✨Không gian định chuẩn

Cùng với khái niệm không gian mêtric, không gian định chuẩn cũng đóng vai trò rất quan trọng trong giải tích nói chung và topo nói riêng.

Sơ lược về không gian định chuẩn

Định nghĩa

Cho E là không gian vectơ trên trường số $D$ và ánh xạ $\backslash left\backslash Vert.\; \backslash right\backslash Vert:\; E\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\}$

Ta nói $\backslash left\backslash Vert.\; \backslash right\backslash Vert$ là chuẩn trên E nếu nó thỏa 3 tính chất sau: :$(1).||x||\backslash geq0\backslash quad\; x\backslash in\; E;$, : $(2).||x||=0\backslash Leftrightarrow\; x=\backslash mathbf\{0\}$ nếu x là 1 vector. :$(3).||kx||=|k|.||x||;\backslash quad\backslash forall\; x\backslash in\; E,k\backslash in\backslash mathbb\{R\}$ :$(4).||x+y||\backslash leq||x||+||y||,\backslash quad\backslash forall\; x,y\backslash in\; E$

Nếu $\backslash left\backslash Vert.\; \backslash right\backslash Vert$ là chuẩn trên E, ta nói $(E,\backslash left\backslash Vert.\; \backslash right\backslash Vert)$ là không gian vecto định chuẩn (còn đọc tắt là không gian định chuẩn).

Ta có thể định nghĩa chuẩn bằng công thức: $\backslash left\backslash Vert\; x\; \backslash right\backslash Vert:=\; \backslash sup\_\{x\backslash in\; E,\; \backslash left\backslash vert\; x\; \backslash right\backslash vert=1\}\; \backslash left\; \{|x\_i|\backslash right\}$ và có thể hiểu phép định chuẩn như là vi phân độ dài của vector x.

Một số ví dụ về chuẩn

• Không gian $\backslash R^2$ với các metric: :$d\_1(x,y)\; =\; |x\_1\; -\; y\_1|\; +\; |x\_2\; -\; y\_2|$ :$d\_2(x,y)\; =\; [(x\_1\; -\; y\_1)$²$+\; (x\_2\; -\; y$2)²$]$^1/2 *:$d${\infty}(x,y) = max {|x_1 - y_1|, |x_2 - y_2| } lần lượt có các chuẩn tương ứng sau:

::$\backslash left\backslash Vert\; x-y\; \backslash right\backslash Vert\; \_1\; =\; |x\_1\; -\; y\_1|\; +\; |x\_2\; -\; y\_2|$ ::$\backslash left\backslash Vert\; x-y\; \backslash right\backslash Vert\; \_2\; =\; [(x\_1\; -\; y\_1)$²$+\; (x\_2\; -\; y$2)²$]$^1/2 ::$\backslash left\backslash Vert\; x-y\; \backslash right\backslash Vert${\infty} = max {|x_1 - y_1|, |x_2 - y_2| }

• Không gian các hàm số mũ p khả tích trên khoảng [0,1] với chuẩn $\backslash left\backslash Vert\; \backslash right\backslash Vert\; \_p$ sau; Khi p=1;

:$|f|\_p\; =\; \backslash left(\backslash int\_0^1\; |f(t)|\; dt\backslash right)$ Khi ;

:$|f|\_p\; =\; \backslash left(\backslash int\_0^1\; |f(t)|^p\; dt\backslash right)^\{1/p\}$ Khi $p\; =\; \backslash infty$;

:$|f|\_p\; =\; \backslash inf\; \backslash lbrace\{\; \backslash lambda:\; |f(x)|\backslash leq\; \backslash lambda\; \backslash qquad\; h.k.n\; \backslash rbrace\}$

• Không gian các hàm liên tục f từ $\backslash mathbb\{R\}^m$ vào $\backslash mathbb\{R\}^n$ và khả tích với chuẩn $\backslash left\backslash Vert\; \backslash right\backslash Vert$ sau;

Khi n=1;

:$|f|\; =\; \backslash left(\backslash int\_0^1\; |f(t)|\; dt\backslash right)$ Khi ;

:$|f|\; =\; \backslash left(\backslash int$0^1 \sum{k=1}^n(f_{k}(t))^2 dt\right)^{1/2}

Khi $n\; =\; \backslash infty$;

:$|f|=\; \backslash sup\; \backslash lbrace\{\; |f\_\{k\}(x)|:\; x\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}^m,\; k\backslash in\; \backslash mathbb\{N\}\; \backslash rbrace\}$ Trong đó ::$x=(x\_1,...,x\_m),\; f=(f\_1(x),...,f\_n(x))$ ::$\backslash lbrace\{f$i(x) \rbrace}{1\leq i \leq n}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}, ::$x\_i\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\},\; \backslash qquad\; \backslash forall\; i\; \backslash in\; \backslash overline\{1,..,m\}$

Cấu trúc tô-pô

Một không gian định chuẩn được trang bị một cấu trúc tô-pô với một cơ sở là tập hợp các quả cầu mở. Các khái niệm tô-pô (như đóng, mở, trù mật,...) có thể được diễn đạt theo ngôn ngữ của không gian định chuẩn.

Tính chất

• Một không gian định chuẩn là một không gian tô-pô liên thông, Hausdorff, không compact.
• Một không gian định chuẩn hữu hạn chiều là một không gian compact địa phương.

Các định nghĩa, định lý liên quan khác

Không gian định chuẩn sinh với chuẩn sinh bởi metric

Cho $(E,d(.,.))$ là không gian mêtric, ta nói chuẩn $\backslash left\backslash Vert\; \backslash right\backslash Vert$ tạo bởi metric $d(.,.)$ tức là:

::$\backslash left\backslash Vert\; x-y\; \backslash right\backslash Vert\; =\; d(x,y)$,$\backslash qquad$ $\backslash forall\; x,y\; \backslash in\; E$

Do đó, không gian định chuẩn cũng có cơ sở trên không gian tôpô dưới dạng họ các quả cầu mở như trên với chuẩn là các metric tương ứng.

Quả cầu mở, quả cầu đóng

Cho $\backslash left(E,\backslash left\backslash Vert\; \backslash right\backslash Vert\; \backslash right)$ là không gian định chuẩn; $a\backslash in\; E$ và $r>0$.

Tập mở, tập đóng, tập bị chặn, trù mật

Cho $\backslash left(E,\backslash left\backslash Vert\; \backslash right\backslash Vert\; \backslash right)$ là không gian định chuẩn; $a\backslash in\; E$ và $A\; \backslash subset\; E$.

Ta nói:

$A$ là tập mở trong $\backslash left(E,\backslash left\backslash Vert\; \backslash right\backslash Vert\; \backslash right)$ nếu có họ các quả cầu mở $\backslash lbrace\{\; B(a\_i,r\_i)\; \backslash rbrace\}\_\{i\backslash in\; I\}$ trong $\backslash left(E,\backslash left\backslash Vert\; \backslash right\backslash Vert\; \backslash right)$ sao cho: :::$A=\backslash cup\_\{i\; \backslash in\; I\}B(a\_i,r\_i)$. $A$ là tập đóng trong $\backslash left(E,\backslash left\backslash Vert\; \backslash right\backslash Vert\; \backslash right)$ nếu $E\; -\; A$ là tập mở trong $\backslash left(E,\backslash left\backslash Vert\; \backslash right\backslash Vert\; \backslash right)$. $A$ là tập bị chặn trong $\backslash left(E,\backslash left\backslash Vert\; \backslash right\backslash Vert\; \backslash right)$ nếu có quả cầu đóng $B\text{'}(a\_i,r\_i)$ trong $\backslash left(E,\backslash left\backslash Vert\; \backslash right\backslash Vert\; \backslash right)$ sao cho: :::$A\; \backslash subset\; B\text{'}(a\_i,r\_i)$. $A$ là tập trù mật trong $\backslash left(E,\backslash left\backslash Vert\; \backslash right\backslash Vert\; \backslash right)$ nếu $cl(A)\; =\; E$

Liên tục

Cho $A$ là tập con trong không gian định chuẩn $\backslash left(E,\backslash left\backslash Vert\; \backslash right\backslash Vert\_\{E\}\; \backslash right)$

$x\backslash in\; A$ và $f:\; A\backslash rightarrow\backslash left(F,\backslash left\backslash Vert.\backslash right\backslash Vert\; \_\{F\}\backslash right)$.

Ta nói:

$f$ liên tục tại $x$ nếu $\backslash forall\; \backslash epsilon\; >0$, $\backslash exists\; \backslash delta\; >0$ sao cho ,$\backslash qquad\; \backslash forall\; y\backslash in\; A$, $y\backslash in\; B(x,\backslash delta)$ $f$ liên tục trên $A$ nếu $f$ liên tục tại mọi $y\; \backslash in\; A$

Ngoài ra ta còn có định nghĩa liên tục qua khái niệm tập mở như sau:

$f$ liên tục trên $A$ nếu và chỉ nếu với mọi tập mở $V$ trong $F$ có tập mở $U$ trong $E$ sao cho ::$f^\{-1\}(V)=A\; \backslash cap\; U$

Dãy hội tụ, Cauchy

Cho (E, ||.||) là không gian định chuẩn; f là ánh xạ từ tập các số nguyên dương vào E.

Đặt $x\_n=f(n)$; $\backslash forall\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}$ và cho $a\; \backslash in\; E$.

Khi đó $\backslash lbrace\{x\_n\; \backslash rbrace\}$ là dãy trong $\backslash left(E,\backslash left\backslash Vert\; \backslash right\backslash Vert\; \backslash right)$.

Dãy $\backslash lbrace\; x\_n\{\; \backslash rbrace\}$ là dãy hội tụ về $a$ trong $E$ nếu và chỉ nếu: :$\backslash forall\; \backslash epsilon\; >\; 0$, ta tìm được $N\; (\backslash epsilon)\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}$ sao cho

Lúc đó, $a$ là giới hạn của dãy $\backslash lbrace\{x\_n\; \backslash rbrace\}$.

Dãy $\backslash lbrace\; x\_n\{\; \backslash rbrace\}$ là dãy Cauchy trong $E$ nếu và chỉ nếu: :$\backslash forall\; \backslash epsilon\; >\; 0$, ta tìm được $N\; (\backslash epsilon)\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}$ sao cho

Nếu dãy $\backslash lbrace\; x\_n\{\; \backslash rbrace\}$ là dãy hội tụ trong $E$ thì nó sẽ Cauchy trong $E$.

Nếu mọi dãy $\backslash lbrace\; x\_n\{\; \backslash rbrace\}$ Cauchy đều hội tụ trong không gian định chuẩn $\backslash left(E,\backslash left\backslash Vert\; \backslash right\backslash Vert\; \backslash right)$ thì $E$ là không gian Banach.

Ví dụ:

Dãy $\backslash lbrace\{\; \backslash frac\{1\}\{n\}:\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}^\{+\}\backslash rbrace\}$ trong $\backslash mathbb\{R\}$ \0 là dãy Cauchy nhưng không hội tụ trong $\backslash mathbb\{R\}$\ 0 với không gian định chuẩn $\backslash left(\backslash mathbb\{R\},\backslash left\backslash Vert\; \backslash right\backslash Vert\; \backslash right)$ ($\backslash left\backslash Vert\; x-y\; \backslash right\backslash Vert\; =\; |x-y|$).

Chuẩn tương đương

Tương tự như metric tương đương trên không gian metric, ta cũng có khái niệm chuẩn tương đương như sau: Cho 2 chuẩn $\backslash left\backslash Vert.\backslash right\backslash Vert${1},\left\Vert.\right\Vert {2} trên cùng không gian vectơ E.

Ta nói 2 chuẩn này là tương đương nếu tồn tại $\backslash alpha,\; \backslash beta\; >0$ sao cho: ::$\backslash alpha\backslash left\backslash Vert\; u\backslash right\backslash Vert${1}\leq\left\Vert u\right\Vert {2}\leq\beta\left\Vert u\right\Vert _{1} với mọi $u\; \backslash in\; E$

Ví dụ Với các chuẩn sau trên $\backslash mathbb\{R\}^\{n\}$ sau: ::$\backslash left\backslash Vert\; x\backslash right\backslash Vert${2}=\left(\overset{n}{\underset{k=1}{\sumx{k}^{2}\right)^{1/2} ::$\backslash left\backslash Vert\; x\backslash right\backslash Vert${1}=\overset{n}{\underset{k=1}{\sum\left|x{k}\right| ::$\backslash left\backslash Vert\; x\backslash right\backslash Vert${\infty}=\underset{k=1,2,...,n}{\max}\left|x{k}\right|

trong đó $x=(x\_1,...,x$n)\in \mathbb{R}^{n} . Ta có: ::$\backslash left\backslash Vert\; x\backslash right\backslash Vert${\infty}\leq\left\Vert x\right\Vert {2}\leq\left\Vert x\right\Vert {1}\leq n\left\Vert x\right\Vert _{\infty}

Phạm trù các không gian định chuẩn

Các ánh xạ quan trọng nhất giữa hai không gian định chuẩn là các ánh xạ tuyến tính liên tục. Tập hợp các ánh xạ tuyến tính liên tục giữa hai không gian định chuẩn $E$ và $F$ được ký hiệu là $\backslash mathcal\{L\}(E,F)$. Không gian định chuẩn cùng với các ánh xạ tuyến tính liên tục lập thành một phạm trù.

Ta cũng có phạm trù các không gian Banach (là một phạm trù con đầy của phạm trù các không gian định chuẩn).