✨Lỗ đen ảo

nhỏ|Sự phân rã proton thông qua một lỗ đen ảo. Trong hấp dẫn lượng tử, một lỗ đen ảo là một lỗ đen vi mô giả định tồn tại tạm thời do sự biến động lượng tử của không thời gian. Nó là một ví dụ về bọt lượng tử và là dạng tương tự hấp dẫn của các cặp electron-positron ảo được tìm thấy trong điện động lực học lượng tử. Các lập luận lý thuyết cho rằng lỗ đen ảo phải có khối lượng theo thứ tự của khối lượng Planck, thời gian tồn tại trong khoảng thời gian Planck và xảy ra với mật độ số xấp xỉ một trên mỗi khối lượng Planck.

Sự xuất hiện của các lỗ đen ảo ở thang Planck là hệ quả của quan hệ bất định thông qua bất đẳng thức sau :

: $\backslash Delta\; R${\mu}\Delta x{\mu}\ge\ell^2_{P}=\frac{\hbar G}{c^3}

với $R${\mu}là bán kính của miền không thời gian, $x${\mu}là tọa độ của miền, $\backslash ell\_\{P\}$ ià độ dài Planck, $\backslash hbar$ là hằng số Planck, $G$ là hằng số Newton, và $c$ là tốc độ ánh sáng. Các quan hệ bất định này là một dạng khác của nguyên lý bất định Heisenberg ở thang Planck.

Chứng minh công thức:

Thật vậy, các quan hệ bất định này có thể thu được trên cơ sở các phương trình của Einstein như sau:

với $G${\mu\nu} = R{\mu\nu} - {R \over 2} g{\mu\nu} là tenxơ Einstein, kết hợp với tenxơ Ricci, độ cong vô hướng (?) và tenxơ mêtric; $\backslash Lambda$ là Hằng số vũ trụ; $T${\mu\nu} là tensor năng -động lượng của vật chất; $\backslash pi$là hằng số toán học pi; $c$ là tốc dộ ánh sáng; and $G$ là hằng số Newton

Einstein cho rằng không gian vật lý là Riemannian, tức là cong và do đó đặt hình học Riemannian làm cơ sở của lý thuyết hấp dẫn. Một vùng nhỏ của không gian Riemann sẽ gần giống với không gian phẳng..

Đối với bất kỳ trường tensơ nào $N${\mu\nu...},mà có thể gọi là $N${\mu\nu...}\sqrt{-g} là mật độ tensơ , với $g$ là yếu tố quyết định của tenxơ hệ mét $g${\mu\nu}. Tích phân $\backslash int\; N${\mu\nu...}\sqrt{-g}\,d^4x là một tensor nếu tích phân miền nhỏ. Nó không phải là tensor nếu miền tích phân không nhỏ, vì khi đó nó bao gồm tổng các tensor nằm ở các điểm khác nhau và nó không biến đổi theo bất kỳ cách đơn giản nào khác dưới một phép biến đổi tọa độ.. Ở đây chúng ta chỉ xem xét các miền nhỏ. Điều này cũng đúng với sự tích hợp trên siêu bề mặt ba chiều $S^\{\backslash nu\}$.

Do đó, các phương trình của Einstein cho miền không-thời gian nhỏ có thể được tích hợp bởi siêu bề mặt ba chiều $S^\{\backslash nu\}$. Tiếp tục, ta có:

: $\backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\}\backslash int\backslash left\; (G${\mu\nu} + \Lambda g{\mu\nu}\right )\sqrt{-g}\,dS^{\nu} = {2G \over c^4} \int T_{\mu\nu}\sqrt{-g}\,dS^{\nu}

Vì tích phân của miền không-thời gian là nhỏ, chúng ta thu được phương trình tensơ sau:

với$P${\mu}=\frac{1}{c}\int T{\mu\nu}\sqrt{-g}\,dS^{\nu} là thành phần của 4 động lượng [https://en.wikipedia.org/wiki/Four-momentum]của vật chất , $R${\mu}=\frac{1}{4\pi}\int\left (G{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu}\right )\sqrt{-g}\,dS^{\nu} là thành phần của bán kính cong của miền nhỏ.

Phương trình tensơ có thể được viết lại ở dạng khác. Lại có $P${\mu}=mc\,U{\mu} nên

: $R${\mu}=\frac{2G}{c^3}mc\,U{\mu}=rs\,U{\mu}

với $r$s là bán kính Schwarzschild, $U${\mu} là 4-speed (?), $m$ thì đương nhiên là khối lượng. Hồ sơ này tiết lộ ý nghĩa giá trị vật lý của $R\_\{\backslash mu\}$ như một thành phần của bán kính hấp dẫn $r\_s$.

Trong một khu vực nhỏ của không-thời gian gần như phẳng và phương trình này có thể được viết dưới dạng phương trình như bên dưới sau

: $\backslash hat\; R${\mu}=\frac{2G}{c^3}\hat P{\mu}=\frac{2G}{c^3}(-i\hbar )\frac{\partial}{\partial \,x^{\mu=-2i\,\ell^2_{P}\frac{\partial}{\partial \,x^{\mu

hoặc

|\Psi(x{\mu})\rangle=\hat R{\mu}|\Psi(x_{\mu})\rangle|cellpadding|border|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA

Sau đó, dấu giao hoán của các toán tử $\backslash hat\; R${\mu}và $\backslash hat\; x${\mu} là

: $[\backslash hat\; R${\mu},\hat x{\mu}]=-2i\ell^2_{P}

Từ đây tuân theo các quan hệ bất đẳng thức như sau:

Thay thế các giá trị của $R${\mu}=\frac{2G}{c^3}m\,c\,U{\mu} và $\backslash ell^2\_\{P\}=\backslash frac\{\backslash hbar\backslash ,G\}\{c^3\}$ và giảm các hằng số giống hệt nhau từ hai vế,chúng ta nhận được phương trình nguyên lý bất định của Heisenberg

: $\backslash Delta\; P${\mu}\Delta x{\mu}=\Delta (mc\,U{\mu})\Delta x{\mu}\ge\frac{\hbar}{2}

Trong trường hợp cụ thể của trường đối xứng cầu và phân bố tĩnh của vật chất $U\_\{0\}=1,\; U\_i=0\; \backslash ,(i=1,2,3)$ và có những phương trình khác như

: $\backslash Delta\; R${0}\Delta x{0}=\Delta rs\Delta r\ge\ell^2{P}

với $r\_s$ là bán kính Schwarzschild, $r$ là tọa độ xuyên tâm (?). Tiếp tục,lại có $R\_0=r\_s$ và $x\_0=c\backslash ,t=r$, khi mà vật chất chuyển động với vận tốc ánh sáng trong thang Planck.

Quan hệ bất định cuối cùng cho phép chúng ta ước lượng một số phương trình của thuyết tương đối rộng ở thang Planck. Ví dụ, phương trình cho khoảng bất biến (không thừi gian) $dS$ в trong phương trình Schwarzschild có dạng

: $dS^2=\backslash left(\; 1-\backslash frac\{r\_s\}\{r\}\backslash right)c^2dt^2-\backslash frac\{dr^2\}\{\; 1-\{r\_s\}/\{r-r^2(d\backslash Omega^2+\backslash sin^2\backslash Omega\; d\backslash varphi^2)$

Thay thế theo xấp xỉ $r\_s\backslash approx\backslash ell^2\_P/r$. Ta sẽ có :

: $dS^2\backslash approx\backslash left(\; 1-\backslash frac\{\backslash ell^2${P{r^2}\right)c^2dt^2-\frac{dr^2}{ 1-{\ell^2{P/{r^2-r^2(d\Omega^2+\sin^2\Omega d\varphi^2)

Có thể thấy rằng thang Planck $r=\backslash ell\_P$ thì mê tric không-thời gian được giới hạn dưới bởi độ dài Planck (phép chia cho 0 xuất hiện), và trên thang đo này, sẽ có các lỗ đen Planckian thực và ảo.

Các ước lượng tương tự có thể được thực hiện trong các phương trình khác của thuyết tương đối rộng. Ví dụ, phân tích phương trình Hamilton – Jacobi cho trường hấp dẫn đối xứng trung tâm trong không gian có các chiều khác nhau và cho thấy sự ưu tiên không gian ba chiều cho sự xuất hiện của các lỗ đen ảo (bọt lượng tử, cơ sở của "kết cấu" của Vũ trụ.).Điều này là do khi khối lượng của lỗ đen tăng lên thông qua một vật khối lượng rơi vào lỗ và theo lý thuyết là giảm khi bức xạ Hawking được phát ra từ lỗ đen ấy, các hạt cơ bản bị phát ra từ hố đen nói chung không giống với các hạt rơi vào. Do đó, nếu hai trong số các quark cấu thành của một proton rơi vào một lỗ đen ảo, thì phản quark và lepton có thể xuất hiện, do đó vi phạm việc bảo toàn số baryon.

Sự tồn tại của lỗ đen ảo làm trầm trọng thêm nghịch lý mất thông tin lỗ đen, vì bất kỳ quá trình vật lý nào cũng có thể bị gián đoạn do tương tác với lỗ đen ảo.