Trong đại số trừu tượng, nhóm hữu hạn là nhóm có tập của nó có hữu hạn số phần tử. Nhóm hữu hạn thường xuất hiện khi xét đối xứng của các đối tượng toán học hay vật lý, nhất là khi các đối tượng có hữu hạn số biển đổi bảo toàn cấu trúc của nó. Các ví dụ quan trọng của nhóm hữu hạn bao gồm nhóm cyclic và nhóm hoán vị.
Nghiên cứu các nhóm hữu hạn đã trở thành chủ đề quan trọng trong lý thuyết nhóm kể từ lần đầu nó xuất hiện trong thế kỷ 19. Một mảng được nghiên cứu nhiều trong đó là phân loại: Phân loại nhóm đơn hữu hạn (là các nhóm không có nhóm con chuẩn tắc không tầm thường nào) đã được hoàn thành vào năm 2004.
Lịch sử
Trong thế kỷ 20, các nhà toán học đã nghiên cứu kỹ một số tính chất của lý thuyết các nhóm hữu hạn, đặt biệt là trong lý thuyết địa phương của các nhóm hữu hạn và lý thuyết của các nhóm giải được và nhóm luỹ linh. Nhờ đó, ta mới hoàn thiện phân loại nhóm đơn hữu hạn, nghĩa là mọi nhóm đơn hữu hạn mà các nhóm hữu hạn có thể xây lên đều đã được biết.
Vào nửa sau của thế kỷ 20, các nhà toán học như Chevalley và Steinberg tăng sự hiểu biết của ta về các tương tự hữu hạn của nhóm cổ điển, và các nhóm có liên hệ. Một ví dụ về họ các nhóm đó là họ các nhóm tuyến tính tổng quát trên các trường hữu hạn.
Nhóm hữu hạn hay xuất hiện khi xét các đối xứng của đối tượng toán học hay vật lý, và khi các đối tượng đó có hữu hạn số các biến đổi bảo toàn cấu trúc. Lý thuyết các nhóm Lie thường được xem là xét cho các "đối xứng liên tục", bị ảnh hưởng nhiều từ các nhóm Weyl. Đây là các nhóm hữu hạn được sinh từ các phản xạ tác động trên không gian Euclid. Tính chất của các nhóm này đóng vai trò quan trọng trong vật lý lý thuyết và hoá học.
Các ví dụ
Nhóm hoán vị
thumb|[[Đồ thị Cayley của nhóm đối xứng S4]]
Nhóm đối xứng Sn trên tập hữu hạn chứa n dấu là nhóm trong đó các phần tử là hoán vị của n dấu đó và phép toán nhóm là phép hợp hai hoán vị đó, mỗi phần tử đều có thể được coi là song ánh từ tập các dấu tới chính tập đó. Bởi n! là số hoán vị của một tập có n dấu, nên cấp (số phần tử) của nhóm đối xứng Sn là n!.
Nhóm cyclic
Nhóm cyclic Zn là nhóm mà tất cả các phần tử đều là luỹ thừa của phần tử a nào đó, trong đó là phần tử đơn vị. Một ví dụ thường thấy của nhóm này là trong căn đơn vị thứ .
Nhóm abel hữu hạn
Nhóm Abel, hay còn gọi là nhóm giao hoán, là nhóm mà khi khi kết quả của phép toán của hai phần tử trong nhóm không phụ thuộc vào thứ tự của nó (tiên đề giao hoán). Nhóm abel được đặt tên theo nhà toán học Niels Henrik Abel.
Nhóm abel hữu hạn tuỳ ý đằng cấu với tổng trực tiếp của các nhóm cyclic có cấp là số nguyên tố, và các cấp này đều xác định được độc nhất, tạo thành hệ thống các bất biến. Nhóm tự đẳng cấu của nhóm abel hữu hạn có thể được mô tả trực tiếp bằng các bất biến này. Lý thuyết này được lần đầu phát triển trong bài viết năm 1879 của Georg Frobenius và Ludwig Stickelberger. Sau đó phát biểu này được giản hoá đi và tổng quát hoá sang cho các module hữu hạn sinh trên miền ideal chính, đóng vai trò quan trọng trong đại số tuyến tính.
Nhóm dưới dạng Lie
Nhóm dạng Lie là các nhóm có liên hệ gần với nhóm G(k) của các điểm hữu tỉ của nhóm tuyến tính tổng quát G cùng với trường k. Nhóm hữu hạn dạng Lie là một phần của các nhóm đơn hữu hạn không giao hoán. Các trường hợp đặc biệt bao gồm các nhóm cổ điển, nhóm Chevalley, nhóm Steinberg và nhóm Suzuki-Ree.
Các định lý chính
Định lý Lagrange
Cho bất kỳ nhóm hữu hạn G, cấp (số phần tử) của bất kỳ nhóm con H của G là ước của cấp của G. Định lý được đặt tên theo nhà toán học Joseph-Louis Lagrange.
Các định lý Sylow
Cho phép xét ngược lại một chút với định lý Lagrange, bằng việc đưa ra có bao nhiêu nhóm con có cấp n nằm trong G.
Định lý Cayley
Định lý Cayley, được đặt tên để vinh danh nhà toán học Arthur Cayley, phát biểu rằng mọi nhóm G đều đẳng cấu với một nhóm con của nhóm đối xứng tác động trên G. Ta cũng có thể hiểu đây là Tác động nhóm của G trên các phần tử của G.
Định lý Burnside
Định lý Burnside trong lý thuyết nhóm phát biểu rằng nếu G là nhóm hữu hạn có cấp _p_q, trong đó p và q là hai số nguyên tố, và a và b là số nguyên không âm thì G giải được. Do đó, mọi nhóm đơn hữu hạn không giao hoán đều có chia hết bởi ít nhất ba số nguyên tố phân biệt.
Định lý Feit–Thompson
Định lý Feit–Thompson, hay định lý cấp lẻ, phát biểu rằng mọi nhóm có cấp lẻ đều giải được. Định lý này được chứng minh bởi
Phân loại các nhóm đơn hữu hạn
Phân loại nhóm đơn hữu hạn là định lý phát biểu rằng các finite simple group thuộc một trong các họ sau:
- Nhóm cyclic có cấp nguyên tố;
- Nhóm thay phiên với bậc lớn hơn hoặc bằng 5;
- Nhóm đơn dạng Lie;
- Một trong 26 nhóm đơn sporadic;
- Nhóm Tits (đôi khi được coi là nhóm sporadic thứ 27).
Các nhóm đơn hữu hạn được xem là các khối xây của các nhóm, tương tự như cách các số nguyên tố là khối xây của các số tự nhiên. Định lý Jordan–Hölder nói rõ hơn về điều này. Tuy nhiên, một số khác biệt lớn so với phân tích nguyên tố là các "khối xây" đó không nhất thiết định nghĩa duy nhất một nhóm, bởi có thể có nhiều nhóm không đẳng cấu với nhau nhưng lại có chung chuỗi hợp thành hay nói cách khác, bài toán mở rộng nhóm không có duy nhất một lời giải.
Bài chứng minh bao gồm hàng nghìn bài viết trong hàng trăm tạp chí khoa học và được viết bởi 100 tác giả, được xuất bản chủ yếu giữa 1955 và 2004. Hiện Gorenstein (d.1992), Lyons, và Solomon đang xuất bản dần các bài chứng minh đơn giản hơn và được sửa lại.
Số các nhóm với cấp cho trước
Cho số tự nhiên n, ta không thể dễ dàng đếm được có bao nhiêu loại đẳng cấu của nhóm có cấp n. Mọi nhóm có cấp nguyên tố thì đều là nhóm cyclic, bởi theo định lý Lagrange, bất cứ nhóm con cyclic sinh bởi một phần tử không tầm thường sẽ là toàn bộ nhóm đó.
Nếu n là bình phương của số nguyên tố, thì có hai loại đẳng cấu của nhóm có cấp n, cả hai đều giao hoán. Nếu n là luỹ thừa cao hơn của số nguyên tố, thì các kết quả của Graham Higman và Charles Sims sẽ đưa ước lượng chính xác về số các loại đẳng cấu của nhóm có cấp n, và giá trị này tăng rất nhanh khi luỹ thừa tăng dần.
Dựa trên phân tích thừa số nguyên tố n, ta có thể đặt một số giới hạn cho cấu trúc của các nhóm có cấp n, một trong trong những kết quả nói đến đó là các định lý Sylow. Lấy ví dụ, mọi nhóm có cấp pq là nhóm cyclic khi là số nguyên tố và không chia hết cho q. Đối với điều kiện cần và đủ, xem số cyclic.
Xét số tự nhiên n, hầu như mọi nhóm có cấp n đều giải được. Bài toán chứng minh cho một cấp bất kỳ không phải bài toán khó (ví dụ như, khi xê xích đẳng cấu, sẽ có một nhóm không giải được và 12 nhóm giải được có cùng cấp 60) nhưng để chứng minh nó đúng với mọi cấp yêu cầu ta phải dùng phân loại nhóm đơn hữu hạn. Cho bất kỳ số nguyên dương n, có tối đa hai nhóm đơn cấp n, và có vô số số nguyên dương n sao cho có hai nhóm đơn không đẳng cấu với nhau và cùng cấp n.
Bảng các nhóm phân biệt có cùng cấp n
👁️
0 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚
Trong đại số trừu tượng, **nhóm hữu hạn** là nhóm có tập của nó có hữu hạn số phần tử. Nhóm hữu hạn thường xuất hiện khi xét đối xứng của các đối tượng toán
thumb|[[Nhóm nhị diện cấp 8 yêu cầu hai phần tử sinh, được minh họa trong biểu đồ trên]] Trong đại số, các **nhóm hữu hạn sinh** là các nhóm _G_ có tập sinh hữu hạn
Trong lý thuyết nhóm, một **nhóm cyclic** (hay **nhóm xyclic**, hay **nhóm monogenous**) là một nhóm có thể được sinh ra từ một tập hợp sinh chỉ gồm một phần tử _g_, phần tử này
Trong toán học, đặc biệt là trong lý thuyết nhóm, cho trước một số nguyên tố _p_, một **_p_-nhóm** là một nhóm nhóm hữu hạn có cấp là một lũy thừa của _p_.
Trong toán học, **phân loại nhóm đơn hữu hạn** là một định lý cho biết mọi nhóm đơn hữu hạn đều: hoặc là nhóm xiclic, hoặc là nhóm thay phiên, hoặc là một trong số
Trong toán học, một **nhóm abel hữu hạn sinh** là một nhóm abel có một tập sinh hữu hạn. Nói cách khác, nó là một **Z-**mô-đun hữu hạn sinh. ## Định lý cấu trúc -
thumb|[[Nhóm đối xứng của một bông tuyết là D6, giống với đối xứng nhị diện của lục giác]] Trong toán học, một **nhóm nhị diện** là một nhóm các đối xứng của một đa giác
thumb|right|Các thao tác bước xoay [[Rubik|khối lập phương Rubik tạo thành nhóm khối lập phương Rubik.]] Trong toán học, một **nhóm** (group) là một tập hợp các phần tử được trang bị một phép toán
thumb|[[Căn đơn vị thứ 5 trong mặt phẳng tạo thành một nhóm dưới phép nhân. Mỗi phần tử không đơn vị đều là phần tử sinh của nhóm.]] Trong đại số trừu tượng, **tập sinh
nhỏ|[[Đồ thị Cayley của nhóm tự do có hai phần tử sinh. Đây là nhóm hyperbol có biên Gromov là tập Cantor. Tương tự với đồ thị Cayley, nhóm hyperbol và biên của nó là
Trong toán học, đặc biệt là trong lý thuyết nhóm, **chỉ số** của nhóm con _H_ trong _G_ là số lớp kề trái của _H_ trong _G_, hoặc tương đương là số lớp kề phải
Trong toán học, **nhóm đơn** là nhóm mà các nhóm con chuẩn tắc duy nhất là nhóm tầm thường và chính nó. Một nhóm không phải nhóm đơn có thể phân tách thành hai nhóm
Được đặt tên theo nhà toán học người Anh Arthur Cayley, **Bảng Cayley** (hay còn được gọi là **bảng nhân nhóm**) được dùng để mô tả cấu trúc của một nhóm hữu hạn bằng cách
thumb|Các cấu trúc đại số nằm giữa [[Magma (đại số)|magma và nhóm: _nửa nhóm_ là magma đi kèm theo tính kết hợp. monoid là _nửa nhóm_ kèm thêm phần tử đơn vị.]] Trong toán học,
**Nhóm thương** hay **nhóm nhân tử** là nhóm thu được bằng cách gộp các phần tử tương tự với nhau của nhóm lớn hơn, dùng quan hệ tương đương để bảo toàn một số cấu
phải|nhỏ| Cho một [[tam giác đều , phép quay ngược chiều kim đồng hồ một góc 120° quanh tâm của tam giác sẽ ánh xạ mọi đỉnh của tam giác với một đỉnh khác. Nhóm
Trong đại số, **nhóm con chuẩn tắc** (hay còn gọi là **nhóm con bất biến** hoặc **nhóm con tự liên hợp**) là nhóm con bất biến dưới mọi tác động liên hợp. Nói cách khác,
thumb|[[Biểu đồ Hasse cho mạng các nhóm con của nhóm nhị diện Dih4. Hàng thứ hai là các nhóm tối đại; giao của các nhóm đó (**Nhóm con Frattini**) là phần tử tâm tại hàng
Trong lý thuyết nhóm, **định lý Lagrange** phát biểu rằng: nếu _H_ là nhóm con của nhóm hữu hạn _G_, thì cấp (số phần tử) của _G_ chia hết cho cấp của _H_. Định lý
**Định lý Cauchy** là một định lý trong lý thuyết nhóm được đặt tên theo tên của nhà toán học người Pháp Augustin Louis Cauchy. Định lý này phát biểu rằng nếu là một
Trong toán học và đại số trừu tượng, **lý thuyết nhóm** nghiên cứu về cấu trúc đại số như nhóm. **Nhóm** là lý thuyết trung tâm của đại số trừu tượng, những cấu trúc đại
Trong đại số trừu tượng, **đẳng cấu nhóm** là hàm thiết lập quan hệ tương ứng một-một giữa hai nhóm trong đó vẫn bảo toàn được phép toán nhóm. Nếu tồn tại đẳng cấu giữa
Trong toán học, một **trường hữu hạn** là một trường chứa một số hữu hạn các phần tử. Ví dụ phổ biến nhất của các trường hữu hạn là các số nguyên mod với là
Trong lý thuyết nhóm, một nhánh của toán học, **nhóm xoắn** hoặc **nhóm tuần hoàn** là một nhóm trong đó mỗi phần tử đều có cấp hữu hạn. Tất cả các nhóm hữu hạn là
Trong toán học, **nhóm giao hoán**, còn được gọi là **nhóm Abel**, là nhóm mà việc áp dụng phép toán hai ngôi cho hai phần tử trong nhóm không phụ thuộc vào thứ tự của
Trong toán học, **nhóm nhân các số nguyên modulo _n**_ là một nhóm với phép nhân là phép toán nhóm và các phần tử là các đơn vị đơn vị trong một vành : với
nhỏ|320x320px| Đồ thị Cayley với các hoán vị của một tam giác nhỏ|368x368px| Đồ thị chu kỳ với [[Ma trận hoán vị|ma trận hoán vị của 3 phần tử (Hai phần tử sinh _a_ và
Trong toán học, trong lĩnh vực đại số trừu tượng, **định lý cấu trúc cho các mô đun hữu hạn sinh trên một vành chính** là một tổng quát hóa của định lý cơ bản
Trong toán học, **nhóm bốn Klein** là một nhóm có bốn phần tử, trong đó mỗi phần tử là tự nghịch đảo (kết hợp nó với chính nó tạo ra phần tử đơn vị) và
**Công ty Trách nhiệm hữu hạn Đại chúng RS** là một công ty giải trí của Thái Lan. Công ty này sở hữu một hãng đĩa thu âm, sản xuất các chương trình truyền hình,
**Nhôm** là một nguyên tố hóa học có ký hiệu **Al** và số nguyên tử 13. Nhôm có khối lượng riêng thấp hơn các kim loại thông thường khác, khoảng một phần ba so với
Trong toán học, một **nhóm Lie**, được đặt tên theo nhà toán học người Na Uy Sophus Lie (IPA pronunciation: , đọc như là "Lee"), là một nhóm (group) cũng là một đa tạp khả
Trong lý thuyết nhóm, thuật ngữ **cấp** (tiếng Anh: _order_) có hai ý nghĩa, cả hai ý nghĩa này đều liên hệ mật thiết với nhau: * cấp của một nhóm _G_ chính là số
nhỏ|Quấn một hình cầu hai chiều quanh một hình cầu khác. Trong toán học, và cụ thể hơn là trong tô pô đại số, các **nhóm đồng luân của hình cầu** là các bất biến
Trong toán học, đặc biệt là trong Đại số trừu tượng và Đại số tuyến tính, **nhóm tuyến tính tổng quát bậc** _n_ là tập hợp ma trận khả nghịch , cùng với
**Lôgarit rời rạc** là sự tiếp nối của phép tính lôgarit trên trường số thực vào các nhóm hữu hạn. Ta nhắc lại rằng với hai số thực x, y và cơ số _a_>0, _a_≠1,nếu
phải|nhỏ|429x429px| [[Hendrik Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz (1853 bóng1928), sau đó nhóm Lorentz được đặt tên. ]] Trong vật lý và toán học, **nhóm Lorentz** là nhóm của tất cả các phép biến đổi Lorentz của không
Trong lý thuyết nhóm thuộc đại số trừu tượng, **nhóm Quỷ** M (còn gọi là **quỷ Fischer–Griess** hay **người khổng lồ dễ gần**) là nhóm sporadic đơn giản lớn nhất, với cấp: 2463205976112133171923293141475971 = 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000 ≈
Trong toán học, **nhóm Heisenberg** , được đặt tên theo nhà toán học Werner Heisenberg, là nhóm các ma trận tam giác trên 3 × 3 dưới dạng ::
**Nhóm lũy linh** cùng với nhóm giải được là các cấu trúc cơ bản của đại số trừu tượng. ## Định nghĩa ### Chuỗi tâm trên Tồn tại một nhóm là _lũy linh_ nếu
Trong toán học, **nhóm trực giao** với số chiều , được ký hiệu là , là nhóm gồm các phép biến đổi bảo toàn khoảng cách trong một không gian Euclid chiều bảo toàn
Trong toán học, một **nhóm hoán vị** là một nhóm _G_ có các phần tử là các hoán vị của một tập hợp cho trước _M_, và phép toán trên nhóm là phép toán hợp
Trong lý thuyết nhóm, một tập con của một nhóm có thể là một nhóm hoặc không. Trong trường hợp nó là một nhóm, nó được gọi là **nhóm con** của G. ## Định nghĩa
Trong toán học, nhóm G được gọi là **tổng trực tiếp** của hai nhóm con chuẩn tắc với giao tầm thường nếu nó được sinh bởi hai nhóm con đó. Trong Đại số trừu tượng,
Trong toán học, cụ thể là trong lý thuyết nhóm, một **nhóm phi abel**, cũng được gọi là nhóm **không giao hoán**, là một nhóm (_G_, ∗) thoả mãn tồn tại ít nhất một cặp
Trong toán học, một **nhóm giải được** là một nhóm có thể được xây dựng từ các nhóm abelian bằng một chuỗi các mở rộng hữu hạn. ## Động lực Về mặt lịch sử, từ
phải|nhỏ|250x250px| Một lưới trong [[Mặt phẳng (toán học)|mặt phẳng Euclid.]] Trong hình học và lý thuyết nhóm, một **lưới** trong là một tập hợp gồm tất cả các tổ hợp tuyến tính nguyên của
nhỏ|Lý thuyết biểu diễn nghiên cứu cách các cấu trúc đại số "biến đổi" các đối tượng toán học. Ví dụ đơn giản nhất là cách [[Nhóm nhị diện|nhóm đối xứng của các đa giác
Trong toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực lý thuyết nhóm hữu hạn, **định lý Sylow** là một nhóm các định lý được đặt tên theo nhà toán học Na Uy Ludwig Sylow vào
nhỏ| là nhóm , tức là [[Số học mô đun|tập các số nguyên mô đun 8 dưới phép cộng.Nhóm con chỉ chứa 0 và 4. Có bốn lớp kề của : chính , , ,