✨Tô pô phần bù hữu hạn

Tô pô phần bù hữu hạn là tô pô có thể định nghĩa trên mỗi tập $X$. Nó bao gồm tập rỗng và các tập mở là các tập con của $X$ có phần bù là hữu hạn. Do đó, trong tô pô phần bù hữu hạn, chỉ những tập đóng hoặc $X$ là hữu hạn. Rõ ràng hơn, ta có thể viết tô pô phần bù hữu hạn như sau: :$\backslash mathcal\{T\}\; =\; \{A\; \backslash subseteq\; X\; \backslash mid\; A=\backslash varnothing\; \backslash text\{\; hoặc\; \}\; X\; \backslash setminus\; A\; \backslash text\{\; hữu\; hạn\}\; \}$

Tính chất

Mọi tập con $A$ của không gian tô pô $X$ với tô pô phần bù hữu hạn là compact.

Chứng minh.

Giả sử $\backslash left\{\; U${i}:i\in I\right} là một phủ mở của $A$. Khi đó :$A=\backslash bigcup${i\in I}U{i} nên :$X\backslash setminus\; A\; =\; \backslash bigcap${i\in I} X\setminus U{i} Vì mỗi $X\backslash setminus\; U${i} là hữu hạn nên $\backslash bigcap${i\in I} X\setminus U{i} cũng hữu hạn. Do đó ta có thể chọn ra hữu hạn tập $X\backslash setminus\; U${i} ($i\backslash in\; J$ với $J\backslash subset\; I$ và ) sao cho :$X\backslash setminus\; A\; =\; \backslash bigcap${i\in J} X\setminus U{i} Do đó :$A=\backslash bigcup${i\in J}U_{i} Vậy $A$ compact.

Hệ quả

Một không gian tô-pô phần bù hữu hạn là một không gian compact.