✨Máy vectơ hỗ trợ

Máy vectơ hỗ trợ (SVM - viết tắt tên tiếng Anh support vector machine) là một khái niệm trong thống kê và khoa học máy tính cho một tập hợp các phương pháp học có giám sát liên quan đến nhau để phân loại và phân tích hồi quy. SVM dạng chuẩn nhận dữ liệu vào và phân loại chúng vào hai lớp khác nhau. Do đó SVM là một thuật toán phân loại nhị phân. Với một bộ các ví dụ luyện tập thuộc hai thể loại cho trước, thuật toán luyện tập SVM xây dựng một mô hình SVM để phân loại các ví dụ khác vào hai thể loại đó. Một mô hình SVM là một cách biểu diễn các điểm trong không gian và lựa chọn ranh giới giữa hai thể loại sao cho khoảng cách từ các ví dụ luyện tập tới ranh giới là xa nhất có thể. Các ví dụ mới cũng được biểu diễn trong cùng một không gian và được thuật toán dự đoán thuộc một trong hai thể loại tùy vào ví dụ đó nằm ở phía nào của ranh giới.

Tổng quan về máy vectơ hỗ trợ

Một máy vectơ hỗ trợ xây dựng một siêu phẳng hoặc một tập hợp các siêu phẳng trong một không gian nhiều chiều hoặc vô hạn chiều, có thể được sử dụng cho phân loại, hồi quy, hoặc các nhiệm vụ khác. Một cách trực giác, để phân loại tốt nhất thì các siêu phẳng nằm ở càng xa các điểm dữ liệu của tất cả các lớp (gọi là hàm Biên) càng tốt, vì nói chung Biên càng lớn thì sai số tổng quát hóa của thuật toán phân loại càng bé.

Trong nhiều trường hợp, không thể phân chia các lớp dữ liệu một cách tuyến tính trong một không gian ban đầu được dùng để mô tả một vấn đề. Vì vậy, nhiều khi cần phải ánh xạ các điểm dữ liệu trong không gian ban đầu vào một không gian mới nhiều chiều hơn, để việc phân tách chúng trở nên dễ dàng hơn trong không gian mới. Để việc tính toán được hiệu quả, ánh xạ sử dụng trong thuật toán SVM chỉ đòi hỏi tích vô hướng của các vectơ dữ liệu trong không gian mới có thể được tính dễ dàng từ các tọa độ trong không gian cũ. Tích vô hướng này được xác định bằng một hàm hạt nhân K(x,y) phù hợp. Một siêu phẳng trong không gian mới được định nghĩa là tập hợp các điểm có tích vô hướng với một vectơ cố định trong không gian đó là một hằng số. Vectơ xác định một siêu phẳng sử dụng trong SVM là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ dữ liệu luyện tập trong không gian mới với các hệ số α_i. Với siêu phẳng lựa chọn như trên, các điểm x trong không gian đặc trưng được ánh xạ vào một siêu mặt phẳng là các điểm thỏa mãn:

:Σ_i α_i K(x_i,x) = hằng số.

Ghi chú rằng nếu K(x,y) nhận giá trị ngày càng nhỏ khi y xa dần khỏi x thì mỗi số hạng của tổng trên được dùng để đo độ tương tự giữa x với điểm x_i tương ứng trong dữ liệu luyện tập. Như vậy, tác dụng của tổng trên chính là so sánh khoảng cách giữa điểm cần dự đoán với các điểm dữ liệu đã biết. Lưu ý là tập hợp các điểm x được ánh xạ vào một siêu phẳng có thể có độ phức tạp tùy ý trong không gian ban đầu, nên có thể phân tách các tập hợp thậm chí không lồi trong không gian ban đầu.

Lịch sử

Thuật toán SVM ban đầu được tìm ra bởi Vladimir N. Vapnik và dạng chuẩn hiện nay sử dụng Biên mềm được tìm ra bởi Vapnik và Corinna Cortes năm 1995.

Đặt vấn đề

nhỏ|phải|H3 (màu xanh lá cây) không chia tách hai lớp dữ liệu. H1 (màu xanh lơ) phân tách hai lớp với Biên nhỏ và H2 (màu đỏ) phân tách với Biên cực đại. Phân loại thống kê là một nhiệm vụ phổ biến trong học máy. Trong mô hình học có giám sát, thuật toán được cho trước một số điểm dữ liệu cùng với nhãn của chúng thuộc một trong hai lớp cho trước. Mục tiêu của thuật toán là xác định xem một điểm dữ liệu mới sẽ được thuộc về lớp nào. Mỗi điểm dữ liệu được biểu diễn dưới dạng một vector p-chiều, và ta muốn biết liệu có thể chia tách hai lớp dữ liệu bằng một siêu phẳng p − 1 chiều. Đây gọi là phân loại tuyến tính. Có nhiều siêu phẳng có thể phân loại được dữ liệu. Một lựa chọn hợp lý trong chúng là siêu phẳng có Biên lớn nhất giữa hai lớp.

SVM tuyến tính

Ta có một tập huấn luyện $\backslash mathcal\{D\}$ gồm n điểm có dạng

:$\backslash mathcal\{D\}\; =\; \backslash left\{\; (\backslash mathbf\{x\}\_i,\; y\_i)\backslash mid\backslash mathbf\{x\}\_i\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}^p,\backslash ,\; y$i \in {-1,1}\right}{i=1}^n

với y_i mang giá trị 1 hoặc −1, xác định lớp của điểm $\backslash mathbf\{x\}\_i$. Mỗi $\backslash mathbf\{x\}\_i$ là một vectơ thực p-chiều. Ta cần tìm siêu phẳng có Biên lớn nhất chia tách các điểm có $y\_i=1$ và các điểm có $y\_i=-1$. Mỗi siêu phẳng đều có thể được viết dưới dạng một tập hợp các điểm $\backslash mathbf\{x\}$ thỏa mãn nhỏ|phải|Siêu phẳng với Biên cực đại cho một SVM phân tách dữ liệu thuộc hai lớp. Các ví dụ nằm trên Biên được gọi là các vectơ hỗ trợ.

: $\backslash mathbf\{w\}\backslash cdot\backslash mathbf\{x\}\; -\; b=0,\backslash ,$

với $\backslash cdot$ ký hiệu cho tích vô hướng và $\{\backslash mathbf\{w$ là một vectơ pháp tuyến của siêu phẳng. Tham số $\backslash tfrac\{b\}\{|\backslash mathbf\{w\}|\}$ xác định khoảng cách giữa gốc tọa độ và siêu phẳng theo hướng vectơ pháp tuyến $\{\backslash mathbf\{w$.

Chúng ta cần chọn $\{\backslash mathbf\{w$ và $b$ để cực đại hóa Biên, hay khoảng cách giữa hai siêu mặt song song ở xa nhau nhất có thể trong khi vẫn phân chia được dữ liệu. Các siêu mặt ấy được xác định bằng

: $\backslash mathbf\{w\}\backslash cdot\backslash mathbf\{x\}\; -\; b=1\backslash ,$

và

: $\backslash mathbf\{w\}\backslash cdot\backslash mathbf\{x\}\; -\; b=-1.\backslash ,$

Để ý rằng nếu dữ liệu huấn luyện có thể được chia tách một cách tuyến tính, thì ta có thể chọn hai siêu phẳng của Biên sao cho không có điểm nào ở giữa chúng và sau đó tăng khoảng cách giữa chúng đến tối đa có thể. Bằng hình học, ta tìm được khoảng cách giữa hai siêu phẳng là $\backslash tfrac\{2\}\{|\backslash mathbf\{w\}|\}$. Vì vậy ta muốn cực tiểu hóa giá trị $|\backslash mathbf\{w\}|$. Để đảm bảo không có điểm dữ liệu nào trong Biên, ta thêm vào các điều kiện sau:

Với mỗi $i$ ta có

: $\backslash mathbf\{w\}\backslash cdot\backslash mathbf\{x\}\_i\; -\; b\; \backslash ge\; 1\backslash qquad\backslash text\{\; cho\; \}\backslash mathbf\{x\}\_i$ thuộc lớp thứ nhất

hoặc

: $\backslash mathbf\{w\}\backslash cdot\backslash mathbf\{x\}\_i\; -\; b\; \backslash le\; -1\backslash qquad\backslash text\{\; cho\; \}\backslash mathbf\{x\}\_i$ thuộc lớp thứ hai

Có thể viết gọn lại như sau với mọi $1\; \backslash le\; i\; \backslash le\; n$:

: $y\_i(\backslash mathbf\{w\}\backslash cdot\backslash mathbf\{x\}\_i\; -\; b)\; \backslash ge\; 1,\; \backslash qquad\backslash qquad(1)$

Tóm lại, ta có bài toán tối ưu hóa sau:

Cực tiểu hóa (theo $\{\backslash mathbf\{w\},b\}$)

: $|\backslash mathbf\{w\}|$

với điều kiện (với mọi $i\; =\; 1,\; \backslash dots,\; n$)

: $y\_i(\backslash mathbf\{w\}\backslash cdot\backslash mathbf\{x\_i\}\; -\; b)\; \backslash ge\; 1.\; \backslash ,$

Dạng ban đầu

Bài toán tối ưu ở mục trên tương đối khó giải vì hàm mục tiêu phụ thuộc vào ||w||, là một hàm có khai căn. Tuy nhiên có thể thay ||w|| bằng hàm mục tiêu $\backslash tfrac\{1\}\{2\}|\backslash mathbf\{w\}|^2$ (hệ số 1/2 để tiện cho các biến đổi toán học sau này) mà không làm thay đổi lời giải (lời giải của bài toán mới và bài toán ban đầu có cùng w và b). Đây là một bài toán quy hoạch toàn phương. Cụ thể hơn:

Cực tiểu hóa (theo $\{\backslash mathbf\{w\},b\}$)

: $\backslash frac\{1\}\{2\}|\backslash mathbf\{w\}|^2$

với điều kiện (với mọi $i\; =\; 1,\; \backslash dots,\; n$)

: $y\_i(\backslash mathbf\{w\}\backslash cdot\backslash mathbf\{x\_i\}\; -\; b)\; \backslash ge\; 1.$

Bằng cách thêm các nhân tử Lagrange $\backslash boldsymbol\{\backslash alpha\}$, bài toán trên trở thành

: $\backslash min${\mathbf{w},b } \max{\boldsymbol{\alpha}\geq 0 } \left{ \frac{1}{2}|\mathbf{w}|^2 - \sum_{i=1}^{n}{\alpha_i[y_i(\mathbf{w}\cdot \mathbf{x_i} - b)-1]} \right}

nghĩa là ta cần tìm một điểm yên ngựa. Khi đó, tất cả các điểm không nằm trên Biên, nghĩa là $y\_i(\backslash mathbf\{w\}\backslash cdot\backslash mathbf\{x\_i\}\; -\; b)\; -\; 1\; >\; 0$ đều không ảnh hưởng đến giá trị hàm mục tiêu vì ta có thể chọn $\backslash alpha\_i$ bằng không.

Có thể giải bài toán này bằng các kĩ thuật thông thường cho quy hoạch toàn phương. Theo điều kiện Karush–Kuhn–Tucker, lời giải có thể được viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ luyện tập

: $\backslash mathbf\{w\}\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\{\backslash alpha\_i\; y\_i\backslash mathbf\{x\_i.$

Chỉ có một vài $\backslash alpha\_i$ nhận giá trị lớn hơn 0. Các điểm $\backslash mathbf\{x\_i\}$ tương ứng là các vectơ hỗ trợ nằm trên Biên và thỏa mãn $y\_i(\backslash mathbf\{w\}\backslash cdot\backslash mathbf\{x\_i\}\; -\; b)\; =\; 1$. Từ điều kiện này, ta nhận thấy : $\backslash mathbf\{w\}\backslash cdot\backslash mathbf\{x\_i\}\; -\; b\; =\; 1\; /\; y\_i\; =\; y\_i\; \backslash iff\; b\; =\; \backslash mathbf\{w\}\backslash cdot\backslash mathbf\{x\_i\}\; -\; y$i từ đó ta suy ra được giá trị $b$. Trên thực tế, một cách thức tốt hơn để tính $b$ là tính giá trị trung bình từ tất cả $N${SV} vectơ hỗ trợ: : $b\; =\; \backslash frac\{1\}\{N${SV \sum{i=1}^{N_{SV{(\mathbf{w}\cdot\mathbf{x_i} - y_i)}

Dạng đối ngẫu

Nếu viết điều kiện phân loại dưới dạng đối ngẫu không điều kiện thì sẽ dễ dàng nhận thấy siêu phẳng với Biên lớn nhất, và do đó nhiệm vụ phân loại, chỉ phụ thuộc vào các điểm luyện tập nằm trên Biên, còn gọi là các vectơ hỗ trợ.

Vì $|\backslash mathbf\{w\}|^2\; =\; w\backslash cdot\; w$ và $\backslash mathbf\{w\}\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\{\backslash alpha\_i\; y\_i\backslash mathbf\{x\_i$, ta nhận thấy bài toán đối ngẫu của SVM là chính là bài toán tối ưu hóa sau:

Cực đại hóa (theo $\backslash alpha$i) :$\backslash tilde\{L\}(\backslash mathbf\{\backslash alpha\})=\backslash sum${i=1}^n \alphai - \frac{1}{2}\sum{i, j} \alpha_i \alpha_j y_i y_j \mathbf{x}_i^T \mathbf{x}j=\sum{i=1}^n \alphai - \frac{1}{2}\sum{i, j} \alpha_i \alpha_j y_i y_j k(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j)

với điều kiện (với mọi $i\; =\; 1,\; \backslash dots,\; n$)

:$\backslash alpha\_i\; \backslash geq\; 0,\backslash ,$

và điều kiện sau ứng với việc cực tiểu hóa theo $b$

:$\backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash alpha\_i\; y\_i\; =\; 0.$ Ở đây hàm hạt nhân được định nghĩa là $k(\backslash mathbf\{x\}\_i,\backslash mathbf\{x\}\_j)=\backslash mathbf\{x\}\_i\backslash cdot\backslash mathbf\{x\}\_j$.

Sau khi giải xong, có thể tính $\backslash mathbf\{w\}$ từ các giá trị $\backslash alpha$ tìm được như sau:

:$\backslash mathbf\{w\}\; =\; \backslash sum\_i\; \backslash alpha\_i\; y\_i\; \backslash mathbf\{x\}\_i.$

Biên mềm

Năm 1995, Corinna Cortes và Vladimir N. Vapnik đề xuất một ý tưởng mới cho phép thuật toán gán nhãn sai cho một số ví dụ luyện tập. Các hàm phạt phi tuyến cũng được sử dụng, đặc biệt là để giảm ảnh hưởng của các trường hợp ngoại lệ, tuy nhiên nếu không lựa chọn hàm phạt cẩn thận thì bài toán trở thành không lồi, và việc tìm lời giải tối ưu toàn cục thường là rất khó.