✨Chứng minh toán học

Chứng minh toán học

Trong toán học, một chứng minh là một cách trình bày thuyết phục (sử dụng những chuẩn mực đã được chấp nhận trong lĩnh vực đó) rằng một phát biểu toán học là đúng đắn. Chứng minh có được từ lập luận suy diễn, chứ không phải là tranh luận kiểu quy nạp hoặc theo kinh nghiệm. Có nghĩa là, một chứng minh phải biểu diễn cho thấy một phát biểu là đúng với mọi trường hợp, không có ngoại lệ. Một mệnh đề chưa được chứng minh nhưng được chấp nhận đúng được gọi là một phỏng đoán.

Phát biểu đã được chứng minh thường được gọi là định lý, kết luận có được bằng cách phối hợp một cách lôgic các tiên đề, định nghĩa, và các định lý trước đó. Ví dụ, chứng minh trực tiếp có thể dùng để chứng minh rằng tổng của hai số nguyên chẵn luôn luôn là số chẵn:

:Với hai số nguyên chẵn bất kỳ xy ta có thể biểu diễn thành x=2ay=2b qua hai số nguyên ab nào đó, vì cả xy đều là bội số của 2. Mà tổng x+y = 2a + 2b = 2(a+b) cũng là bội của 2, do đó theo định nghĩa, nó là số chẵn.

Bài chứng minh này sử dụng định nghĩa số nguyên chẵn, và luật phân phối.

Chứng minh bằng quy nạp toán học

Trong cách chứng minh bằng quy nạp toán học', đầu tiên "trường hợp cơ sở" sẽ được chứng minh, sau đó sẽ dùng một "luật quy nạp" để chứng minh (thường là vô tận) các trường hợp khác. Vì trường hợp cơ sở là đúng, tất cả các trường hợp khác cũng phải đúng, thậm chí nếu ta không thể chứng minh trực tiếp tất cả chúng là đúng vì số lượng vô tận của nó. Một dạng con của quy nạp là phương pháp xuống thang. Phương pháp xuống thang được dùng để chứng minh sự vô tỷ của căn bậc 2 của 2.

Nguyên tắc quy nạp toán học như sau: Cho N = { 1, 2, 3, 4,... } là tập các số tự nhiên và _P(n)_ là một phát biểu toán học liên quan tới một số tự nhiên n thuộc N sao cho

  • (i) P(1) là đúng, tức là, P(n) là đúng khi n = 1
  • (ii) P(n + 1) là đúng bất cứ khi nào P(n) đúng, tức là, P(n) đúng thì với P(n + 1) cũng đúng. Khi đó P(n) là đúng với mọi số tự nhiên n.

Các nhà toán học thường dùng cụm từ "chứng minh bằng quy nạp" để nói tắt cho chứng minh bằng quy nạp toán học. Tuy vậy, thuật ngữ "chứng minh bằng quy nạp" cũng được dùng trong logic để nói đến một tranh luận sử dụng suy diễn quy nạp.

Chứng minh bằng chuyển vế

Chứng minh bằng chuyển vế sẽ hình thành kết luận "nếu p thì q" bằng cách chứng minh phát biểu tương phản tương đương "nếu không q thì không p".

Chứng minh bằng phản chứng

Trong chứng minh bằng phản chứng (còn được gọi là reductio ad absurdum, tiếng La tinh có nghĩa là "thu giảm đến sự vô lý"), người ta sẽ chứng minh nếu một phát biểu nào đó xảy ra, thì dẫn đến mâu thuẫn về lôgic, vì vậy phát biểu đó không được xảy ra. Phương pháp này có lẽ là phương pháp phổ biến nhất trong chứng minh toán học. Một ví dụ nổi tiếng về cách chứng minh phản chứng là để chứng minh \sqrt{2} là một số vô tỷ:

:Giả sử \sqrt{2} là số hữu tỷ, ta sẽ biểu diễn được \sqrt{2} = {a\over b} trong đó ab là các số nguyên khác không có ước chung lớn nhất là 1 (theo định nghĩa số hữu tỷ). Do đó, b\sqrt{2} = a. Bình phương hai vế cho ra 2b2 = a2. Vì vế trái chia hết cho 2, nên vế phải cũng phải chia hết cho 2 (vì chúng bằng nhau và đều là số nguyên). Do đó a2 là số chẵn, có nghĩa là a cũng phải là số chẵn. Dẫn đến ta có thể viết a = 2c, trong đó c cũng là số nguyên. Thay vào phương trình ban đầu cho ra 2b2 = (2c)2 = 4c2. Chia hai vế cho 2 ta được b2 = 2c2. Nhưng khi đó, tương tự như trên, b2 chia hết cho 2, nên b phải là số chẵn. Nhưng nếu ab đều là số chẵn, chúng sẽ có chung một ước số là 2. Điều này trái với giả thuyết, do đó mà chúng ta buộc phải kết luận rằng \sqrt{2} là số vô tỷ.

Chứng minh bằng dẫn chứng

Chứng minh bằng dẫn chứng, là đưa ra một dẫn chứng cụ thể với một thuộc tính nào đó để chứng minh rằng có tồn tại một thứ có tính chất như vậy. Ví dụ như Joseph Liouville đã chứng minh tồn tại số siêu việt bằng cách đưa ra một ví dụ rõ ràng.

Chứng minh vét cạn

Trong chứng minh vét cạn, kết luận sẽ có được bằng cách chia nhỏ nó ra thành một số trường hợp hữu hạn và chứng minh mỗi trường hợp một cách riêng rẽ. Số trường hợp đôi khi rất lớn. Ví dụ như, cách chứng minh định lý bốn màu đầu tiên là một chứng minh vét cạn với 1.936 trường hợp. Cách chứng minh này còn gây tranh cãi vì đa số các trường hợp được kiểm chứng bằng chương trình máy tính, chứ không phải bằng tay. Cách chứng minh đã biết tới ngắn nhất của định lý bốn màu ngày nay vẫn có tới hơn 600 trường hợp.

Chứng minh xác suất

Chứng minh xác suất là cách chứng minh trong đó người ta đưa một ví dụ để cho thấy nó có tồn tại, với một độ tin cậy nào đó, bằng cách dùng các phương pháp của lý thuyết xác suất. Cái này không nên nhầm lẫn với một tranh luận về một định lý 'có thể' đúng. Loại suy diễn sau có thể gọi là 'tranh luận có vẻ đúng' và không phải là một chứng minh; trong trường hợp phỏng đoán Collatz ta có thể thấy nó cách xa một chứng minh đúng nghĩa như thế nào. Chứng minh xác suất, cũng như chứng minh bằng dẫn chứng, là một trong nhiều cách chứng minh định lý sự tồn tại.

Chứng minh tổ hợp

Một chứng minh tổ hợp sẽ chứng minh sự tương đương của các cách biểu diễn khác nhau bằng cách cho thấy chúng dẫn đến cùng một đối tượng theo các cách khác nhau. Một song ánh giữa hai tập hợp thường được dùng để chứng minh rằng số biểu thức là bằng nhau.

Chứng minh không xây dựng

Một chứng minh không xây dựng (nonconstructive proof) sẽ chứng minh một đối tượng toán học nào đó phải tồn tại (ví dụ "X nào đó thỏa mãn f(X)"), mà không giải thích làm thế nào để tìm đối tượng đó. Thông thường, nó có dạng như chứng minh phản chứng trong đó người ta chứng minh việc không tồn tại một đối tượng là không xảy ra. Ngược lại, một chứng minh xây dựng (chứng minh bằng dẫn chứng) chứng minh rằng một đối tượng nào đó tồn tại bằng cách đưa ra phương pháp tìm nó. Một ví dụ nổi tiếng về chứng minh không xây dựng là chứng minh tồn tại hai số vô tỷ ab sao cho a^b là số hữu tỷ: :Hoặc \sqrt{2}^{\sqrt{2 là một số hữu tỷ và như vậy đã chứng minh xong (với a=b=\sqrt{2}), hoặc \sqrt{2}^{\sqrt{2 là số vô tỷ và ta có thể viết a=\sqrt{2}^{\sqrt{2b=\sqrt{2}. Cho ra \left (\sqrt{2}^{\sqrt{2\right)^{\sqrt{2=\sqrt{2}^{2}=2, là dạng hữu tỷ của a^b.

Chứng minh thống kê trong toán học thuần túy

Cụm từ "chứng minh thống kê" có thể được dùng như thuật ngữ hoặc một cách thông thường trong các lĩnh vực toán học thuần túy, như các lĩnh vực liên quan đến mật mã hóa, chuỗi hỗn loạn, và lý thuyết số xác suất và phân tích. Nó ít được dùng để chỉ một chứng minh toán học trong ngành toán học có tên thống kê toán học.

Chứng minh với sự hỗ trợ của máy tính

Cho đến thế kỷ thứ 20 người ta đã giả thiết rằng, trên nguyên tắc, tất cả các chứng minh đều có thể được một nhà toán học giỏi xác nhận sự đúng đắn của nó. Tuy nhiên, ngày nay máy tính được dùng cả để chứng minh các định lý lẫn thực hiện các phép toán quá dài mà con người hoặc một nhóm người có thể kiểm tra nổi; cách chứng minh định lý bốn màu đầu tiên là một ví dụ về một cách chứng minh có sự hỗ trợ từ máy tính. Một số nhà toán học lo ngại rằng khả năng xảy ra lỗi trong một chương trình máy tính hoặc lỗi khi tính toán có thể khiến cho sự đúng đắn của các cách chứng minh bằng máy tính bị đặt dấu hỏi. Trên thực tế, cơ hội xảy ra lỗi để bác bỏ một chứng minh của máy tính có thể giảm thiểu bằng cách đưa vào sự trùng lặp và tự kiểm tra khi tính toán, và bằng cách phát triển nhiều cách tiếp cận và chương trình độc lập nhau.

Các khái niệm liên quan

Chứng minh bằng hình ảnh

Chứng minh bằng hình ảnh cho tam giác (3, 4, 5) trong [[Chou Pei Suan Ching 500–200 TCN]] Mặc dù không phải là một cách chứng minh chính quy, một cách biểu diễn hình ảnh cho một định lý toán học đôi khi được gọi là "chứng minh không cần lời". Hình ảnh bên phải là ví dụ của một chứng minh bằng hình ảnh cổ xưa định lý Pythagoras trong trường hợp tam giác (3, 4, 5).

Chứng minh sơ cấp

Một chứng minh sơ cấp là một chứng minh chỉ dùng các kiến thức sơ cấp. Cụ thể hơn, thuật ngữ được dùng trong lý thuyết số để ám chỉ các chứng minh không sử dụng phân tích số phức. Đôi khi người ta cho rằng một số định lý, như định lý số nguyên tố, chỉ có thể chứng minh bằng toán học "cao cấp". Tuy nhiên, qua thời gian, nhiều trong số các kết quả này đã được chứng minh lại chỉ bằng các kiến thức sơ cấp.

Chứng minh hai cột

nhỏ|phải|Một chứng minh hai cột xuất bản năm 1913

Một dạng cụ thể của chứng minh sử dụng hai cột song song thường dùng trong các lớp hình học cơ bản. Chứng minh được viết theo dạng một loạt hàng phân thành hai cột. Tại mỗi dòng, cột bên trái chứa các mệnh đề (hai đôi khi gọi là phát biểu), còn cột bên phải là lời giải thích ngắn gọn mệnh đề đó là gì, một tiên đề, giả thuyết, hay có được từ dòng trên (hoặc đôi khi chỉ gọi là "suy diễn").

👁️ 2 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚
Trong toán học, một **chứng minh** là một cách trình bày thuyết phục (sử dụng những chuẩn mực đã được chấp nhận trong lĩnh vực đó) rằng một phát biểu toán học là đúng đắn.
**Chứng minh của Wiles về định lý cuối cùng của Fermat** là chứng minh toán học của nhà toán học người Anh Andrew Wiles về một trường hợp đặc biệt của định lý Module đối
_Cuốn [[The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing_]] Từ _toán học_ có nghĩa là "khoa học, tri thức hoặc học tập". Ngày nay, thuật ngữ "toán học" chỉ một bộ phận cụ thể
phải|nhỏ|389x389px|[[Định lý Pythagoras|Định lý Pitago có ít nhất 370 cách chứng minh đã biết ]] Trong toán học và logic, một **định lý** là một mệnh đề phi hiển nhiên đã được chứng minh là
Toán học trong nghệ thuật: Bản khắc trên tấm đồng mang tên _[[Melencolia I_ (1514) của Albrecht Dürer. Những yếu tố liên quan đến toán học bao gồm com-pa đại diện cho hình học, hình
Sự phát triển của Toán học cả về mặt tổng thể lẫn các bài toán riêng lẻ là một chủ đề được bàn luận rộng rãi - nhiều dự đoán trong quá khứ về toán
Trong lý thuyết độ phức tạp tính toán, **chứng minh có thể kiểm chứng ngẫu nhiên (PCP** - viết tắt của probabilistically checkable proof) là một chứng minh có thể được kiểm tra bởi một
Số e được Jacob Bernoulli giới thiệu vào năm 1683. Hơn nửa thế kỷ sau, Euler, người từng là học trò của em trai Jacob, Johann, đã chứng minh rằng e là số vô tỉ;
**Lưu Huy** (fl. CE thế kỷ thứ 3) là một nhà toán học Trung Quốc và nhà văn sống ở nước Tào Ngụy trong Tam Quốc giai đoạn (220-280) của Trung Quốc. Năm 263, ông
Trong logic và toán học, phép **chứng minh bằng mâu thuẫn** là một dạng bằng chứng xác lập sự thật hoặc tính hợp lệ của một mệnh đề, bằng cách chỉ ra rằng giả sử
Bài này nói về từ điển các chủ đề trong toán học. ## 0-9 * -0 * 0 * 6174 ## A * AES * ARCH * ARMA * Ada Lovelace * Adrien-Marie Legendre *
Một **đối tượng toán học** là một đối tượng trừu tượng phát sinh trong toán học. Khái niệm này được nghiên cứu trong triết học toán học. Trong hoạt động toán học, một _đối tượng_
phải|nhỏ|Quy nạp toán học có thể được minh họa mô phỏng bằng cách tham chiếu đến các tác dụng tuần tự của [[hiệu ứng domino.]] **Quy nạp toán học** là một phương pháp chứng minh
**Phép phản chứng** hay **phương pháp phản chứng** (còn được goi là **reductio ad absurdum**, tiếng La tinh có nghĩa là "thu giảm đến sự vô lý") là một trong các phương pháp chứng minh
**Lý thuyết chứng minh** là một nhánh chính trong logic toán mà tại đó ta biểu diễn các chứng minh toán học như các đối tượng toán học chính thức, giúp tạo điều kiện thuận
Sách Bài Tập Phát Triển Năng Lực Toán 6 Tập 1 Tập 2 Biên Soạn Theo Chương Trình Giáo Dục Phổ Thông Mới Tác giả TS.NGUYỄN VĂN KHẢI - PHẠM THỊ DIỆU THÚY NXB NXB
Toán học Việt Nam có khởi nguồn chậm phát triển từ thời phong kiến vốn chỉ phục vụ các mục đích đo đạc tính toán và bắt đầu hình thành nền móng hiện đại do
**Triết học toán học** là nhánh của triết học nghiên cứu các giả định, nền tảng và ý nghĩa của toán học, và các mục đích để đưa ra quan điểm về bản chất và
right|thumb|Một ví dụ về "vẻ đẹp trong toán học" - một chứng minh đơn giản và thanh lịch về [[Định lý Pythagore.]] **Vẻ đẹp của Toán học** mô tả quan niệm rằng một số nhà
thumb|Hình mình họa cho chứng minh của Euclid về định lý Pythagoras. **Toán học Hy Lạp** là nền toán học được viết bằng tiếng Hy Lạp, phát triển từ thế kỷ 7 TCN đến thế
Nói chung, **toán học thuần túy** là toán học nghiên cứu các khái niệm hoàn toàn trừu tượng. Đây là một loại hoạt động toán học có thể nhận biết được từ thế kỷ 19
**Toán học của thuyết tương đối rộng** là mô hình chứa đựng cấu trúc và kỹ thuật toán học được sử dụng để nghiên cứu và thiết lập lên thuyết tương đối rộng của Einstein.
Một tập hợp hình đa giác trong một [[biểu đồ Euler]] Tập hợp các số thực (R), bao gồm các số hữu tỷ (Q), các số nguyên (Z), các số tự nhiên (N). Các số
Trong toán học, **chuỗi** có thể được nói là, việc cộng lại vô hạn các số lại với nhau bất đầu từ số ban đầu. Chuỗi là phần quan trọng của vi tích phân và
Toán học không có định nghĩa được chấp nhận chung. Các trường phái tư tưởng khác nhau, đặc biệt là trong triết học, đã đưa ra các định nghĩa hoàn toàn khác nhau. Tất cả
Đây là **danh sách các nhà toán học người Do Thái**, bao gồm các nhà toán học và các nhà thống kê học, những người đang hoặc đã từng là người Do Thái hoặc có
Trong triết học toán học, **toán học kiến thiết** hay **chủ nghĩa kiến thiết** là tư tưởng cho rằng cần thiết phải _tìm ra_ (hoặc _xây dựng_) một vật thể toán học để khẳng định
**Toán học thực nghiệm** là một cách tiếp cận toán học trong đó tính toán được sử dụng để điều tra các đối tượng toán học và xác định các thuộc tính và mẫu. Nó
thumb|Hai mặt phẳng giao nhau trong không gian ba chiều Trong toán học, _mặt phẳng_ là một mặt hai chiều phẳng kéo dài vô hạn. Một **mặt phẳng** là mô hình hai chiều tương tự
thumb|Trong việc tìm kiếm một chiếc xe mới, người chơi chọn một cánh cửa, ví dụ như cửa 1. Người dẫn chương trình sau đó mở một trong những cánh cửa khác, ví dụ cửa
nhỏ|Một bản tái hiện màu đen và trắng của Máy tính bảng Yale Babylonia của Bộ sưu tập YBC 7289 (khoảng 1800 Tam giác cân. Máy tính bảng cũng đưa ra một ví dụ trong
phải|nhỏ|260x260px|Một tiết dạy toán tại [[Trường Khoa học và Công nghệ Đại học Aalto]] Trong giáo dục đương đại, **giáo dục** **toán học** là thực hành dạy và học toán học, cùng với các nghiên
**_Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica_** (tiếng Latinh nghĩa là _Các nguyên lý toán học của triết học tự nhiên_), thường gọi ngắn gọn là **_Principia_**, là tác phẩm gồm 3 tập sách do Sir Isaac Newton
Một **mô hình toán học** là một mô hình trừu tượng sử dụng ngôn ngữ toán để mô tả về một hệ thống. Mô hình toán được sử dụng nhiều trong các ngành khoa học
**Toán học ở Trung Quốc** bắt đầu phát triển vào thế kỷ 11 TCN. Trung Quốc phát minh các số rất lớn, số âm, số thập phân, một hệ thống số hệ thập phân, hệ
**Lean** là phần mềm chứng minh định lý và ngôn ngữ lập trình. Ngôn ngữ này được viết dựa trên tích phân của các phép xây dựng cùng tự suy kiểu. Dự án Lean là
nhỏ|phải|Logo của ban tổ chức cuộc thi IMO (International Mathematical Olympiad) **Olympic Toán học Quốc tế** (tiếng Anh: _International Mathematical Olympiad_, thường được viết tắt là **IMO**) là một kì thi Toán học cấp quốc
phải|nhỏ|Một chu kỳ con lắc là đẳng thời, thực tế được phát hiện và chứng minh bởi [[Christiaan Huygens theo các giả định toán học. ]] phải|nhỏ|240x240px|Toán học được phát triển bởi người [[Hy Lạp
Danh sách các vấn đề mở trong toán học ## Danh sách các bài toán mở trong toán học nói chung Nhiều nha toán học và tổ chức đã xuất bản danh sách cái bài
phải|nhỏ|325x325px|Một minh hoạ của tranh luận đường chéo của Cantor (ở cơ sở 2) cho sự tồn tại của [[Tập hợp không đếm được|các tập hợp không đếm được. Chuỗi ở phía dưới không thể
nhỏ|358x358px|Theo chiều kim đồng hồ từ trên xuống: Đại học Pomona, Viện Cao học Keck, Thư viện Honnold-Mudd, Đại học Pitzer, Viện Scripps, Đại học Harvey Mudd, Đại học Claremont McKenna. **Liên minh Đại học
thumb|Một tập _V_ trên [[mặt phẳng là một lân cận của điểm _p_ nếu nó chứa một đĩa tròn quanh _p_.]] Trong tô-pô và những nhánh liên quan của toán học, một **lân cận** là
**Phát biểu toán học của cơ học lượng tử** là các hình thức toán học cho phép mô tả chặt chẽ cơ học lượng tử. ## Các tiên đề #### Tiên đề 1 Nội dung
**Toán học Ấn Độ** phát triển trên tiểu lục địa Ấn Độ từ 1200 TCN cho đến cuối thế kỷ 18. Trong thời kỳ cổ điển của toán học Ấn Độ (400 đến 1200), những
thumb|right|Một bông hoa hướng dương trong toán học có thể được mô tả bằng một bông hoa thật. Nhân của hoa ứng với phần màu nâu ở giữa (nhị và nhụy), và mỗi tập hợp
**Nhà toán học** là người có tri thức rộng về toán học và sử dụng chúng trong công việc của mình, điển hình là giải quyết các vấn đề toán học. Đối tượng toán học
Đây là danh sách các nhà toán học Mỹ. ## Danh sách * James Waddell Alexander II (1888–1971) * Stephanie B. Alexander, được bầu vào năm 2014 với tư cách là thành viên của Hiệp
thumb|right|Một trang từ _[[Cuốn sách Súc tích về Tính toán bởi Hoàn thiên và Cân bằng_ của Al-Khwarizmi]] Toán học trong thời đại hoàng kim của Hồi giáo, đặc biệt là trong thế kỷ 9
**Đại hội quốc tế các nhà toán học** (the **International Congress of Mathematicians -** **ICM**), hay **Đại hội Toán học Quốc tế**, hay **Đại hội Toán học Thế giới**, là hội nghị lớn nhất
:_Mục từ này nói về quan hệ trong toán học. Để xem các nghĩa khác, xem Quan hệ._ Trong toán học, **_quan hệ_** là một khái niệm khái quát hóa các quan hệ thường gặp,