 2 một cách tùy ý, chỉ cần cho x đủ lớn. Ta nói "giới hạn của hàm số f(x) tại vô cực bằng 2" và viết

:\lim_{x\to\infty}f(x)=2.

Giới hạn của dãy số

:Bài chính: Giới hạn dãy số

Xét dãy số sau: 1,79, 1,799, 1,7999,... Ta có thể nhận thấy rằng dãy số này "tiến dần" đến 1,8, đó là giới hạn của dãy.

Một cách hình thức, giả sử x1, x2,... là một dãy các số thực. Ta gọi số thực L là giới hạn của dãy và viết:

: \lim_{n \to \infty} x_n = L

nếu

:Với mọi số thực ε > 0, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho với mọi n > n0, |xn − L| < ε.

Về mặt trực giác, điều này có nghĩa là tất cả những số hạng sau một số hạng nào đó của dãy đều sẽ gần với giới hạn "L" một cách tùy ý, bởi vì giá trị tuyệt đối |xn − L| là khoảng cách giữa xn và L. Không phải dãy số nào cũng có giới hạn; nếu một dãy có giới hạn thì ta gọi dãy đó là hội tụ, còn ngược lại, ta nói dãy đó phân kì. Người ta đã chứng minh được rằng một dãy số hội tụ chỉ có một giới hạn duy nhất.

Giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm số có mối quan hệ mật thiết. Một mặt, giới hạn của dãy số thực chất là giới hạn của một hàm số có biến số là số tự nhiên. Mặt khác, giới hạn của một hàm số f tại x, nếu tồn tại, chính là giới hạn của dãy số xn = f(x + 1/n).

Cách giải

*Dạng \frac{0}{0} đối với giới hạn tại một điểm Ví dụ 1: :\lim_{x \to 4} f(x)= \frac{x^2-16}{x-4} Bước 1: Ta thế 4 vào phương trình f(x) thì sẽ được dạng \frac{0}{0} nên khẳng định đây là dạng \frac{0}{0}.

Bước 2: Biến đổi:

:\lim{x \to 4} f(x)= \frac{x^2-16}{x-4} <=>\lim{x \to 4} f(x)= \frac{(x-4)(x+4)}{x-4} <=>\lim_{x \to 4} f(x)= x+4

Lúc này ta sẽ thế 4 vào sẽ được \lim_{x \to 4} f(x)= 8

Ví dụ 2: :\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{9+5x+4x^2}-3}{x}

Lúc này ta biến đổi nó bằng cách nhân lượng liên hợp cho cả tử và mẫu: :\lim{x \to 0} \frac{\sqrt{9+5x+4x^2}-3}{x} =\lim{x \to 0} \frac{(\sqrt{9+5x+4x^2}-3)(\sqrt{9+5x+4x^2}+3)}{x(\sqrt{9+5x+4x^2}+3)} =\lim{x \to 0} \frac{9+5x+4x^2-9}{x(\sqrt{9+5x+4x^2}+3)} =\lim{x \to 0} \frac{5x+4x^2}{x(\sqrt{9+5x+4x^2}+3)}

Ta chia cả tử và mẫu cho x, ta được:

\lim_{x \to 0} \frac{5+4x}{\sqrt{9+5x+4x^2}+3}

Thế 0 vào ta được \frac{5}{6}

*Dạng \frac{\infty}{\infty} đối với giới hạn vô cực: Ta chia cho số mũ lớn nhất của tử và mẫu. Ví dụ 1: Dạng đã biến đổi : \lim_{x \to +\infty} \frac{4x^2-x-1}{3+2x^2}

Lúc này ta thấy số mũ lớn nhất của tử và mẫu là x2, vì vậy ta sẽ chia cả tử và mẫu cho x2

: \lim{x \to +\infty} \frac{4x^2-x-1}{3+2x^2} = \lim{x \to +\infty} \frac{4-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2{\frac{3}{x^2}+2} = 2

Ví dụ 2: Dạng chưa biến đổi : \lim{x \to +\infty} (x^2-\frac{2}{x+1}) = \lim{x \to +\infty} \frac{x^3+x^2-2}{x+1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^3{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3 =+\infty

Lưu ý: Dạng \frac{\infty}{\infty} không phải chỉ áp dụng với dạng phân thức mà kể cả đa thức. VD: \lim_{n \to +\infty} (-x^2+n\sqrt{n}+1)

*Dạng \infty-\infty: Ta sẽ nhân lượng liên hợp Ví dụ: : \lim{n \to +\infty} (\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2-1}) = \lim{n \to +\infty} \frac{(\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2-1})(\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2-1})}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2-1 = \lim{n \to +\infty} \frac{n+1}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2-1 = \lim{n \to +\infty} \frac{n(1+\frac{1}{n})}{n\sqrt{1+\frac{1}{n+n\sqrt{1-\frac{1}{n^2} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1+\frac{1}{n{\sqrt{1+\frac{1}{n+\sqrt{1-\frac{1}{n^2} =\frac{1}{2}

*Dạng 0.\infty: ta biến đổi về dạng \frac{\infty}{\infty} hoặc dạng \frac{0}{0} Ví dụ: : \lim{x \to 3^+} (x-3)\sqrt{\frac{x}{x^2-9 = \lim{x \to 3^+} (x-3)\frac{\sqrt{x{\sqrt{x+3}\sqrt{x-3 = \lim_{x \to 3^+} \frac{\sqrt{x-3}\sqrt{x{\sqrt{x+3 = 0

Khả năng tính toán

Các giới hạn có thể khó tính toán. Có một số biểu thức giới hạn mà mô-đun hội tụ của nó là thứ không thể quyết định được. Trong lí thuyết đệ quy, bổ đề giới hạn chứng minh rằng hoàn toàn có thể biên mã các vấn đề không quyết định được bằng cách sử dụng các giới hạn.

👁️ 0 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚
💫 Giới hạn của hàm số
thumb|220x124px | right | Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a
Mặc dù hàm số không được định nghĩa tại , khi tiến
💫 Giới hạn (toán học)
thumb|220x124px | right|Giới hạn của hàm số :''Đây là bài viết nói chung về khái niệm giới hạn trong Toán học. Với các ứng dụng cụ thể, hãy xem các trang giới hạn dãy số
💫 Giới hạn của một dãy
right|thumb|alt=Sơ đồ hình lục giác, ngũ giác và bát giác nội tiếp và ngoại tiếp một đường tròn|Dãy số cho bởi chu vi của một [[đa giác đều _n_ cạnh ngoại tiếp đường tròn có
💫 Định nghĩa (ε, δ) của giới hạn
thumb|right|Khi điểm nằm trong một khoảng so với , nằm trong một khoảng so với Trong giải tích, **định nghĩa (\epsilon,\delta) của giới hạn** (định nghĩa giới hạn bằng ký tự epsilon–delta) là một phát
💫 Toán học Hy Lạp
thumb|Hình mình họa cho chứng minh của Euclid về định lý Pythagoras. **Toán học Hy Lạp** là nền toán học được viết bằng tiếng Hy Lạp, phát triển từ thế kỷ 7 TCN đến thế
💫 Triết học toán học
**Triết học toán học** là nhánh của triết học nghiên cứu các giả định, nền tảng và ý nghĩa của toán học, và các mục đích để đưa ra quan điểm về bản chất và
💫 Lịch sử toán học
_Cuốn [[The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing_]] Từ _toán học_ có nghĩa là "khoa học, tri thức hoặc học tập". Ngày nay, thuật ngữ "toán học" chỉ một bộ phận cụ thể
💫 Toán học của thuyết tương đối rộng
**Toán học của thuyết tương đối rộng** là mô hình chứa đựng cấu trúc và kỹ thuật toán học được sử dụng để nghiên cứu và thiết lập lên thuyết tương đối rộng của Einstein.
💫 Chuỗi (toán học)
Trong toán học, **chuỗi** có thể được nói là, việc cộng lại vô hạn các số lại với nhau bất đầu từ số ban đầu. Chuỗi là phần quan trọng của vi tích phân và
💫 Toán học và nghệ thuật
Toán học trong nghệ thuật: Bản khắc trên tấm đồng mang tên _[[Melencolia I_ (1514) của Albrecht Dürer. Những yếu tố liên quan đến toán học bao gồm com-pa đại diện cho hình học, hình
💫 Giải tích toán học
nhỏ|Khu vực hấp dẫn kỳ lạ phát sinh từ một [[phương trình vi phân. Phương trình vi phân là một lĩnh vực quan trọng của giải tích toán học với nhiều ứng dụng cho khoa
💫 Giới hạn Bekenstein
Trong vật lý, **giới hạn Bekenstein** (đặt tên theo Jacob Bekenstein) là một chặn trên cho entropy , hay thông tin , có thể được chứa trong một vùng không gian hữu hạn với một
💫 Các định nghĩa toán học
Toán học không có định nghĩa được chấp nhận chung. Các trường phái tư tưởng khác nhau, đặc biệt là trong triết học, đã đưa ra các định nghĩa hoàn toàn khác nhau. Tất cả
💫 Dãy (toán học)
Trong toán học, **dãy** là một họ có thứ tự các đối tượng toán học và cho phép lặp lại các phần tử trong đó. Giống như tập hợp, nó chứa các phần tử (hay
💫 Toán học thuần túy
Nói chung, **toán học thuần túy** là toán học nghiên cứu các khái niệm hoàn toàn trừu tượng. Đây là một loại hoạt động toán học có thể nhận biết được từ thế kỷ 19
💫 Danh sách chủ đề toán học
Bài này nói về từ điển các chủ đề trong toán học. ## 0-9 * -0 * 0 * 6174 ## A * AES * ARCH * ARMA * Ada Lovelace * Adrien-Marie Legendre *
💫 Tập hợp (toán học)
Một tập hợp hình đa giác trong một [[biểu đồ Euler]] Tập hợp các số thực (R), bao gồm các số hữu tỷ (Q), các số nguyên (Z), các số tự nhiên (N). Các số
💫 Mầm (toán học)
Trong toán học, thuật ngữ **mầm** của một đối tượng trong/trên không gian tô pô là lớp tương đương của đối tượng đó và các đối tượng khác cùng loại và chúng đều có chung
💫 Giới hạn Laplace
Trong toán học, **giới hạn Laplace**, **hằng số Laplace** hay **hằng số giới hạn Laplace** là giá trị tâm sai lớn nhất mà nghiệm của phương trình Kepler tồn tại, và được biểu diễn dưới
💫 Mô hình toán học
Một **mô hình toán học** là một mô hình trừu tượng sử dụng ngôn ngữ toán để mô tả về một hệ thống. Mô hình toán được sử dụng nhiều trong các ngành khoa học
💫 Tối ưu hóa (toán học)
Trong toán học, thuật ngữ **tối ưu hóa** chỉ tới việc nghiên cứu các bài toán có dạng :_Cho trước:_ một hàm _f_: _A_ \to **R** từ tập hợp _A_ tới tập số thực :_Tìm:_
💫 Điểm giới hạn
**Điểm giới hạn** của tập hợp A trong không gian tô pô X là điểm x trong không gian sao cho mọi lân cận của nó đều chứa ít nhất một điểm của A **khác
💫 Quan hệ (toán học)
:_Mục từ này nói về quan hệ trong toán học. Để xem các nghĩa khác, xem Quan hệ._ Trong toán học, **_quan hệ_** là một khái niệm khái quát hóa các quan hệ thường gặp,
💫 Trừu tượng toán học
**Trừu tượng hóa** trong toán học là quá trình rút ra bản chất cơ bản của một khái niệm toán học, loại bỏ bất kỳ sự phụ thuộc nào vào các đối tượng trong thế
💫 Toán học Hồi giáo Trung Cổ
thumb|right|Một trang từ _[[Cuốn sách Súc tích về Tính toán bởi Hoàn thiên và Cân bằng_ của Al-Khwarizmi]] Toán học trong thời đại hoàng kim của Hồi giáo, đặc biệt là trong thế kỷ 9
💫 Ngôn ngữ toán học
**N****gôn ngữ toán học** là hệ thống ngôn ngữ được sử dụng bởi các nhà toán học để truyền đạt ý tưởng toán học với nhau. Ngôn ngữ này bao gồm một nền tảng từ
💫 Vẻ đẹp của toán học
right|thumb|Một ví dụ về "vẻ đẹp trong toán học" - một chứng minh đơn giản và thanh lịch về [[Định lý Pythagore.]] **Vẻ đẹp của Toán học** mô tả quan niệm rằng một số nhà
💫 Chứng minh toán học
Trong toán học, một **chứng minh** là một cách trình bày thuyết phục (sử dụng những chuẩn mực đã được chấp nhận trong lĩnh vực đó) rằng một phát biểu toán học là đúng đắn.
💫 Danh sách nhà toán học Mỹ
Đây là danh sách các nhà toán học Mỹ. ## Danh sách * James Waddell Alexander II (1888–1971) * Stephanie B. Alexander, được bầu vào năm 2014 với tư cách là thành viên của Hiệp
💫 Các nguyên lý toán học của triết học tự nhiên
**_Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica_** (tiếng Latinh nghĩa là _Các nguyên lý toán học của triết học tự nhiên_), thường gọi ngắn gọn là **_Principia_**, là tác phẩm gồm 3 tập sách do Sir Isaac Newton
💫 Toán học Ai Cập cổ đại
**Toán học Ai Cập cổ đại** là một nền toán học được phát triển và sử dụng tại Ai Cập cổ đại, từ khoảng 3000 TCN đến 300 TCN, từ Cựu Vương triều Ai Cập
💫 Lân cận (toán học)
thumb|Một tập _V_ trên [[mặt phẳng là một lân cận của điểm _p_ nếu nó chứa một đĩa tròn quanh _p_.]] Trong tô-pô và những nhánh liên quan của toán học, một **lân cận** là
💫 Nhân tố giới hạn
nhỏ|Tháp năng lượng trong một hệ sinh thái với các biểu tượng đại diện cho các nhân tố giới hạn: [[loài chủ chốt (1)]] Trong sinh học, khái niệm **nhân tố giới hạn** có hai
💫 Giới hạn Roche
**Giới hạn Roche** là một khoảng cách gần nhất mà hai thiên thể có được. Nếu vượt qua khoảng cách đó, thiên thể nhỏ hơn trong hai thiên thể sẽ bị vỡ vụn. Ví dụ,
💫 Giới hạn Armstrong
nhỏ|Nếu buồng lái mất áp suất trong khi máy bay vượt quá giới hạn Armstrong, ngay cả mặt nạ oxy áp suất dương cũng không thể duy trì ý thức phi công. Các **giới hạn
💫 Star Trek: Không giới hạn
**_Star Trek Beyond_** (tạm dịch _Star Trek: Không giới hạn_) là một bộ phim hành động phiêu lưu khoa học viễn tưởng của điện ảnh Hoa Kỳ năm 2016, được đạo diễn bởi Justin Lin
💫 Giới hạn Chandrasekhar
nhỏ|Giới hạn Chandrasekhar của sao lùn trắng **Giới hạn Chandrasekhar** là khối lượng tối đa của một sao lùn trắng. Nó khoảng chừng 3 × 1030 kg hoặc 1,44 lần khối lượng Mặt Trời. Con
💫 Công (vật lý học)
**Công** được định nghĩa là hành động được thực hiện trên một đối tượng, gây ra một lực làm dịch chuyển đối tượng đó. Trong vật lý, **công** là một đại lượng vô hướng có
💫 Nhóm (toán học)
thumb|right|Các thao tác bước xoay [[Rubik|khối lập phương Rubik tạo thành nhóm khối lập phương Rubik.]] Trong toán học, một **nhóm** (group) là một tập hợp các phần tử được trang bị một phép toán
💫 Khoa học máy tính
Khoa học máy tính nghiên cứu các cơ sở lý thuyết của thông tin và tính toán, cùng với các kỹ thuật thực tiễn để thực hiện và
💫 Lý thuyết độ phức tạp tính toán
**Lý thuyết độ phức tạp tính toán** (tiếng Anh: _computational complexity theory_) là một nhánh của lý thuyết tính toán trong lý thuyết khoa học máy tính và toán học tập trung vào phân loại
💫 Quang học
thumb|right|Quang học nghiên cứu hiện tượng [[tán sắc của ánh sáng.]] **Quang học** là một ngành của vật lý học nghiên cứu các tính chất và hoạt động của ánh sáng, bao gồm tương tác
💫 Quy tắc l'Hôpital
Trong giải tích, **Quy tắc l'Hôpital **(cách viết khác l'Hospital, , phát âm như _Lô-pi-tan_), cũng được gọi là **quy tắc Bernoulli**, là quy tắc sử dụng đạo hàm để tính toán các giới hạn
💫 Ma trận (toán học)
phải|Mỗi phần tử của một ma trận thường được ký hiệu bằng một biến với hai chỉ số ở dưới. Ví dụ, a2,1 biểu diễn phần tử ở hàng thứ hai và cột thứ nhất
💫 Bản đồ học
**Bản đồ học** hay **Đồ bản học** là khoa học nghiên cứu và phản ánh sự phân bố không gian, sự phối hợp mối liên hệ giữa các đối tượng, hiện tượng tự nhiên và
💫 Thuật toán
phải|nhỏ|[[Lưu đồ thuật toán (thuật toán Euclid) để tính ước số chung lớn nhất (ưcln) của hai số _a_ và _b_ ở các vị trí có tên A và B. Thuật toán tiến hành bằng
💫 Logic toán
**Logic toán** là một ngành con của toán học có liên hệ gần gũi với cơ sở toán học, khoa học máy tính lý thuyết, logic triết học. Ngành này bao gồm hai phần: nghiên
💫 Tích vô hạn
Trong toán học, với một dãy các số phức _a_1, _a_2, _a_3, ... **tích vô hạn** : \prod_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 a_2 a_3 \cdots được định nghĩa là giới hạn của tích phép
💫 Mật mã học
nhỏ|phải|[[Máy Enigma, được người Đức sử dụng trong Đại chiến thế giới II, thực hiện mã hóa được bao vệ các thông tin tính toán học nhạy cam.]] **Mật mã học** là một lĩnh vực
💫 Số học
nhỏ|Các bảng số học dành cho trẻ em, Lausanne, 1835 **Số học** là phân nhánh toán học lâu đời nhất và sơ cấp nhất, được hầu hết mọi người thường xuyên sử dụng từ những