✨Tô pô compact-mở

Trong toán học, tô pô compact-mở (compact-open topology) là một tô pô được định nghĩa bởi tập hợp các ánh xạ liên tục giữa 2 không gian tô pô. Tô pô compact-mở là một trong những tô pô thông dụng nhất trong các không gian hàm, và được ứng dụng trong lý thuyết đồng luân và giải tích hàm. Nó được giới thiệu bởi Ralph Fox năm 1945.

Nếu tập hợp đích của các hàm đang xét có cấu trúc đều hoặc cấu trúc metric, thì tô pô compact-mở chính là "tô pô của sự hội tụ đều trên các tập compact". Nghĩa là, một dãy hàm hội tụ trong không gian tô pô compact-mở khi nó hội tụ đều trên mọi tập con compact của tập hợp nguồn.

Định nghĩa

Cho $\backslash big(X,\backslash tau\_X\backslash big),\backslash \; \backslash big(Y,\backslash tau$Y\big) là 2 không gian tô pô. Đặt $C\backslash big(X,Y\backslash big)$ hoặc $C${X,Y}=\Big{f:\big(X,\tau_X\big)\longrightarrow \big(Y,\tau_Y\big)\ \big|\ f\text{ liên tục}\Big} là tập hợp gồm tất cả các hàm liên tục từ $X$ vào $Y$.

Cho $K$ là một tập con compact của $\backslash big(X,\backslash tau\_X\backslash big)$, cho $U$ là một tập con mở của $\backslash big(Y,\backslash tau$Y\big). Đặt $S${K,U}=\Big{f\in C{X,Y}\ \big|\ f(K)\subseteq U\Big}, và $\backslash mathcal\; S=\backslash Big\{S${K,U}\ \big|\ K\subseteq X,\ U\subseteq Y\Big}.

Khi đó, tô pô compact-mở của tập $C\_\{X,Y\}$ là tô pô sinh bởi họ $\backslash mathcal\; S$, nghĩa là:

$\backslash tau\_\{\_\{C\_\{X,Y\}=\backslash left\backslash \{\backslash displaystyle\backslash bigcup\_\{D\backslash in\backslash mathcal\; D\}D\backslash \; \backslash Big|\backslash \; \backslash mathcal\; D\backslash subseteq\backslash mathcal\; B\backslash right\backslash \}$ trong đó, $\backslash tau\_\{\_\{C\_\{X,Y\}$là tô pô compact-mở của $C\_\{X,Y\}$, với cơ sở $\backslash mathcal\; B$ là họ gồm tất cả các giao hữu hạn của các phần tử trong $\backslash mathcal\; S$.

Tính chất

• Nếu $$ là không gian tô pô một điểm và $Y$ là một không gian tô pô, thì ta có thể xác định $C\backslash big($,Y\big). Theo cách này, tô pô compact-mở là trùng với tô pô của $Y$.

Tổng quát hơn, nếu $X$ là một không gian rời rạc gồm $n$ điểm, thì $C\backslash big(X,Y\backslash big)$ có thể được xác định bởi $n$ phiên bản của $Y$, và tô pô compact-mở trùng với tô pô tích.

• Nếu $Y$ là không gian $T\_0,\backslash \; T\_1,$ Hausdorff, chính tắc hay Tychonoff, thì tô pô compact-mở có hệ tiên đề tách tương ứng.
• Nếu $X$ Hausdorff và $\backslash mathcal\; S$ là một tiền cơ sở của $Y$, thì họ $\backslash Big\{S\_\{K,U\}\backslash \; \backslash big|\backslash \; K\backslash overset\{\backslash text\{compact\backslash subseteq\; X,\backslash \; U\backslash in\backslash mathcal\; S\backslash Big\}$ là một tiền cơ sở cho tô pô compact-mở của $C\backslash big(X,Y\backslash big)$.
• Nếu $Y$ là không gian metric hay tổng quát hơn là một không gian đều, thì tô pô compact-mở trùng với tô pô hội tụ compact (topology of compact convergence). Nói cách khác, Nếu $Y$ là không gian metric, thì một dãy hàm $\backslash big\{f\_n\backslash big\}$ hội tụ về $f$ trong tô pô compact-mở $\backslash iff\backslash forall\; K\backslash overset\{\backslash text\{compact\backslash subseteq\; X,\backslash \; \backslash big\{f\_n\backslash big\}$ hội tụ đều về $f$ trong $K.$

Nếu $X$ compact và $Y$ là không gian đều, thì tô pô compact-mở tương đương với tô pô hội tụ đều (topology of uniform convergence).

• Nếu $X,Y,Z$ là các không gian tô pô, với $Y$ compact Hausdorff địa phương (Locally compact Hausdorff space), hay thậm chí là compact tiền chính tắc địa phương (locally compact preregular), thì ánh xạ hợp nối

  $h:\backslash \; C(Y,\; Z)\backslash times\; C(X,\; Y)\backslash longrightarrow\; C(X,\; Z)$

                 <math>(f,g)\longmapsto h(f,g)=f\circ g </math>

  là liên tục, với $C\backslash big(Y,Z\backslash big),\{\backslash displaystyle\; C\{\backslash big\; (\}X,Y\{\backslash big),\{\backslash displaystyle\; C\{\backslash big\; (\}X,Z\{\backslash big)$ đều được trang bị tô pô compact-mở, và $C\backslash big(Y,Z\backslash big)\backslash times\; C\backslash big(X,Y\backslash big)$ được trang bị tô pô tích.

• Nếu $Y$ compact Hausdorff địa phương hoặc tiền chính tắc, thì ánh xạ định lượng (evaluation map)

  $e:\backslash \; C\backslash big(X,Y)\backslash times\; X\backslash longrightarrow\; Y$

           <math>(f,x)\longmapsto e(f,x)=f(x) </math>

  là liên tục. Có thể xem đây là một trường hợp đặc biệt của các tính chất trên, với $X$ là không gian 1 điểm.

• Nếu $\backslash big(X,\backslash tau\_X\backslash big)$ là không gian tô pô compact và $\backslash big(Y,d\_Y\backslash big)$ là không gian metric, thì tô pô compact-mở của $C\backslash big(X,Y\backslash big)$ là khả metric, nghĩa là tô pô này có thể sinh ra metric, và metric đó là

$d\_\{C\_\{X,Y(f,g)=\backslash underset\{x\backslash in\; X\}\{\backslash sup\}\backslash \; d\_Y\backslash big(f(x),g(x)\backslash big),\backslash \; \backslash \; \backslash \; f,g\backslash in\; C\backslash big(X,Y\backslash big)$.

Ứng dụng

Tô pô compact-mở có thể được dùng để compact hóa các tập hợp sau:

• $\backslash Omega\backslash big(X,x\_0\backslash big)=\backslash Big\backslash \{f:I\backslash longrightarrow\; X\backslash \; \backslash big|\backslash \; f(0)=f(1)=x\_0\backslash Big\backslash \}$
• $E\backslash big(X,x\_0,x\_1\backslash big)=\backslash Big\backslash \{f:I\backslash longrightarrow\; X\backslash \; \backslash big|\backslash \; f(0)=x\_0,\backslash \; f(1)=x\_1\backslash Big\backslash \}$
• $E\backslash big(X,x\_0\backslash big)=\backslash Big\backslash \{f:I\backslash longrightarrow\; X\backslash \; \backslash big|\backslash \; f(0)=x\_0\backslash Big\backslash \}$

Ngoài ra, còn có sự tương đương đồng luân giữa các không gian $C\backslash big(\backslash Sigma\; X,Y\backslash big)\backslash cong\; C\backslash big(X,\backslash Omega\; Y\backslash big)$. Đối với những không gian này, $C\backslash big(X,Y\backslash big)$ rất hữu ích trong lý thuyết đồng luân bởi vì nó có thể được sử dụng để tạo thành một không gian tôpô và mô hình cho kiểu đồng luân của tập hợp gồm tất cả lớp đồng luân của các ánh xạ:

$\backslash pi\backslash big(X,Y\backslash big)=\backslash Big\backslash \{[f]:X\backslash longrightarrow\; Y\backslash \; \backslash big|\backslash \; f\backslash \; \backslash text\{\; là\; một\; lớp\; đồng\; luân\}\backslash Big\backslash \}$ Điều này là bởi $\backslash pi\backslash big(X,Y\backslash big)$ là tập gồm các thành phần đường của $C\backslash big(X,Y\backslash big)$, nghĩa là có một đẳng cấu giữa 2 tập $\{\backslash displaystyle\; \backslash pi\; (X,Y)\backslash longrightarrow\; C\backslash big(I,C(X,Y)\backslash big)/\backslash sim\; \}$ với $\backslash sim$ là một tương đương đồng luân.

Hàm khả vi Fréchet

Cho $X$ và $Y$ là 2 không gian Banach xác định trên cùng một trường và $U\backslash overset\{\backslash text\{mở\{\backslash subseteq\}\; X$. Đặt $C\; ^\{n\}\backslash big(U,Y\backslash big)=\backslash Big\{f:U\backslash longrightarrow\; Y\backslash \; \backslash big|\backslash \; f\backslash \; \backslash text\{\; khả\; vi\; liên\; tục\; Fréchet\; cấp\; \}n\backslash text\{\; trên\; \}U\backslash Big\}$. Khi đó, tô pô compact-mở là tô pô gốc được sinh bởi nửa chuẩn

$p\_\{\_K\}(f)=\backslash underset\{k\backslash in\backslash overline\{0,n\},\backslash \; x\backslash in\; K\}\{\backslash sup\}\backslash \; \backslash Big\backslash |D^kf(x)\backslash Big\backslash |$ trong đó, $D^k\backslash equiv\backslash frac\{d^k\}\{(dx)^k\},\backslash$$D^0f(x)=f(x),\backslash \; K\backslash overset\{\backslash text\{compact\backslash subseteq\; U$.