Mêtric Schwarzschild miêu tả không-thời gian dưới ảnh hưởng của một khối vật chất đối xứng cầu có khối lượng lớn và không quay.

Quy ước và ký hiệu

Trong bài này ta làm việc trong một hệ tọa độ với các tọa độ $\backslash left(r,\; \backslash theta,\; \backslash phi,\; t\; \backslash right)$ được đánh số theo thứ tự từ 1 đến 4. Ta bắt đầu với mêtric ở dạng tổng quát nhất (10 thành phần độc lập, mỗi thành phần là một hàm trơn 4 biến). Nghiệm cần tìm được giả thiết có dạng đối xứng cầu, tính tĩnh và chân không, các giả thiết này có thể được phát biểu như sau:

Một không-thời gian đối xứng cầu là một không-thời gian bất biến dưới các phép quay và lấy ảnh phản chiếu.

Một không-thời gian tĩnh có tất cả các thành phần mêtric độc lập với tọa độ thời gian $t$ (sao cho $\backslash tfrac\backslash partial\{\backslash partial\; t\}g\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}=0$) và cấu trúc hình học của không-thời gian không đổi dưới phép đảo ngược thời gian $t\; \backslash rightarrow\; -t$.

Một nghiệm chân không thỏa mãn $T${ab}=0. Từ phương trình trường Einstein (với hằng số vũ trụ bằng không), ta suy ra $R${ab}=0 vì thực hiện phép co $R${ab}-\tfrac{R}{2} g{ab}=0 cho thấy $R\; =\; 0$.

Kiểu dấu mêtric được sử dụng là (+,+,+,−).

Chéo hóa mêtric

Chéo hóa mêtric là phép giản lược đầu tiên có thể thực hiện. Dưới phép chuyển đổi tọa độ, $(r,\; \backslash theta,\; \backslash phi,\; t)\; \backslash rightarrow\; (r,\; \backslash theta,\; \backslash phi,\; -t)$, tất cả các thành phần mêtric cần không đổi. Các thành phần mêtric $g\_\{\backslash mu\; 4\}$ ($\backslash mu\; \backslash ne\; 4$) thay đổi dưới phép chuyển đổi này thành:

:$g${\mu 4}'=\frac{\partial x^{\alpha{\partial x^{'\mu \frac{\partial x^{\beta{\partial x^{'4 g{\alpha \beta}= -g_{\mu 4} ($\backslash mu\; \backslash ne\; 4$)

Tuy nhiên, do $g\text{'}${\mu 4}= g{\mu 4} (các thành phần mêtric không đổi), ta suy ra:

:$g\_\{\backslash mu\; 4\}=\backslash ,\; 0$ ($\backslash mu\; \backslash ne\; 4$)

Tương tự, với các phép chuyển đổi tọa độ $(r,\; \backslash theta,\; \backslash phi,\; t)\; \backslash rightarrow\; (r,\; \backslash theta,\; -\backslash phi,\; t)$ và $(r,\; \backslash theta,\; \backslash phi,\; t)\; \backslash rightarrow\; (r,\; -\backslash theta,\; \backslash phi,\; t)$ lần lượt suy ra:

:$g${\mu 3}=\, 0 ($\backslash mu\; \backslash ne\; 3$) :$g${\mu 2}=\, 0 ($\backslash mu\; \backslash ne\; 2$)

Từ các điều trên ta có

:$g\_\{\backslash mu\; \backslash nu\; \}=\backslash ,\; 0$ ($\backslash mu\; \backslash ne\; \backslash nu$)

và vì vậy mêtric phải có dạng

:$ds^2=\backslash ,\; g${11}\,d r^2 + g{22} \,d \theta ^2 + g{33} \,d \phi ^2 + g{44} \,dt ^2

trong đó bốn thành phần mêtric đều độc lập với tọa độ thời gian $t$ (theo giả thiết tĩnh).

Giản lược các thành phần

Trên mỗi siêu mặt với $t$ không đổi, $\backslash theta$ không đổi và $\backslash phi$ không đổi (nói cách khác trên mỗi đường theo phương bán kính), $g${11} chỉ được phụ thuộc vào $r$ (do tính đối xứng cầu). Theo đó $g${11} là một hàm số một biến:

:$g\_\{11\}=A\backslash left(r\backslash right)$

Lập luận tương tự với $g\_\{44\}$ ta có:

:$g\_\{44\}=B\backslash left(r\backslash right)$

Trên các siêu mặt với $t$ không đổi và $r$ không đổi, mêtric phải có dạng mặt cầu 3 chiều:

:$dl^2=r\_\{0\}^2\; (d\; \backslash theta^2\; +\; \backslash sin^2\; \backslash theta\backslash ,\; d\; \backslash phi^2)$

Chọn một trong số các siêu mặt này (chẳng hạn như siêu mặt với bán kính $r${0}), các thành phần mêtric giới hạn ở siêu mặt này (ký hiệu bằng $\backslash tilde\{g\}${22} và $\backslash tilde\{g\}\_\{33\}$) phải không đổi dưới các phép quay qua $\backslash theta$ và $\backslash phi$ (do giả thiết đối xứng cầu). So sánh các dạng của mêtric trên siêu mặt này ta được:

:$\backslash tilde\{g\}${22}\left(d \theta^2 + \frac{\tilde{g}{33{\tilde{g}{22 \,d \phi^2 \right) = r{0}^2 (d \theta^2 + \sin^2 \theta \,d \phi^2)

từ đó suy ra:

:$\backslash tilde\{g\}${22}=r{0}^2 và $\backslash tilde\{g\}${33}=r{0}^2 \sin ^2 \theta

Tuy nhiên điều này cần đúng trên mỗi siêu mặt; vì vậy,

:$g${22}=\, r^2 và $g${33}=\, r^2 \sin^2 \theta

Từ đó suy ra mêtric có dạng như sau:

:$ds^2=A\backslash left(r\backslash right)dr^2+r^2\backslash ,d\; \backslash theta^2+r^2\; \backslash sin^2\; \backslash theta\; \backslash ,d\; \backslash phi^2\; +\; B\backslash left(r\backslash right)\; dt^2$

với $A$ và $B$ là các hàm số chưa biết theo biến $r$. Lưu ý rằng nếu $A$ hoặc $B$ bằng không tại một điểm nào đó, mêtric sẽ kỳ dị tại điểm đó.

Tính các ký hiệu Christoffel

Từ mêtric trên, ta tìm được các ký hiệu Christoffel, trong đó các chỉ số là $(1,2,3,4)=(r,\backslash theta,\backslash phi,t)$. Dấu $\text{'}$ ký hiệu đạo hàm hoàn toàn của một hàm số. :

:

:

:

Áp dụng hệ phương trình trường để tìm A(r) và B(r)

Để tìm $A$ và $B$, ta áp dụng phương trình trường Einstein. Trong trường hợp này chúng có dạng:

:$R\_\{\backslash alpha\backslash beta\}=\backslash ,\; 0$

Vì vậy:

:$\{\backslash Gamma^\backslash rho${\beta\alpha,\rho - \Gamma^\rho{\rho\alpha,\beta}

• \Gamma^\rho{\rho\lambda} \Gamma^\lambda{\beta\alpha}

• \Gamma^\rho{\beta\lambda}\Gamma^\lambda{\rho\alpha}=0\,, trong đó dấu phẩy được sử dụng để ký hiệu sự đổi vị trí chỉ số được dùng để đạo hàm. Độ cong Ricci sẽ mang tính chéo:

:$R\_\{tt\}\; =\; -\backslash frac\{1\}\{4\}\backslash frac\{B\text{'}\}\{A\}\backslash left(\backslash frac\{A\text{'}\}\{A\}-\backslash frac\{B\text{'}\}\{B\}+\backslash frac\{4\}\{r\}\backslash right)\; -\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(\backslash frac\{B\text{'}\}\{A\}\backslash right)^\{\text{'}\}\backslash ,,$

:$R\_\{rr\}\; =\; -\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(\backslash frac\{B\text{'}\}\{B\}\backslash right)^\{\text{'}\}\; -\backslash frac\{1\}\{4\}\backslash left(\backslash frac\{B\text{'}\}\{B\}\backslash right)^\{2\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{4\}\backslash frac\{A\text{'}\}\{A\}\backslash left(\backslash frac\{B\text{'}\}\{B\}+\backslash frac\{4\}\{r\}\backslash right)\backslash ,,$

:$R\_\{\backslash theta\backslash theta\}\; =\; 1-\backslash left(\backslash frac\{r\}\{A\}\backslash right)^\{\text{'}\}\; -\backslash frac\{r\}\{2A\}\backslash left(\backslash frac\{A\text{'}\}\{A\}+\backslash frac\{B\text{'}\}\{B\}\backslash right)\backslash ,,$

:$R${\phi\phi} = \sin^2(\theta)R{\theta\theta},

trong đó dấu phẩy là đạo hàm theo r của các hàm.

Chỉ có ba trong số các phương trình trường có nghiệm không tầm thường (phương trình thứ tư chỉ là $\backslash sin^2\; \backslash theta$ nhân với phương trình thứ ba) và sau khi rút gọn chúng lần lượt trở thành:

:$4\; A\text{'}\; B^2\; -\; 2\; r\; B\text{'}\text{'}\; AB\; +\; r\; A\text{'}\; B\text{'}B\; +\; r\; B\text{'}\; ^2\; A=0$,

:$-\; 2\; r\; B\text{'}\text{'}\; AB\; +\; r\; A\text{'}\; B\text{'}B\; +\; r\; B\text{'}\; ^2\; A\; -\; 4B\text{'}\; AB=0$,

:$r\; A\text{'}B\; +\; 2\; A^2\; B\; -\; 2AB\; -\; r\; B\text{'}\; A=0$

Trừ vế với vế phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai:

:$A\text{'}B\; +A\; B\text{'}=0\; \backslash Rightarrow\; A(r)B(r)\; =K$

trong đó $K$ là một hằng số thực khác không. Thay $A(r)B(r)\; \backslash ,\; =K$ vào phương trình thứ ba và biến đổi ta được:

:$r\; A\text{'}\; =A(1-A)$

có nghiệm tổng quát là:

:$A(r)=\backslash left(1+\backslash frac\{1\}\{Sr\}\backslash right)^\{-1\}$

vói hằng số thực khác không $S$ nào đó. Vì vậy, mêtric cần tìm bây giờ sẽ có dạng:

:$ds^2=\backslash left(1+\backslash frac\{1\}\{S\; r\}\backslash right)^\{-1\}dr^2+r^2(d\; \backslash theta^2\; +\; \backslash sin^2\; \backslash theta\; d\; \backslash phi^2)+K\; \backslash left(1+\backslash frac\{1\}\{S\; r\}\backslash right)dt^2$

Lưu ý rằng không-thời gian biểu diễn bởi mêtric trên có tính phẳng tiệm cận; khi $r\; \backslash rightarrow\; \backslash infty$, mêtric sẽ có xu hướng thu về mêtric Minkowski và đa tạp không-thời gian sẽ có cấu trúc tương tự không gian Minkowski.

Dùng phép xấp xỉ trường yếu tìm K và S

Con đường tìm nghiệm Schwarzschild bằng phép xấp xỉ trường yếu. Đẳng thức ở dòng 2 cho thấy g₄₄ = −c² + 2GM/r, với giả thiết nghiệm cần tìm thu về mêtric Minkowski khi chuyển động xảy ra xa hố đen (r tiệm cận dương vô cực). Các đường trắc địa của mêtric (thu được khi $ds$ đạt cực trị) phải, với một giới hạn nào đó (chẳng hạn như tốc độ ánh sáng tiến về vô cực), nhất quán với các nguyên lý chuyển động Newton (chẳng hạn các nghiệm thu được bởi phương trình Lagrange). (Mêtric cũng phải thu về không gian Minkowski khi khối lượng nó biểu diễn bằng không.)

:$0=\backslash delta\backslash int\backslash frac\{ds\}\{dt\}dt=\backslash delta\backslash int(KE+PE\_g)dt$

(trong đó $KE$ là động năng và $PE\_g$ là thế năng trọng trường) Các hằng số $K$ và $S$ được quyết định hoàn toàn bởi phương pháp này hoặc các phương pháp tương tự; từ giới hạn trường yếu ta thu được:

:$g\_\{44\}=K\backslash left(1\; +\backslash frac\{1\}\{Sr\}\backslash right)\; \backslash approx\; -c^2+\backslash frac\{2Gm\}\{r\}\; =\; -c^2\; \backslash left(1-\backslash frac\{2Gm\}\{c^2\; r\}\; \backslash right)$

trong đó $G$ là hằng số hấp dẫn, $m$ là khối lượng nguồn hấp dẫn và $c$ là tốc độ ánh sáng. Vì

:$K=\backslash ,\; -c^2$ and $\backslash frac\{1\}\{S\}=-\backslash frac\{2Gm\}\{c^2\}$

nên

:$A(r)=\backslash left(1-\backslash frac\{2Gm\}\{c^2\; r\}\backslash right)^\{-1\}$ và $B(r)=-c^2\; \backslash left(1-\backslash frac\{2Gm\}\{c^2\; r\}\backslash right)$

Từ đó kết quả cuối cùng sẽ là:

:$ds^2=\backslash left(1-\backslash frac\{2Gm\}\{c^2\; r\}\backslash right)^\{-1\}dr^2+r^2(d\; \backslash theta^2\; +\backslash sin^2\; \backslash theta\; d\; \backslash phi^2)-c^2\; \backslash left(1-\backslash frac\{2Gm\}\{c^2\; r\}\backslash right)dt^2$

Lưu ý rằng:

:$\backslash frac\{2Gm\}\{c^2\}=r\_s$

là định nghĩa của bán kính Schwarzschild với một khối vật chất với khối lượng $m$, nên mêtric Schwarzschild cũng có thể viết dưới dạng:

:$ds^2=\backslash left(1-\backslash frac\{r\_s\}\{r\}\backslash right)^\{-1\}dr^2+r^2(d\backslash theta^2\; +\backslash sin^2\backslash theta\; d\backslash phi^2)-c^2\backslash left(1-\backslash frac\{r\_s\}\{r\}\backslash right)dt^2$

từ đó cho thấy mêtric kỳ dị tại chân trời sự kiện ($r\; \backslash rightarrow\; r\_s$). Điểm kỳ dị này không có thật về mặt vật lý (điểm kỳ dị có thật nằm tại $r=0$), có thể cho thấy bằng một phép chuyển đổi tọa độ được lựa chọn hợp lý (ví dụ như hệ tọa độ Kruskal–Szekeres).