✨Nhóm con Frattini

thumb|[[Biểu đồ Hasse cho mạng các nhóm con của nhóm nhị diện Dih₄. Hàng thứ hai là các nhóm tối đại; giao của các nhóm đó (Nhóm con Frattini) là phần tử tâm tại hàng thứ ba. Do đó Dih₄ chỉ có một phần tử không sinh ngoài e.]]

Trong toán học, cụ thể hơn là trong lý thuyết nhóm, nhóm con Frattini $\backslash Phi(G)$ của nhóm là giao của tất cả nhóm con tối đại của . Nếu không có nhóm con tối đại nào, ví dụ như là nhóm tầm thường {e} hoặc nhóm Prüfer, thì $\backslash Phi(G)=G$. Nó tương tự với căn Jacobson trong lý thuyết vành, và theo trực giác thì có thể coi nhóm là nhóm con chứa "phần tử nhỏ" (xem dưới). Nhóm được đặt tên theo Giovanni Frattini, người định nghĩa khái niệm này trong bài viết năm 1885.

Một số tính chất

• $\backslash Phi(G)$ bằng với tập **các phần tử không sinh** của . Phần tử không sinh của là phần tử luôn có thể bỏ đi được trong tập sinh; thức là nếu _a_ là phần tử của sao cho nếu là tập sinh của chứa _a_, thì $X\; \backslash setminus\; \backslash \{a\backslash \}$ cũng là tập sinh của .
• $\backslash Phi(G)$ luôn là nhóm con đặc trưng của ; cụ thể hơn, nó luôn là nhóm con chuẩn tắc của .
• Nếu hữu hạn, thì $\backslash Phi(G)$ là nhóm lũy linh
• Nếu là p-nhóm hữu hạn, thì $\backslash Phi(G)=G^p\; [G,G]$. Do đó nhóm con Frattini là nhóm con chuẩn tắc nhỏ nhất N sao cho nhóm thương $G/N$ là nhóm abel sơ cấp, đẳng cấu với tổng trực tiếp của các nhóm cyclic có cấp p. Hơn nữa, nếu nhóm thương $G/\backslash Phi(G)$ (hay còn gọi là thương Frattini của ) có cấp $p^k$, thì k là số phần tử sinh nhỏ nhất của cấp (tức là lực lượng nhỏ nhất của tập sinh cho ). Mặt khác, một p-nhóm hữu hạn là nhóm cyclic khi và chỉ khi thương Frattini của nó cũng là nhóm cyclic (với cấp p). p-nhóm hữu hạn là nhóm abel sơ cấp khi và chỉ khi nhóm con Frattini của nó là nhóm tầm thường, $\backslash Phi(G)=\{e\}$.
• Nếu và hữu hạn, thì $\backslash Phi(H\backslash times\; K)=\backslash Phi(H)\; \backslash times\; \backslash Phi(K)$.

Ví dụ nhóm có nhóm con Frattini không tầm thường là nhóm cyclic có cấp $p^2$, trong đó p là số nguyên tố, sinh bởi a, $\backslash Phi(G)=\backslash left\backslash langle\; a^p\backslash right\backslash rangle$.