Khái niệm hội tụ trong toán học có thể được sử dụng trong các không gian Euclid (chẳng hạn xem định nghĩa (ε, δ) của giới hạn), các không gian metric, ví dụ như $\backslash mathbb\{R\}$, $\backslash mathbb\{R\}^2$, các không gian hàm hay các không gian tô pô. Với các không gian metric, ta có sự tương đương giữa hai phát biểu sau:

Một ánh xạ f là liên tục theo nghĩa tô pô.

Với mọi điểm x trong X, và với mọi dãy trong X hội tụ tới x, tạo ảnh của dãy này bởi f hội tụ tới f(x). (tính chất này cũng được gọi là liên tục theo nghĩa dãy).

Đối với các không gian tô pô tổng quát, ta có 1 suy ra 2, nhưng điều ngược lại không đúng. (trong một số trường hợp, chẳng hạn như với các không gian đếm được bậc nhất, ta có 2 suy ra 1). Do đó, người ta đã xây dựng khái niệm hội tụ của lưới nhằm đạt được một tính chất tương đương với tính liên tục của ánh xạ.

Bài viết sau khảo sát lại các khái niệm về sự hội tụ, tính liên tục và mối quan hệ giữa chúng.

Sự hội tụ của một hàm số

nhỏ|Với mọi $x\; \backslash geq\; S$, $f(x)$ nằm trong lân cận $\backslash epsilon$ của $L$ nhỏ|Với $x$ dao động trong lân cận $\backslash delta$ của $c$ thì hàm $f(x)$ dao động trong khoảng $\backslash epsilon$ của $L$

Giả sử $f$ là hàm số thực, $c$ là hằng số. Ký hiệu $\backslash lim\_\{x\; \backslash rightarrow\; c\}f(x)=L$ có nghĩa là $f(x)$ tiến gần đến $L$ khi $x$ tiến gần về $c$. Có thể đọc là "Giới hạn của hàm $f$ khi $x$ tiến gần đến $c$ là $L$ ".

Lưu ý: Hàm $f(x)$ có thể không cần xác định tại $c$

Định nghĩa trên được Augustin Louis Cauchy sáng kiến vào năm 1821. Sau đó, Karl Weierstrass đã hình thức hóa bằng cách định nghĩa theo $(\backslash epsilon,\; \backslash delta)$ như sau:

Hàm số $f$ hội tụ về $L$ nếu $\backslash forall\; \backslash epsilon\; \backslash geq\; 0$, $\backslash exist\; \backslash delta\_\backslash epsilon\; \backslash geq\; 0$ sao cho

Ví dụ

Cho $f(x)\; =\; \backslash frac\{x^2\; -\; 1\}\{x\; -\; 1\}$

Thì $f(1)$ không xác định, khi cho $x$ tiến gần về 1 thì $f(x)$ tiến gần về 2:

Do đó, $f(x)$ có thể tiến gần đến giới hạn của 2 ngay khi $x$ gần đến 1.

Mặt khác, $\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; 1\}\; \backslash frac\{x^2-1\}\{x-1\}\; =\; 2$

Nó cũng có thể được tính theo phương pháp đại số, khi $\backslash frac\{x^2-1\}\{x-1\}\; =\; \backslash frac\{(x+1)(x-1)\}\{x-1\}\; =\; x+1$ với mọi số thực $x\backslash neq\; 1$.

Vì $x+1$ liên tục theo $x$ tại 1 nên có thể thay $x=1$ để được $\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; 1\}\; \backslash frac\{x^2-1\}\{x-1\}\; =\; 1+1\; =\; 2$.

Thêm giới hạn tại những điểm hữu hạn, hàm có thể có những giới hạn vô hạn. Ví dụ, xét :$f(x)\; =\; \{2x-1\; \backslash over\; x\}$

• $f(100)$ = 1.9900
• $f(1000)$ = 1.9990
• $f(10000)$= 1.99990

Khi $x$ thật sự lớn, giá trị của $f(x)$ tiến về 2. Trong trường hợp này, giới hạn của $f(x)$ khi $x$ tiến đến vô cùng là 2. Ký hiệu trong toán học,

:$\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{2x-1\}\{x\}\; =\; 2.$

Sự hội tụ của một dãy

nhỏ|Hình biểu diễn sự hội tụ của dãy $\backslash dfrac\{n+1\}\{2n^2\}$ khi $n\; \backslash rightarrow\; \backslash infty$ nhỏ|Sự hội tụ của [[dãy Cauchy]] Trong không gian tôpô $X$, dãy $(x\_1,x\_2,...)$ hội tụ về $x$ nếu với mỗi lân cận mở $U$ của $x$ thì có một số nguyên dương $N$ sao cho $x\_n\; \backslash in\; U\; \backslash ;\; \backslash forall\; n\; \backslash geq\; N$. Khi đó $x$ là điểm giới hạn của dãy $(x\_1,x\_2,...)$ và viết

$\backslash lim\_\{n\; \backslash rightarrow\; \backslash infty\}x\_n=x$ ### Ví dụ *Nếu $x\_n\; =\; c$ với $c$ là hằng số thì $x\_n\; \backslash to\; c$. *Nếu $x\_n\; =\; 1/n$ thì $x\_n\; \backslash to\; 0$. *Nếu $x\_n\; =\; 1/n$ khi $n$ chẵn và $x\_n\; =\; 1/n^2$ khi $n$ lẻ thì $x\_n\; \backslash to\; 0$. ### Tính chất *Nếu $a\_n\; \backslash to\; a$ và $b\_n\; \backslash to\; b$ thì $a\_n+b\_n\; \backslash to\; a+b$, $a\_nb\_n\; \backslash to\; ab$. *Giới hạn của một dãy là duy nhất *$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; (a\_n\; \backslash pm\; b\_n)\; =\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; a\_n\; \backslash pm\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; b\_n$ *$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; c\; a\_n\; =\; c\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; a\_n$ *$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; (a\_n\; b\_n)\; =\; (\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; a\_n)(\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; b\_n)$ *$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; \backslash frac\{a\_n\}\; \{b\_n\}\; =\; \backslash frac\{\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; a\_n\}\{\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; b\_n\}$ với $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; b\_n\; \backslash ne\; 0$ *$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; a\_n^p\; =\; \backslash left[\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; a\_n\; \backslash right]^p$ *Nếu $a\_n\; \backslash leq\; b\_n$ với mọi $n$ lớn hơn $N$ thì $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; a\_n\; \backslash leq\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; b\_n$

Sự hội tụ của một lưới

Lưới $(x\_i)$ được gọi là hội tụ về $x\; \backslash in\; X$ ($X$ là một không gian tôpô)nếu với mỗi lân cận $U$ của $x$ tồn tại một chỉ số $i\; \backslash in\; I$ ($I$ là tập có hướng) sao cho $\backslash forall\; j\; \backslash geq\; i$ thì $x\_j\; \backslash in\; U$. Điểm $x$ được gọi là điểm giới hạn của lưới $\{\; x\_i\; \}\_i\; \backslash in\; I$ và thường viết $x\_i\; \backslash longrightarrow\; x$.

Tập có hướng

Tập có hướng là một tập có thứ tự $I$ sao cho: Với 2 phần tử $i,\; j\; \backslash in\; I$, luôn có phần tử $k\; \backslash in\; I$ lớn hơn hoặc bằng của hai phần tử $i,\; j$. Ký hiệu: $\backslash forall\; i,j\; \backslash in\; I$, $\backslash exist\; k\; \backslash in\; I,\; k\; \backslash geq\; i$ và $k\; \backslash geq\; j$

Lưới

Lưới (còn được gọi là dãy tổng quát) là một ánh xạ đi từ một tập có hướng vào trong một không gian. Nói cách khác, một lưới trên không gian $X$ (với tập chỉ số là tập có hướng $I$) là một ánh xạ $x:\; I\; \backslash longrightarrow\; X$. Ta viết $x\_i=x(i)$ và ký hiệu lưới $(x$i){i\in I} . Ký hiệu $\{\; x\_i\; \}\_i\; \backslash in\; I$ cũng thường được sử dụng.

Ví dụ

• Tập số tự nhiên $\backslash mathbb\{N\}$ với quan hệ thứ tự $(\backslash leq)$ là một tập có hướng.
• Cho $X$ là một không gian tôpô và $x\; \backslash in\; X$. Lấy $I$ là họ các lân cận mở của $x$. Định nghĩa trên tập $I$: $U\; \backslash leq\; V\; \backslash Longleftrightarrow\; U\; \backslash supset\; V$. Lúc đó $I$ trở thành tập có có hướng.
• Những lưới có tập chỉ số $I=\; \backslash mathbb\{N\}$ với thứ tự thông thường là một dãy.
• Sự hội tụ của những lưới có tập chỉ số $I=\; \backslash mathbb\{N\}$ với thứ tự thông thường là sự hội tụ của dãy.
• Lấy $X=\; \{\; x\_1,\; x\_2,\; x\_3\; \}$ với tôpô $\{\; \backslash varnothing,\; X,\; \{\; x\_1,\; x\_3\; \},\; \{\; x\_2,\; x\_3\; \},\; \{\; x\_3\; \}\; \}$. Lưới $(x\_3)$ hội tụ về $x\_1,\; x\_2$ và $x\_3$. Lưới $(x\_1,\; x\_2)$ hội tụ về $x\_2$.

  Các phát biểu liên quan đến hội tụ trong không gian tôpô

• Điểm $x\; \backslash in\; X$ được gọi là điểm giới hạn của tập con $A\; \backslash subset\; X$ $\backslash Longleftrightarrow$ có một lưới trong $A-\; \{x\}$ hội tụ về $x$.

• Cho $X,Y$ là hai không gian tôpô. Ánh xạ$f:\; X\backslash longrightarrow\; Y$ liên tục tại $x$ $\backslash Longleftrightarrow$ Nếu một lưới $n$ hội tụ về $x$ thì lưới $f\; \backslash circ\; n$ hội tụ về $f(x)$.
  *Nếu $X$ là không gian Hausdorff thì mọi lưới trong $X$ có nhiều nhất một điểm giới hạn.
  :
  *Không gian mêtric là compact nếu và chỉ nếu mọi dãy đều có dãy con hội tụ.