✨Hàm Dirichlet

Hàm Dirichlet

Trong toán học, hàm Dirichlet là hàm chỉ thị \mathbf{1}\Q của tập số hữu tỉ \Q, với \mathbf{1}\Q(x) = 1 khi là số hữu tỉ và \mathbf{1}_\Q(x) = 0 khi không phải là số hữu tỉ (hay là số vô tỉ).

\mathbf 1_\Q(x) = \begin{cases} 1 & x \in \Q \\ 0 & x \notin \Q \end{cases}

Hàm số này được đặt theo tên của nhà toán học Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Hàm Dirichlet là phản ví dụ điển hình cho nhiều lý thuyết toán học.

Tính chất

Công thức tường minh

Hàm Dirchlet có thể được biểu diễn dưới dạng hai phép tính giới hạn của một hàm liên tục như sau:

\forall x \in \R, \quad \mathbf{1}_{\Q}(x) = \lim_{k \to \infty} \left(\lim_{j\to\infty}\left(\cos(k!\pi x)\right)^{2j}\right)với và là hai số nguyên. Công thức này chỉ ra rằng hàm Dirchlet là hàm Baire loại 2.

Tính liên tục

Hàm Dirichlet không liên tục tại bất cứ điểm nào.

Chứng minh trên cũng giúp ta có một phản ví dụ cho định lý hội tụ đơn điệu không đúng khi xét tích phân Riemann.

Tính tuần hoàn

Với mọi số thực và bất cứ số hữu tỉ dương nào, ta đều dễ dàng có được \mathbf{1}\Q(x + T) = \mathbf{1}\Q(x). Tính chất này khiến hàm Dirichlet là một ví dụ tốt cho hàm tuần hoàn khác hằng nhưng có tập chu kỳ - đồng thời là tập số hữu tỉ, trù mật trong \R.

Tính khả tích

Mặc dù bị chặn, nhưng do hàm Dirichlet không liên tục tại bất cứ điểm nào trên \R nên nó không khả tích Riemann. (Xem thêm độ đo Lebesque) Tuy nhiên, hàm Dirichlet lại khả tích Lebesque trên \R và tích phân của nó trên \R bằng 0, do hàm Dirchlet bằng 0 hầu khắp nơi (chỉ trừ tập số hữu tỉ, mà tập số hữu tỉ là tập đếm được nên có độ đo không).

👁️ 1 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚
💫 Hàm Dirichlet
Trong toán học, **hàm Dirichlet** là hàm chỉ thị \mathbf{1}_\Q của tập số hữu tỉ \Q, với \mathbf{1}_\Q(x) = 1 khi là số hữu tỉ và \mathbf{1}_\Q(x) = 0 khi không phải là số hữu
💫 Hàm liên tục
Trong toán học, một **hàm liên tục** hay **hàm số liên tục** là một hàm số không có sự thay đổi đột ngột trong giá trị của nó, gọi là những điểm gián đoạn. Chính
💫 Hàm tuần hoàn
thumb|Minh họa hàm tuần hoàn với chu kỳ P. Trong toán học, một **hàm tuần hoàn** là hàm số lặp lại giá trị của nó trong những khoảng đều đặn hay chu kỳ. Ví dụ
💫 Giới hạn của hàm số
thumb|220x124px | right | Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a
Mặc dù hàm số không được định nghĩa tại , khi tiến
💫 Tích chập Dirichlet
Trong toán học, **tích chập Dirichlet**, còn gọi là **phép nhân Dirichlet**, là một phép toán hai ngôi đóng giữa các hàm số học, tức những hàm số đi từ tập số nguyên dương đến
💫 Hàm nhân tính hoàn toàn
Trong lý thuyết số, **hàm nhân tính hoàn toàn** hay **hàm nhân tính toàn bộ** là một hàm số học giữ lại phép nhân giữa hai số bất kỳ. Nói cách khác, hàm số định
💫 Hàm Von Mangoldt
Trong toán học, **hàm von Mangoldt** là hàm số học được theo tên nhà toán học Đức Hans von Mangoldt. Nó là một trong những ví dụ quan trọng về hàm số học không nhân
💫 Định lý Dirichlet trên cấp số cộng
Trong lý thuyết số, **định lý Dirichlet trên cấp số cộng** được phát biểu một cách sơ cấp như sau: Cho a;b là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, thế thì sẽ có
💫 Hàm nhân tính
:_Ngoài lý thuyết số, cụm từ **hàm nhân tính** thường được dùng để chỉ hàm nhân tính hoàn toàn. Bài viết này nói về hàm nhân tính trong ngữ cảnh lý thuyết số._ Trong lý
💫 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
**Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet** (13 tháng 2 năm 1805 – 5 tháng 5 năm 1859) là một nhà toán học người Đức được cho là người đưa ra định nghĩa hiện đại của hàm
💫 Hàm zeta Riemann
phải|nhỏ|469x469px| Điểm kì dị tại z=1 và hai không điểm trên đường tới hạn. **Hàm** **zeta Riemann** hoặc **hàm zeta Euler-Riemann**, , là một hàm số một biến phức, là kết quả thác triển giải
💫 Tích Euler
Trong lý thuyết số, **tích Euler** là dạng khai triển chuỗi Dirichlet thành tích vô hạn được đánh chỉ số bởi các số nguyên tố. Tích gốc xuất hiện trong bài chứng minh công thức
💫 Giả thuyết Riemann
nhỏ|Phần thực (màu đỏ) và phần ảo (màu xanh) của hàm zeta Riemann dọc theo đường giới hạn Re(_s_) = 1/2. Các không điểm phi tầm thường đầu tiên tại Im(_s_) = ±14,135; ±21,022 và
💫 Không gian Hilbert
Trong toán học, **không gian Hilbert** (Hilbert Space) là một dạng tổng quát hóa của không gian Euclid mà không bị giới hạn về vấn đề hữu hạn chiều. Đó là một không gian có
💫 Các bài toán của Landau
nhỏ|[[Edmund Landau, nhà toán học Đức]] Tại hội nghị toán học quốc tế năm 1912, Edmund Landau đã liệt kê ra bốn bài toán về số nguyên tố. Các bài toán được nói theo lời
💫 Số nguyên tố
thế=Groups of two to twelve dots, showing that the composite numbers of dots (4, 6, 8, 9, 10, and 12) can be arranged into rectangles but the prime numbers cannot|nhỏ| Hợp số có thể được
💫 Bernhard Riemann
**Georg Friedrich Bernhard Riemann** (phát âm như "ri manh" hay IPA ['ri:man]; 17 tháng 9 năm 1826 – 20 tháng 7 năm 1866) là một nhà toán học người Đức, người đã có nhiều đóng
💫 Lý thuyết số
**Lý thuyết số** là một ngành của toán học lý thuyết nghiên cứu về tính chất của số nói chung và số nguyên nói riêng, cũng như những lớp rộng hơn các bài toán mà
💫 Danh sách chủ đề toán học
Bài này nói về từ điển các chủ đề trong toán học. ## 0-9 * -0 * 0 * 6174 ## A * AES * ARCH * ARMA * Ada Lovelace * Adrien-Marie Legendre *
💫 Đa thức Chebyshev
**Đa thức Chebyshev**, được đặt theo tên nhà toán học Nga Pafnuty Chebyshev, [1] là một dãy đa thức trực giao (tiếng Anh: orthogonal polynomials), và có liên quan đến công thức de Moivre (de
💫 Dấu hiệu hội tụ
Trong toán học, các **dấu hiệu hội tụ** (hay **tiêu chuẩn hội tụ**) là các phương pháp kiểm tra sự hội tụ, hội tụ có điều kiện, hội tụ tuyệt đối, khoảng hội tụ hay
💫 Công thức Leibniz để tính π
Trong toán học, **Công thức Leibniz để tính ** được viết như sau: \frac{\pi}{4} = 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k{2k + 1}, Đây là một chuỗi đan dấu, được đặt theo tên nhà toán
💫 Richard Dedekind
**Julius Wilhelm Richard Dedekind** (1831-1916) là nhà toán học người Đức. ## Tiểu sử Lúc đầu Dedekind chỉ ham mê vật lý và hóa học, mãi sau ông mới bắt đầu có những nghiên cứu
💫 Phương pháp phần tử hữu hạn
**Phương pháp phần tử hữu hạn** là phương pháp số gần đúng để giải các bài toán được mô tả bởi các phương trình vi phân đạo hàm riêng trên miền xác định có hình
💫 Hệ thống phi tuyến
Trong vật lý và các ngành khoa học khác, một **hệ thống phi tuyến**, trái ngược với một hệ thống tuyến tính, là một hệ thống mà không thỏa mãn nguyên tắc xếp chồng -
💫 Chuỗi Fourier
Trong toán học, **chuỗi Fourier** (được dặt tên theo nhà toán học Joseph Fourier) của một hàm tuần hoàn là một cách biểu diễn hàm đó dưới dạng tổng của các hàm tuần hoàn có
💫 Phân phối xác suất
Trong toán học và thống kê, một **phân phối xác suất** hay thường gọi hơn là một **hàm phân phối xác suất** là quy luật cho biết cách gán mỗi xác suất cho mỗi khoảng
💫 Hằng số Catalan
Trong toán học và tổ hợp, **hằng số Catalan** , đặt tên theo nhà toán học Eugène Charles Catalan, được định nghĩa là :G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2}
💫 Bảng tra cứu dãy số nguyên trực tuyến
**Bảng tra cứu dãy số nguyên trực tuyến** (_The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences_), hay đơn giản là **Sloane's**, là cơ sở dữ liệu chuỗi số nguyên trực tuyến. Bảng được tạo ra và bảo
💫 Georg Cantor
**Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor** (;  – 6 tháng 1 năm 1918) là một nhà toán học người Đức, được biết đến nhiều nhất với tư cách cha đẻ của lý thuyết tập hợp, một
💫 Adrien-Marie Legendre
**Adrien-Marie Legendre** (18 tháng 9 năm 1752 – 10 tháng 1 năm 1833) là một nhà toán học người Pháp. Ông có nhiều đóng góp quan trọng vào thống kê, số học, đại số trừu tượng
💫 Chuỗi hội tụ
Trong toán học, một chuỗi là một tổng hình thức các số hạng của một dãy số vô hạn. Cho một dãy vô hạn (a_1, a_2, a_3, \dots), tổng thành phần thứ _n_ của nó
💫 Cổng Toffoli
thumb|Ký hiệu của cổng Toffoli Trong mạch logic, **cổng Toffoli** (còn gọi là **cổng CCNOT**), phát minh bởi Tommaso Toffoli, là một cổng đảo ngược phổ quát, nghĩa là mọi cổng đảo ngược đều có
💫 Norbert Wiener
**Norbert Wiener** (26 tháng 11 năm 1894 - 18 tháng 3 năm 1964) là một nhà toán học và triết học Mỹ. Ông là Giáo sư Toán học tại MIT. Được biết đến như một
💫 Giả thuyết Elliott–Halberstam
Trong lý thuyết số, **giả thuyết Elliott–Halberstam** là giả thuyết về sự phân phối của các số nguyên tố trong cấp số cộng. Nó có nhiều ứng dụng trong lý thuyết sàng. Nó được đặt
💫 Thuyết M
**Thuyết M** (đôi khi được gọi **Thuyết U**) là một kết quả đề xuất cho một thuyết thống nhất sau cùng, thuyết vạn vật, ở đó kết hợp cả năm dạng thuyết siêu dây và
💫 Ký hiệu Legendre
Trong lí thuyết số, **kí hiệu Legendre** là một hàm nhân tính nhận ba giá trị 1, -1 và 0. Nó được đặt theo tên của nhà toán học Pháp Adrien-Marie Legendre và gắn liền
💫 Lý thuyết số đại số
**Lý thuyết số đại số** là một nhánh của lý thuyết số sử dụng các kỹ thuật của đại số trừu tượng để nghiên cứu các số nguyên, các số hữu tỷ và các tổng
💫 Đối xứng gương (lý thuyết dây)
Trong hình học đại số và vật lý lý thuyết, **đối xứng gương** là mối quan hệ giữa các vật thể hình học được gọi là những đa tạp Calabi-Yau. Các đa tạp này có
💫 Repunit
Trong toán học tiêu khiển, **Số repunit** (hoặc gọi tắt đi là **repunit**) là các số tương tự như 11, 111, hoặc 1111, tức là các số chỉ bao gồm chữ số 1 — dạng
💫 Rudolf Lipschitz
**Rudolf Otto Sigismund Lipschitz** (14 tháng 5 năm 1832 – 7 tháng 10 năm 1903) là một nhà toán học người Đức, giáo sư Đại học Bonn từ năm 1864. Ông là học trò của
💫 Định lý Heine–Borel
Trong topo học của không gian metric, **định lý Heine-Borel**, được đặt theo tên của Eduard Heine và Émile Borel, phát biểu rằng: Đối với một tập con _A_ trong không gian Euclide \mathbb{R}^n, thì
💫 Mô hình túi từ trong thị giác máy tính
Trong **thị giác máy tính**, **mô hình túi từ** (**bag-of-words model,** mô hình BoW) có thể được áp dụng để phân loại hình ảnh, bằng cách coi các đặc trưng của hình ảnh như từ