✨Hàm liên tục

Trong toán học, một hàm liên tục hay hàm số liên tục là một hàm số không có sự thay đổi đột ngột trong giá trị của nó, gọi là những điểm gián đoạn. Chính xác hơn, thay đổi rất ít đầu vào của hàm liên tục thì sự chênh lệch của đầu ra cũng nhỏ tùy ý. Một hàm số không liên tục còn gọi là hàm gián đoạn. Đến trước thế kỷ 19, các nhà toán học phần lớn sử dụng những khái niệm liên tục cảm tính, dẫn đến những nỗ lực chặt chẽ hóa nó như là định nghĩa epsilon–delta.

Dạng định nghĩa epsilon-delta được đề cập đầu tiên bởi Bernard Bolzano năm 1817. Định nghĩa liên tục ban đầu liên quan đến giới hạn được đưa ra bởi Augustin-Louis Cauchy. Cauchy định nghĩa liên tục của $f$ như sau: Một sự tăng vô cùng nhỏ của biến độc lập $x$ luôn luôn là một sự thay đổi tăng vô cùng nhỏ của $f(x)$. Cauchy định nghĩa trên một lượng vô cùng nhỏ của biến, định nghĩa của ông ta rất gần với định nghĩa của chúng ta sử dụng ngày nay.

Tính liên tục của hàm số là một khái niệm quan trọng trong tô pô học. Phần mở đầu của bài viết này tập trung vào trường hợp đặc biệt khi đầu vào và đầu ra của hàm số là những số thực. Một dạng mạnh hơn của tính liên tục là liên tục đều. Ngoài ra, bài viết này cũng có định nghĩa cho những trường hợp hàm số giữa hai không gian mêtric. Trong lý thuyết thứ tự, đặc biệt là lý thuyết miền, ta có khái niệm liên tục gọi là tính liên tục Scott.

Định nghĩa chính thức và phân biệt giữa liên tục điểm và liên tục đều được đưa ra đầu tiên bởi Bolzano vào năm 1830 nhưng điều đó không được công bố mãi đến năm 1930. Eduard Heine công bố lần đầu tiên định nghĩa liên tục đều năm 1872, nhưng dựa trên những ý tưởng từ bài giảng của Peter Gustav Lejeune Dirichlet năm 1854.

Một ví dụ đơn giản, hàm số thể hiện chiều cao của một cây đang mọc tại thời gian có thể được coi là liên tục. Ngược lại, hàm số chỉ số tiền trong một tài khoản ngân hàng tại thời gian là không liên tục, vì nó sẽ "nhảy" mỗi lần một số tiền được gửi vào hay rút ra.

Lịch sử

Dạng định nghĩa epsilon-delta được đề cập đầu tiên bởi Bernard Bolzano năm 1817. Định nghĩa liên tục ban đầu liên quan đến giới hạn được đưa ra bởi Augustin-Louis Cauchy. Cauchy định nghĩa liên tục của $f$ như sau: Một sự tăng vô cùng nhỏ của biến độc lập $x$ luôn luôn là một sự thay đổi tăng vô cùng nhỏ của $f(x)$. Cauchy định nghĩa trên một lượng vô cùng nhỏ của biến, định nghĩa của ông ta rất gần với định nghĩa của chúng ta sử dụng ngày nay.

Định nghĩa chính thức và phân biệt giữa liên tục điểm và liên tục đều được đưa ra đầu tiên bởi Bolzano vào năm 1830 nhưng điều đó không được công bố mãi đến năm 1930. Eduard Heine công bố lần đầu tiên định nghĩa liên tục đều năm 1872, nhưng dựa trên những ý tưởng từ bài giảng của Peter Gustav Lejeune Dirichlet năm 1854.

Hàm số thực

Định nghĩa

thumb|upright=1.5|Hàm số $f(x)=\backslash tfrac\; 1x$ liên tục trên tập xác định $\backslash R\backslash setminus\; \{0\}$, nhưng không liên tục trên toàn bộ $\backslash R$ vì nó không có nghĩa tại $x=0$

Một hàm số thực, ở đây nghĩa là hàm số từ tập số thực đến tập số thực, có thể được biểu diễn bằng đồ thị trong mặt phẳng tọa độ; một hàm số như thế là liên tục nếu, nói đại khái, đồ thị của nó là một đường duy nhất không bị đứt gãy chạy trên toàn tập số thực. Một định nghĩa chính xác hơn được đưa ở dưới.

Định nghĩa chặt chẽ cho tính liên tục của hàm số thực thường sử dụng khái niệm giới hạn. Hàm số theo biến được gọi là liên tục tại điểm trên trục số thực nếu giới hạn của khi tiến tới , bằng giá trị ; và hàm số được gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm. Một hàm số được gọi là gián đoạn tại một điểm khi nó không liên tục tại điểm đó. Những điểm này gọi là các điểm gián đoạn.

Có một số cách hiểu khác nhau cho tính liên tục của hàm số. Do đó, khi sử dụng khái niệm liên tục, cần phải cẩn thận coi ý nghĩa liên tục nào được dùng. Khi nói một hàm số là liên tục, người ta có thể mang một trong các ý nghĩa sau:

• Hàm số liên tục tại mọi điểm trong tập xác định của nó. Theo nghĩa này, hàm số liên tục trên tập xác định là tất cả số thực , số nguyên bất kỳ.
• Tại giá trị biên của tập xác định, chỉ xét giới hạn một bên. Ví dụ, hàm số , với tập xác định là các số thực không âm, chỉ có giới hạn bên phải tại . Trong trường hợp này chỉ cần giới hạn một bên của hàm số bằng giá trị của hàm số, tức có thể coi là liên tục trên toàn bộ tập số thực không âm.
• Hàm số liên tục tại mọi số thực. Theo nghĩa này, hai hàm số nêu trên không liên tục, còn các hàm đa thức, hàm sin, cosin, và hàm mũ đều liên tục.

Sử dụng ký hiệu toán học, có vài cách để định nghĩa hàm liên tục theo một trong ba cách hiểu nói trên.

Đặt là hàm số định nghĩa trên một tập con của tập số thực . Tập con này là tập xác định của . Một số khả năng cho bao gồm: :$D\; =\; \backslash mathbf\; R\; \backslash quad$ ( là toàn bộ tập số thực), hoặc với các số thực , , :$D\; =\; [a,\; b]\; =\; \{x\; \backslash in\; \backslash mathbf\; R\; \backslash ,|\backslash ,\; a\; \backslash leq\; x\; \backslash leq\; b\; \}\; \backslash quad$ ( là một khoảng đóng), hay : ( là một khoảng mở).

Trong trường hợp là một khoảng mở, và không phải là giá trị biên của tập xác định, và các giá trị và không ảnh hưởng đến tính liên tục của trên .

Định nghĩa liên tục theo giới hạn của hàm

Hàm $f$ gọi là liên tục tại điểm $c$ trên miền xác định nếu giới hạn của $f(x)$ khi $x$ tiến dần về $c$ tồn tại và bằng giá trị của $f(c)$. Ta viết:

$\backslash underset\{x\backslash rightarrow\; c\}\{\backslash lim\}f(x)=f(c)$

hay chính là 3 điều kiện sau: 1 là $f$ xác định tại $c$, 2 là giới hạn bên vế trái là tồn tại, thứ 3 là giá trị của giới hạn phải bằng $f(c)$.

Hàm $f$ là liên tục nếu liên tục tại mọi điểm trong miền xác định.

Định nghĩa theo giới hạn của dãy

Cho dãy $(x${n}){n\in\mathbb{N bất kì trên miền xác định hội tụ về $c$, thì tương ứng dãy $(f(x${n})){n\in\mathbb{N hội tụ về $f(c)$

Biểu diễn liên tục theo epsilon–delta Đồ thị hàm $f(x)=\backslash frac\{2x-1\}\{x+2\}$

Định nghĩa liên tục theo epsilon–delta

Cho số thực bất kỳ $\backslash varepsilon>0$, tồn tại số thực $\backslash delta>0$ sao cho với mọi $x$ trong miền xác định của $f$ với , giá trị của $f(x)$ thỏa

Liên tục của $f\backslash ,:\backslash ,\; I\backslash rightarrow\backslash mathbb\{R\}$ tại $c$ là với mọi $\backslash varepsilon>0$, tồn tại $\backslash delta>0$ sao cho với mọi $x\backslash in\; I$

Đồ thị hàm $\backslash operatorname\{sign\}(x)$ trên $\backslash mathbb\{R\}$

Ví dụ

Hàm

$f(x)=\backslash frac\{2x-1\}\{x+2\}$ liên tục trên miền xác định $\backslash mathbb\{R\backslash backslash\}\backslash \{-2\backslash \}$ ### Phản ví dụ

Ví dụ về hàm không liên tục với $\backslash varepsilon=\backslash frac\{1\}\{2\}$, lấy với mọi $y\backslash neq0$, khi đó không tồn tại sao cho vì $\backslash vert\; f(y)-f(0)\backslash vert=1\backslash ,\backslash forall\; y\backslash neq0$

Tính chất

Định lý giá trị trung gian

Cho $f\backslash ,:\backslash ,[a,b]\backslash rightarrow\backslash mathbb\{R\}$ là liên tục, giả sử $s$ nằm giũa $f(a)$ và $f(b)$. Khi đó tồn tại ít nhất một $c\backslash in[a,\backslash ,\; b]$ sao cho $f(c)=s$.

Ví dụ như một đứa trẻ từ khi 4 tuổi đến khi 8 tuổi, chiều cao tăng từ 1m đến 1.5m, khi đó sẽ có 1 thời điểm nào đó trong khoảng 4 tuổi đến 8 tuổi, đứa trẻ cao 1.2m

Định lý giá trị cực biên

Cho khoảng $[a,\backslash ,\; b]$ (khoảng đóng và bị chặn) và $f\backslash ,:\backslash ,\; [a,\backslash ,\; b]\backslash rightarrow\backslash mathbb\{R\}$ là liên tục, khi đó $f$ có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên $[a,\backslash ,\; b]$, hay tồn tại $c,\backslash ,\; d\backslash in\; [a,\backslash ,\; b]$ sao cho $f(c)\backslash leq\; f(x)\backslash leq\; f(d)$ với mọi $x\backslash in\; [a,b]$.

Định lý điểm cố định

Cho , $f\backslash ,:\backslash ,[a,\backslash ,\; b]\backslash rightarrow[a,\backslash ,\; b]$ liên tục, khi đó tồn tại ít nhất một $c\backslash in[a,\backslash ,\; b]$ sao cho $f(c)=c$.

Quan hệ với tính khả tích và khả vi

Mọi hàm $f\backslash ,:\backslash ,(a,b)\backslash rightarrow\backslash mathbb\{R\}$ khả vi đều liên tục, điều ngược lại không đúng.

Ví dụ hàm trị tuyệt đối

là liên tục trên $\backslash mathbb\{R\}$ nhưng không khả vi tại 0.

Đạo hàm $f^\{\text{'}\}(x)$ của hàm khả vi $f(x)$ không nhất thiết phải liên tục, nếu có đạo hàm liên tục thì ta gọi là khải vi liên tục. Tập các hàm này không gian hàm $C^\{1\}(a,b)$.

Xét tập các hàm

$f\backslash ,:\backslash ,\backslash Omega\backslash rightarrow\backslash mathbb\{R\}$

Trong đó $\backslash Omega$ là tập con mở trong $\backslash mathbb\{R\}$ sao cho hàm $f$ khả vi liên tục đến bậc $k$.

Tập các hàm này là không gian $C^\{k\}(\backslash Omega)$.

Mọi hàm

$f\backslash ,:\backslash ,[a,\backslash ,\; b]\backslash rightarrow\backslash mathbb\{R\}$

đều khả tích, điều ngược lạ không đúng, ví dụ như hàm $\backslash operatorname\{sign\}(x)$

Đồ thị hàm $\backslash sin(x)$

Liên tục đều

Giả sử $\backslash Omega$ là tập con của $\backslash mathbb\{R\}$ khi đó

$f\backslash ,:\backslash ,\backslash Omega\backslash rightarrow\backslash mathbb\{R\}$

liên tục đều trên $\backslash Omega$ nếu với mọi $\backslash epsilon\; >0$ cho trước tồn tại $\backslash delta\; >0$ chỉ phụ thuộc vào $\backslash epsilon$ sao cho , $\backslash forall\; x,\backslash ,\; x^\{\text{'}\}\backslash in\backslash Omega$ thì

Ví dụ như hàm $y=\backslash sin(x)$ và $y=x$

[[Dãy hàm liên tục hội tụ về hàm không liên tục]]

Hội tụ của dãy hàm liên tục

Cho dãy $(f${n}){n\in\mathbb{N\,:\, I\rightarrow\mathbb{R}

các hàm liên tục sao cho

$f(x)\; =\; \backslash lim\_\{n\; \backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; f\_n(x)$

tồn tại với mọi $x\backslash in\; I$, khi đó hàm $f(x)$ là giới hạn từng điểm của hãy $(f${n}){n\in\mathbb{N, hàm $f$ không nhất thiết liên tục cho dù $f\_n$ là liên tục.

Tuy nhiên nếu $f$ liên tục, khi đó dãy $(f${n}){n\in\mathbb{N hội tụ đều

Hàm không liên tục mọi nơi

Là hàm không liên tục tại mọi điểm trên miền xác định. Hàm Dirichlet

Cho $c$ và $d$ là hai số thực(thường lấy $c=1$ và $d=0$), định nghĩa bởi

::$D(x)=\backslash begin\{cases\}\; c,\; x\backslash in\; \backslash mathbb\{Q\}\backslash \; d,\; x\backslash notin\; \backslash mathbb\{Q\}\; \backslash end\{cases\}$ là không liên tục mọi nơi, hàm có thể phân tích thành

$D(x)=\backslash underset\{m\backslash rightarrow\backslash infty\}\{\backslash lim\}\backslash underset\{n\backslash rightarrow\backslash infty\}\{\backslash lim\}\backslash cos^\{2n\}(m!\backslash pi\; x)$ Nếu $E$ là tập con bất kì của không gian tô pô $X$ sao cho cả $E$ và phần bù của $E$ trù mật trong $X$ sẽ không liên tục mọi nơi. Hàm này được nghiên cứu đầu tiên bởi Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

Liên tục trên không gian mêtric

Định nghĩa

Liên tục trên không gian mê tric với định nghĩa:

Cho $(X,d\_1)$ và $(Y,d\_2)$ là 2 không gian mê tric.

Ánh xạ $f\backslash ,\backslash ,:\backslash ,\; (X,d\_1)\backslash ,\backslash rightarrow\backslash ,\; (Y,d\_2)$ liên tục tại $x\; \backslash in\; X$ nếu

hay với mọi $B(f(x),\backslash varepsilon)$ tâm tại $f(x)$ khi đó $\backslash exists\; B(x,\backslash sigma)$ tâm tại $x$ sao cho

$f(B(x,\backslash sigma))\backslash subset\; B(f(x),\backslash varepsilon)$. ### Tính chất * Cho $(X,\backslash ,\; d)$ là không gian mêtric, $A$ là tập con của $X$ thì $f\_\{A\}\backslash ,:\backslash ,\; X\backslash rightarrow\backslash mathbb\{R\}$ với $f\_\{A\}(x)=d(\backslash \{x\backslash \},\backslash ,\; A)$ là liên tục.

Liên tục Lipchitz

Cho hai không gian mêtric $(X,d${X}) và $(Y,d${Y}) với $d${X} là mêtric trên $X$ và $d${Y} là mêtric trên $Y$.

$f\backslash ,:\backslash ,\; X\backslash rightarrow\; Y$ là **liên tục Lipchitz** nếu tồn tại hằng số $K\backslash geq0$ sao cho với mọi $x\_\{1\},\backslash ,\; x\_\{2\}\backslash in\; X$ $d\_\{Y\}(f(x\_\{1\}),\backslash ,\; f(x\_\{2\}))\backslash leq\; K\backslash ,\; d\_\{X\}(x\_\{1\},\backslash ,\; x\_\{2\})$ #### Ví dụ Hàm $f(x)=\backslash sqrt\{x^\{2+5$ liên tục Lipchitz với $K=1$. ### Liên tục Holder Cho $X$ và $Y$ là hai không gian mêtric, $f$ là hàm từ $X$ vào $Y$.

Hàm $f$ là liên tục Cauchy nếu và chỉ nếu cho dãy Cauchy bất kì $(x${1},x{2},...) trong $X$, dãy $(f(x${1}),\, f(x{2}),\,...) là dãy Cauchy trong $Y$.

Mọi hàm liên tục đều thì liên tục Cauchy, liên tục Cauchy là liên tục. Nếu $X$ là không gian đầy đủ, thì mọi hàm liên tục trên $X$ là liên tục Cauchy.

ví dụ

Trên đường thẳng thực $\backslash mathbb\{R\}$ liên tục cũng chính là liên tục Cauchy.

Hàm $f(x)=0$ khi và $f(x)=1$ khi $x^\{2\}>2$ với mọi số hữu tỉ $x$. Hàm này liên tục trên $\backslash mathbb\{Q\}$ nhưng không liên tục Cauchy

Liên tục trong không gian tô pô

Nghiên cứu về không gian Tô pô, ta có nhiều khái niệm khác nhau về quan hệ giữa các không gian tô pô với nhau và giữa các không gian con của chúng. Ta muốn xem xét hàm đưa một không gian tô pô vào không gian tô pô khác, Tính liên tục của là một trong những khái niệm cốt lõi của không gian tô pô, được mô tả trực quan tính sinh động trong không gian hình học.

Định nghĩa

Ánh xạ từ X vào Y liên tục tại điểm x
U là lân cận của x trong X

• Cho $X$ và $Y$ là hai không gian tô pô. Ánh xạ $f\backslash ,\backslash ,:\backslash ,\; X\backslash ,\backslash rightarrow\backslash ,\; Y$ là liên tục tại điểm $x$ trong $X$ nếu mọi tập mở $V$ trong $Y$ chứa $f(x)$ thì có tập mở $U$ của $X$ chứa $x$ sao cho $f(U)$ chứa trong $V$. Ta nói $f$ liên tục trên $X$ nếu nó liên tục tại mọi điểm trên $X$.
• Lân cận của điểm $x\; \backslash in\; X$ là tập con của $X$ chứa tập mở chứa $x$. Lân cận không cần phải mở.
• $f$ liên tục tại $x$ nếu mọi tập mở $V$ chứa $f(x)$ thì tập $f^\{-1\}(V)$ là lân cận của $x$.

Định lý

• Ánh xạ là liên tục nếu và chỉ nếu ảnh ngược của tập mở là tập mở. Hay $f\backslash ,\backslash ,:\backslash ,\; X\backslash ,\backslash rightarrow\backslash ,\; Y$ liên tục khi và chỉ khi với mọi $V$ mở trong $Y$ thì $f^\{-1\}(V)$ mở trong $X$.

::Chứng minh

::($\backslash Rightarrow$) Giả sử rằng $f\backslash ,\backslash ,:\backslash ,\; X\backslash ,\backslash rightarrow\backslash ,\; Y$ là liên tục. Cho $U$ là tập mở trong $Y$. Cho $x\; \backslash in\; f^\{-1\}(U)$. Vì $f$ liên tục tại $x$ và $U$ là lân cận mở của $f(x)$ thì có mở $V\_x$ chứa $x$ sao cho $V$x chứa trong $f^\{-1\}(U)$. Do đó $f^\{-1\}(U)=\backslash cup${x\in f^{-1}(U)}V_{x} là mở.

::($\backslash Leftarrow$) Giả sử rằng ảnh ngược của mọi tập mở là tập mở. Cho $x\; \backslash in\; X$, $U$ là lân cận mở của $f(x)$. Khi đó $V=f^\{-1\}(U)$ là tập mở chứa $x$, và $f(V)$ chứa trong $U$. Vì thế $f$ liên tục tại $x$.

Một số tính chất và mệnh đề

• Ánh xạ là liên tục nếu và chỉ nếu ảnh ngược của tập đóng là tập đóng.
• Cho $X$ và $Y$ là hai không gian tô pô và $\backslash mathbb\{B\}$ là cơ sở của tô pô trên $Y$. Khi đó $f\backslash ,\backslash ,:\backslash ,\; X\backslash ,\backslash rightarrow\backslash ,\; Y$ liên tục nếu và chỉ nếu $f^\{-1\}(B)$ là mở trong $X$ với mọi $B\; \backslash in\; \backslash mathbb\{B\}$.
• Cho $\backslash mathbb\{R\}$ với tô pô định chuẩn. Khi đó mọi hàm đa thức $p\backslash ,:\backslash ,\backslash mathbb\{R\}\backslash ,\backslash rightarrow\backslash ,\backslash mathbb\{R\}$ với $p(x)\backslash ,=a${n}x^{n}+...+a{1}x+a+0 là liên tục.
• Giả sử $f\backslash ,\backslash ,:\backslash ,\; X\backslash ,\backslash rightarrow\backslash ,\; Y$ là liên tục. Nếu dãy $(x${1},\, x{2},\,...) trong $X$ hội tụ về $x$ khi đó dãy $(f(x${1}),\, f(x{2}),\,...) trong $Y$ hội tụ về $f(x)$.
• Cho $f\backslash ,\backslash ,:\backslash ,\; X\backslash ,\backslash rightarrow\backslash ,\; Y$ và $g\backslash ,\backslash ,:\backslash ,\; Y\backslash ,\backslash rightarrow\backslash ,\; Z$ liên tục. Khi đó hàm hợp $g\backslash ,\backslash circ\backslash ,\; f\backslash ,\backslash ,:\backslash ,\; X\backslash ,\backslash rightarrow\backslash ,\; Z$ là liên tục.
• Cho $X,\; Y$ là hai không gian tô pô, $A$ là không gian con của $X$. Cho $f\backslash ,:\backslash ,\; X\backslash rightarrow\; Y$ liên tục. Khi đó $f|\_\{A\}\backslash ,:\backslash ,\; A\backslash rightarrow\; Y$ liên tục.

Liên tục trong không gian tô pô liên thông

• Cho $f\backslash ,\backslash ,:\backslash ,\; X\backslash ,\backslash rightarrow\backslash ,\; Y$ liên tục, nếu $X$ liên thông thì $f(X)$ liên thông.
• Cho $f\backslash ,\backslash ,:\backslash ,\; X\backslash ,\backslash rightarrow\backslash ,\; Y$ liên tục, nếu $X$ liên thông đường thì $f(X)$ liên thông đường.
• Cho $X$ là không gian tô pô liên thông, và $f\backslash ,:\backslash ,\; X\backslash rightarrow\backslash mathbb\{R\}$ liên tục. Nếu $p,\backslash ,\; q\backslash in\; f(X)$ và $p\backslash leq\; r\backslash leq\; q$, khi đó $r\backslash in\; f(X)$. (Định lý giá trị trung bình mở rộng)
• Cho $f\backslash ,:\backslash ,\; S^\{2\}\backslash rightarrow\backslash mathbb\{R\}$ liên tục, khi đó tồn tại $c\backslash in\; S^\{2\}$ sao cho $f(c)=f(-c)$.

Liên tục trong không gian tô pô compact

• Cho $f\backslash ,\backslash ,:\backslash ,\; X\backslash ,\backslash rightarrow\backslash ,\; Y$ liên tục, nếu $X$ compact thì $f(X)$ compact.
• Cho $X$ compact và $f\backslash ,:\backslash ,\; X\backslash rightarrow\backslash mathbb\{R\}$ là liên tục, khi đó $f$ có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên $X$, hay tồn tại $a,\backslash ,\; b\backslash in\; X$ sao cho $f(a)\backslash leq\; f(x)\backslash leq\; f(b)$ với mọi $x\backslash in\; X$.
• Cho $[a,\backslash ,\; b]$ là khoảng đóng và bị chặn trong $\backslash mathbb\{R\}$. Giả sử $f\backslash ,:\backslash ,[a,\backslash ,\; b]\backslash rightarrow\backslash mathbb\{R\}$ là liên tục. Khi đó ảnh của $f$ là khoảng đóng và bị chặn trong $\backslash mathbb\{R\}$.

Ví dụ 1: Tính liên tục của 3 ánh xạ $f,\; g,\; h$ đi từ không gian tô pô $X$ vào không gian tô pô $Y$

Ví dụ 2: Ánh xạ liên tục trên cơ sở

Ví Dụ

::Ví dụ 1: Cho $X=\{a,b,c,d\}$ và $Y=\{1,2,3\}$ là 2 không gian tô pô được miêu tả ở hình bên, với $f,g,h\backslash ,:\backslash ,\; X\backslash ,\backslash rightarrow\; Y$ xác định:

::$f(a)=1,\backslash ,\; f(b)=1,\backslash ,\; f(c)=2,\backslash ,\; f(d)=2$

::$g(a)=2,\backslash ,\; g(b)=2,\backslash ,\; g(c)=1,\backslash ,\; g(d)=3$

::$h(a)=1,\backslash ,\; h(b)=2,\backslash ,\; h(c)=2,\backslash ,\; h(d)=3$

::Có $f,\; g$ liên tục và $h$ không liên tục.

::Ví dụ 2: Xét $(a,b)$ với và $a,b\backslash in\backslash mathbb\{R\}$, có $\backslash mathbb\{B\}=\{(x,b)|x\backslash in(a,b)\}$ và $\backslash mathbb\{B\}^\{\text{'}\}=\{(a,y)|y\backslash in(a,b)\}$ là hai cơ sở. Ánh xạ

::$f\backslash ,:\backslash ,\; z\backslash rightarrow\; b-z+a$ với $z\backslash in(a,x),x\backslash in(a,b)$biến mỗi phần tử trong $\backslash mathbb\{B\}^\{\text{'}\}$ thành một phần tử trong $\backslash mathbb\{B\}$ là ánh xạ ngược của ánh xạ

::$g\backslash ,:\backslash ,\; z^\{\text{'}\}\backslash rightarrow\; b-z^\{\text{'}\}+a$ với $z^\{\text{'}\}\backslash in(x,b),x\backslash in(a,b)$

::Ánh xạ $g$ liên tục.