✨Hiệu đối xứng

Trong toán học, hiệu đối xứng của hai tập hợp, hay còn gọi là phép hợp tuyển, là tập các phần tử thuộc một trong hai tập hợp nhưng không cả hai. Ví dụ, hiệu đối xứng của hai tập $\{1,2,3\}$ và $\{3,4\}$ là $\{1,2,4\}$.

Hiệu đối xứng của A và B thường được ký hiệu bằng $A\; \backslash ominus\; B,$ hoặc $A\backslash operatorname\; \backslash triangle\; B.$

Tập lũy thừa của bất kỳ tập hợp trở thành nhóm abel khi đi kèm hiệu đối xứng, trong đó tập rỗng làm phần tử trung hoà của nhóm và mọi phần tử trong nhóm này là nghịch đảo. Tập lũy thừa của bất kỳ tập hợp trở thành vành Boole, trong đó hiệu đối xứng là phép cộng của vành còn phép giao là phép nhân.

Tính chất

[[File:Venn 0110 1001.svg|thumb| Biểu đồ Venn của $~(A\; \backslash triangle\; B)\; \backslash triangle\; C$

Hiệu đối xứng tương đương với hợp của cả hai phần bù tương đối, nghĩa là: Hiệu đối xứng cho phép định nghĩa một ví dụ mẫu về các nhóm có tính chất như thế và đôi khi nhóm Boole được định nghĩa sử dụng hiệu đối xứng. Trong trường hợp tập X chỉ có hai phần tử, nhóm thu được là nhóm bốn Klein.

Nói tương đương, nhóm Boole là nhóm giao hoán sơ cấp 2 phần tử. Hệ quả là, nhóm cảm sinh từ hiệu đối xứng là không gian vectơ trên trường hai phần tử Z₂. Nếu X hữu hạn, thì các tập đơn điểm trở thành cơ sở của không gian vectơ này, và số chiều của nó bằng với số phần tử của X. Phương pháp xây dựng này được dùng trong lý thuyết đồ thị,và được dùng để định nghĩa không gian chu trình của một đồ thị..

Từ tính chất nghịch đảo của nhóm Boole, suy ra rằng hiệu đối xứng của hai hiệu đối xứng có lặp lại một tập hợp tương đương với hiệu đối xứng có lặp của nối của hai đa tập, trong đó tập bị lặp có thể bị bỏ đi. Tức là:

:$(A\backslash ,\backslash triangle\backslash ,B)\backslash ,\backslash triangle\backslash ,(B\backslash ,\backslash triangle\backslash ,C)\; =\; A\backslash ,\backslash triangle\backslash ,C.$

Từ đây suy ra bất đẳng thức tam giác: Hiệu đối xứng của A và C nằm trong hợp của hiệu đối xứng của A và B và hiệu đối xứng của B và C.

Phép giao phân phối trên hiệu đối xứng: :$A\; \backslash cap\; (B\backslash ,\backslash triangle\backslash ,C)\; =\; (A\; \backslash cap\; B)\backslash ,\backslash triangle\backslash ,(A\; \backslash cap\; C),$

và điều cho thấy bất kỳ tập luỹ thừa của bất kỳ tập X đều có trở thành một vành, với hiệu đối xứng làm phép cộng và phần giao làm phép nhân. Đây là ví dụ mẫu cho vành Boole.

Các tính chất khác của hiệu đối xứng bao gồm:

• $A\; \backslash mathbin\{\backslash triangle\}\; B\; =\; \backslash emptyset$ khi và chỉ khi $A\; =\; B$.
• $A\; \backslash mathbin\{\backslash triangle\}\; B\; =\; A^c\; \backslash mathbin\{\backslash triangle\}\; B^c$, trong đó $A^c$, $B^c$ là phần bù của $A$ và phần bù của $B$, tương ứng với một tập cố định nào đó chứa chúng.
• $\backslash left(\backslash bigcup\_\{\backslash alpha\backslash in\backslash mathcal\{IA\_\backslash alpha\backslash right)\backslash triangle\backslash left(\backslash bigcup\_\{\backslash alpha\backslash in\backslash mathcal\{IB\_\backslash alpha\backslash right)\backslash subseteq\backslash bigcup\_\{\backslash alpha\backslash in\backslash mathcal\{I\backslash left(A\_\backslash alpha\; \backslash mathbin\{\backslash triangle\}\; B\_\backslash alpha\backslash right)$, trong đó $\backslash mathcal\{I\}$ là tập chỉ số bất kỳ khác rỗng.
• Cho bất kỳ hàm số $f\; :\; S\; \backslash rightarrow\; T$ và $A,\; B\; \backslash subseteq\; T$ là bất kỳ tập hợp trong ảnh của $f$, khi đó $f^\{-1\}\backslash left(A\; \backslash mathbin\{\backslash triangle\}\; B\backslash right)\; =\; f^\{-1\}\backslash left(A\backslash right)\; \backslash mathbin\{\backslash triangle\}\; f^\{-1\}\backslash left(B\backslash right).$

Hiệu đối xứng có thể định nghĩa trong bất kỳ đại số Boole, bằng cách viết :$x\backslash ,\backslash triangle\backslash ,y\; =\; (x\; \backslash lor\; y)\; \backslash land\; \backslash lnot(x\; \backslash land\; y)\; =\; (x\; \backslash land\; \backslash lnot\; y)\; \backslash lor\; (y\; \backslash land\; \backslash lnot\; x)\; =\; x\; \backslash oplus\; y.$

Phép toán này có cùng các tính chất với phép toán trên tập hợp

Hiệu đối xứng trên không gian độ đo

Miễn là còn khái niệm tập hợp "lớn cỡ nào",thì hiệu đối xứng giữa hai tập hợp có thể coi là độ đo "khoảng cách" giữa chúng

Đầu tiên xét tập hữu hạn S và độ đo đếm trên các tập con của nó. Sau đó, xét hai tập con của S và đặt khoảng cách giữa chúng là kích thước của hiệu đối xứng. Khoảng cách này quả thật là một mêtric, và do đó khiến tập luỹ thừa trên S là không gian mêtric. Nếu S có n phần tử thì khoảng cách từ tập rỗng đến S là n, và đây là khoảng cách lớn nhất cho bất kỳ cặp tập con.

Sử dụng các ý tưởng trong lý thuyết độ đo, sự phân rã của các tập đo được có thể định nghĩa bằng độ đo của hiệu đối xứng của chúng. Nếu μ là một độ đo σ-hữu hạn được định nghĩa trên σ-đại số Σ, thì hàm số :$d\_\backslash mu(X,\; Y)\; =\; \backslash mu(X\backslash ,\backslash triangle\backslash ,Y)$

là giả mêtric trên Σ. d_μ trở thành mêtric nếu Σ được xét mô đun quan hệ tương đương X ~ Y khi và chỉ khi $\backslash mu(X\backslash ,\backslash triangle\backslash ,Y)\; =\; 0$. Đôi khi nó được gọi là mêtric Fréchet-Nikodym. Không gian mêtric thu được khả ly khi và chỉ khi L²(μ) cũng khả ly.

Nếu , ta có: $|\backslash mu(X)\; -\; \backslash mu(Y)|\; \backslash leq\; \backslash mu(X\backslash ,\backslash triangle\backslash ,Y)$. Thật vậy, :

Nếu $S\; =\; \backslash left(\backslash Omega,\; \backslash mathcal\{A\},\backslash mu\backslash right)$ là không gian độ đo và $F,\; G\; \backslash in\; \backslash mathcal\{A\}$ là các tập đo được, thì hiệu đối xứng của nó cũng đo được: $F\; \backslash triangle\; G\; \backslash in\; \backslash mathcal\{A\}$. Ta có thể định nghĩa quan hệ tương đương trên các tập đo được bằng cách gọi $F$ và $G$
có quan hệ với nhau nếu $\backslash mu\backslash left(F\; \backslash triangle\; G\backslash right)\; =\; 0$. Quan hệ này được ký hiệu $F\; =\; G\backslash left[\backslash mathcal\{A\},\; \backslash mu\backslash right]$.

Cho $\backslash mathcal\{D\},\; \backslash mathcal\{E\}\; \backslash subseteq\; \backslash mathcal\{A\}$, viết $\backslash mathcal\{D\}\backslash subseteq\backslash mathcal\{E\}\backslash left[\backslash mathcal\{A\},\; \backslash mu\backslash right]$ nếu với mỗi $D\backslash in\backslash mathcal\{D\}$ tồn tại một số $E\; \backslash in\; \backslash mathcal\{E\}$ sao cho $D\; =\; E\backslash left[\backslash mathcal\{A\},\; \backslash mu\backslash right]$. Quan hệ "$\backslash subseteq\backslash left[\backslash mathcal\{A\},\; \backslash mu\backslash right]$" là thứ tự riêng phần trên họ các tập con của $\backslash mathcal\{A\}$.

Ta viết $\backslash mathcal\{D\}\; =\; \backslash mathcal\{E\}\backslash left[\backslash mathcal\{A\},\; \backslash mu\backslash right]$ nếu $\backslash mathcal\{D\}\backslash subseteq\backslash mathcal\{E\}\backslash left[\backslash mathcal\{A\},\; \backslash mu\backslash right]$ và $\backslash mathcal\{E\}\; \backslash subseteq\; \backslash mathcal\{D\}\backslash left[\backslash mathcal\{A\},\; \backslash mu\backslash right]$. Quan hệ "$=\; \backslash left[\backslash mathcal\{A\},\; \backslash mu\backslash right]$" là quan hệ tương đương giữa các tập con của $\backslash mathcal\{A\}$.

Bao đóng đối xứng của $\backslash mathcal\{D\}$ là họ tất cả các tập $\backslash mathcal\{A\}$-đo được mà $=\; \backslash left[\backslash mathcal\{A\},\; \backslash mu\backslash right]$ với một số $D\; \backslash in\; \backslash mathcal\{D\}$. Bao đóng phản xạ của $\backslash mathcal\{D\}$ chứa $\backslash mathcal\{D\}$. Nếu $\backslash mathcal\{D\}$ là $\backslash sigma$-đại số con của $\backslash mathcal\{A\}$, thì bao đóng đối xứng của $\backslash mathcal\{D\}$ cũng vậy.

Khoảng cách Hausdorff

thumb|right Khoảng cách Hausdorff và (tích của) hiệu đối xứng đều là giả mêtric trên tập các hình học đo được. Song, chúng hoạt động hoàn toàn khác nhau. Hình trong vế phải cho thấy hai dãy hình học, "Đỏ" và "Đỏ ∪ Xanh". Khi khoảng cách Hausdorff giữa chúng càng nhỏ hơn thì diện tích phần hiệu đối xứng càng lớn hơn, và ngược lại. Bằng việc tiếp tục dãy này theo cả hai hướng, ta có thể tìm ra hai dãy trong đó khoảng cách Hausdorff giữa chúng hội tụ về 0 và hiệu đối xứng giữa chúng phân kỳ, và ngược lại.