✨Không gian Étalé

Trong toán học, không gian étalé là một không gian tôpô dùng để mô tả một bó.

Định nghĩa

(a) Một không gian Étalé trên một không gian tôpô X là một không gian tôpô Y cùng với một toàn ánh liên tục π:Y → X sao cho π là một đồng phôi địa phương. Bộ ba (Y,π,X) cho ta một không gian étalé.

(b) Một nhát cắt của một không gian étalé (Y,π,X) trên một tập mở U, trong X, là một ánh xạ liên tục f:U → Y sao cho $\backslash pi\backslash circ\; f\; =\; 1\_U$. Tập các nhát cắt trên U được ký hiệu là Γ(U,Y).

Ta sẽ kết hợp một tiền bó bất kỳ $\backslash mathcal\{F\}$ trên X một không gian étalé $\backslash hat\{\backslash mathcal\{F\backslash to\; X$ sao cho bó các nhát cắt của $\backslash hat\{\backslash mathcal\{F$ cho một mô hình khác của $\backslash mathcal\{F\}$ nếu $\backslash mathcal\{F\}$ là một bó (i.e. đẳng cấu với $\backslash mathcal\{F\}$).

Xét tiền bó $\backslash mathcal\{F\}$ trên X, và đặt $\backslash mathcal\{F\}$x:={\lim}{x\in U}\mathcal{F}(U) là giới hạn trực tiếp của các tập $\backslash mathcal\{F\}(U)$ theo các ánh xạ thu hẹp $r\_V^U$ của $\backslash mathcal\{F\}$. Nếu $\backslash mathcal\{F\}$ có một cấu trúc đại số mà được bảo toàn qua giới hạn trực tiếp, thì $\backslash mathcal\{F\}\_x$, được gọi là thớ của $\backslash mathcal\{F\}$ tại x, sẽ có cấu trúc đó.

Có một ánh xạ tự nhiên $r\_x^U:\backslash mathcal\{F\}\backslash to\backslash mathcal\{F\}\_x\; (x\backslash in\; U)$ được cho bằng cách gán các phần tử trong $\backslash mathcal\{F\}(U)$ với lớp tương đương của nó qua giới hạn trực tiếp. Nếu $s\backslash in\backslash mathcal\{F\}(U)$, thì $s\_x:=r\_x^U(s)$ được gọi là mầm của s tại x, và s được gọi là một đại diện cho mầm $s$x. Đặt $\backslash hat\{\backslash mathcal\{F=\backslash cup${x\in X}\mathcal{F}_x và đặt $\backslash pi:\backslash hat\{\backslash mathcal\{F\backslash to\; X$ là phép chiếu tụ nhiên gửi các điểm trong $\backslash mathcal\{F\}\_x$ tới x. Để $\backslash hat\{\backslash mathcal\{F$ là một không gian étalé, chỉ cần trang bị cho $\backslash hat\{\backslash mathcal\{F$ một tôpô sao cho $\backslash pi$ là liên tục và là một đồng phôi địa phương. Với mỗi $s\backslash in\backslash mathcal\{F\}(U)$ định nghĩa hàm $\backslash hat\{s\}:U\backslash to\backslash hat\{\backslash mathcal\{F$ bằng cách đặt $\backslash hat\{s\}(x)=s\_x$ với mỗi $x\backslash in\; U$. Để ý rằng $\backslash pi\backslash circ\backslash hat\{s\}=1\_U$. Đặt $\{\backslash hat\{s\}(U),\; U\backslash text\{\; mở\; trong\; \}X,\; s\backslash in\backslash mathcal\{F\}(U)\}$ là một cơ sở cho tôpô của $\backslash hat\{\backslash mathcal\{F$. Khi đó, tất cả các hàm $\backslash hat\{s\}$ là liên tục. Hơn nữa, dễ dàng kiểm tra rằng $\backslash pi$ là liên tục và là một đồng phôi địa phương.

Do vậy ta đã kết hợp mỗi tiền bó $\backslash mathcal\{F\}$ trên X một không gian étalé. Trong việc kết hợp một không gian étalé $\backslash hat\{\backslash mathcal\{F$ với một tiền bó $\backslash mathcal\{F\}$, ta cũng đã kết hợp một bó với $\backslash mathcal\{F\}$, gọi là bó các nhát cắt của $\backslash hat\{\backslash mathcal\{F$. Chúng ta gọi bó này là bó được sinh bởi $\backslash mathcal\{F\}$. Có một mối quan hệ giữa tiền bó $\backslash mathcal\{F\}$ và bó các nhát cắt của $\backslash hat\{\backslash mathcal\{F$ mà ta gọi là $\backslash bar\{\backslash mathcal\{F$ từ lúc này trở đi. Chúng ta cũng đã sử dụng một kết quả là có một đồng cấu tiền bó, ký hiệu bởi $\backslash tau:\backslash mathcal\{F\}\backslash to\backslash bar\{\backslash mathcal\{F$, nghĩa là $\backslash tau\_U:\backslash mathcal\{F\}(U)\backslash to\backslash bar\{\backslash mathcal\{F(U)[:=\backslash Gamma(U,\backslash hat\{\backslash mathcal\{F\})\}]$ được cho bởi $\backslash tau\_U(s)=\backslash hat\{s\}$. Trong trường hợp $\backslash mathcal\{F\}$ là một bó, ta có kết quả cơ bản sau.

Định lý. Nếu $\backslash mathcal\{F\}$ là một bó, thì $\backslash tau:\backslash mathcal\{F\}\backslash to\backslash bar\{\backslash mathcal\{F$ là một đẳng cấu bó.

Định lý nói rằng với mỗi bó $\backslash mathcal\{F\}$, ta có thể kết hợp một không gian étalé $\backslash hat\{\backslash mathcal\{F$ mà bó các nhát cắt của nó là bó ban đầu; tức là, $\backslash hat\{\backslash mathcal\{F$ chứa cùng lượng thông tin như $\backslash mathcal\{F\}$.

Một số tác giả định nghĩa bó như là một không gian étalé.

Tính chất tô-pô của không gian étalé

Do $\backslash pi:\backslash hat\{F\}\backslash rightarrow\; X$ là một đồng phôi địa phương, không gian étalé là một không gian tô-pô cục bộ Euclid có số chiều bằng số chiều của $X$.

Nhìn chung, một không gian étalé thường là phi-Hausdorff. Nói riêng, $\backslash pi$ không phải là một ánh xạ phủ bởi thớ $\backslash hat\{\backslash mathcal\{F\_x$ của nó thường là không rời rạc.