Trong toán học và đại số trừu tượng, lý thuyết nhóm nghiên cứu về cấu trúc đại số như nhóm. Nhóm là lý thuyết trung tâm của đại số trừu tượng, những cấu trúc đại số chính khác như vành, trường và không gian vector có thể được xét như các nhóm với các tính chất và tiên đề bổ sung. Nhóm được ứng dụng hầu khắp các nhánh của toán học, và ứng dụng của lý thuyết nhóm có ảnh hưởng đến nhiều khía cạnh của đại số. Các nhóm đại số tuyến tính và các nhóm Lie, là hai nhánh của lý thuyết nhóm, đã được nghiên cứu chuyên sâu và trở thành những chủ đề chính của lý thuyết này.
Nhiều hệ thống vật lý, như tinh thể và nguyên tử hydro, có thể được mô hình hóa dưới dạng các nhóm đối xứng.Vì vậy, lý thuyết nhóm và lý thuyết đại diện - lý thuyết có liên hệ mật thiết với lý thuyết nhóm - có nhiều ứng dụng quan trọng trong vật lý, hóa học và khoa học vật liệu. Lý thuyết nhóm cũng là trọng tâm cho lý thuyết mã hóa công khai.
Một trong những thành tựu quan trọng nhất của Toán học thế kỷ XX đó là nỗ lực hợp tác đem lại hơn 10.000 trang báo cáo được phát hành từ năm 1960 đến 1980 với kết quả phân loại hoành chỉnh cho các nhóm đơn hữu hạn.
Lý thuyết nhóm là một nhánh cơ bản của đại số nghiên cứu các tính chất của nhóm - một hệ thống đại số cơ bản.
Phân loại
Số loại nhóm đã dần dần mở rộng từ nhóm hoán vị hữu hạn cho tới nhóm ma trận.
Nhóm hoán vị
Lớp nhóm đầu tiên chúng ta được biết tới là nhóm hoán vị. Cho trước một tập X và tập hợp G các song tuyến của X cho chính nó (hoán vị) đóng dưới các phép nghịch đảo và kết hợp, G là nhóm tác động lên X. Nếu X bao gồm n phần tử và G bao gồm tất cả các hoán vị, G là nhóm đối xứng Sn, một cách tổng quát, Mọi nhóm hoán vị G là tập con của nhóm đối xứng của X.
Trong nhiều trường hợp, cấu trúc của một nhóm hoán vị có thể được nghiên cứu bằng cách sử dụng các tính chất của các tác dụng của chúng lên những tập tương ứng.
Nhóm ma trận
Lớp nhóm quan trọng tiếp theo của lý thuyết nhóm chính là nhóm ma trận. Trong đó G là một tập bao gồm các ma trận khả nghịch với bậc n cho trước qua một trường K là đóng dưới phép nhân vô hướng và nghịch đảo. Những nhóm tác dụng lên một không gian vector n chiều Kn bằng một biến đổi tuyến tính. Tác dụng này làm nhóm ma trận giống như nhóm hoán vị, và sự đối xứng của tác động có thể khai thác để tìm hiểu các tính chất của nhóm G.
Nhóm biến đổi
Nhóm giao hoán và nhóm ma trận là các trường hợp đặc biệt của nhóm biến đổi: Một nhóm tác động lên không gian X cụ thể và bảo toàn câu trúc vốn có của nó. Trong trường hợp của nhóm hoán vị, X là tập của nhóm ma trận, đối với nhóm ma trận, X là không gian vector. Mô hình của một nhóm biến đổi rất gần với nhóm đối xứng: một biến đổi bao gồm tất các các biến đổi bảo toàn các cấu trúc cụ thể.
Lý thuyết của nhóm biến đổi là cây cầu liên kết lý thuyết nhóm với hình học giải tích.
Nhóm trừu tượng
Phần lớn các nhóm ở giai đoạn đầu của lý thuyết nhóm là "đặc", được nhận ra thông qua các con số, hoán vị, ma trận. Trước thể kỉ 19, ý tưởng của một nhóm trừu tượng như là một tập cùng với các toán tử thỏa mản một số hệ thống tiêu đề bắt đầu được nảy sinh. Một cách phổ biến để xác định một nhóm trừu tượng là thông qua phép biểu diễn bằng generator và relations,
Lịch sử lý
Trong khoảng một thế kỉ, rất nhiều nhà toán học đã gặp khó khăn khi nghiên cứu các bài toán đại số trước khi lý thuyết nhóm ra đời. Bắt đầu từ Joseph Louis Lagrange sử dụng nhóm hoán vị để tìm nghiệm đa thức (1771), sau đó trong các bài báo, nghiên cứu về phương trình đại số của Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss, Niels Henrik Abel (1824) và Evariste Galois (1830), những thuật ngữ trong lý thuyết nhóm đã xuất hiện. Ngoài ra, lý thuyết nhóm cũng được hình thành từ hình học vào khoảng giữa thế kỉ XIX từ lý thuyết số.
Vào khoảng cuối thế kỉ XIX, lý thuyết nhóm trở thành một nhánh độc lập của đại số (những người có công trong lĩnh vực này phải kể đến là Ferdinand Georg Frobenius, Leopold Kronecker, Emile Mathieu,...). Nhiều khái niệm của đại số đã được xây dựng lại từ khái niệm nhóm và đã có nhiều kết quả mới đóng góp cho sự phát triển của ngành toán học quan trọng này.
Hiện nay lý thuyết nhóm là một phần phát triển nhất trong đại số và có nhiều ứng dụng trong topo học, lý thuyết hàm, mật mã học, cơ học lượng tử và nhiều ngành khoa học cơ bản khác.
Bài toán cơ bản của lý thuyết nhóm là miêu tả tất cả hệ thống nhóm với sự chính xác đến một đẳng cấu, và nghiên cứu các phép biến đổi trên các nhóm. Trên thực tế, việc viết hết các hệ thống nhóm là không thể, chính vì thế mà lý thuyết nhóm vẫn đang được tiếp tục nghiên cứu.
Những khái niệm cơ bản
- Nhóm
- Nhóm các tự đẳng cấu
- Nhóm hữu hạn
- Nhóm Abel
- Nhóm Lie
- Nhóm lũy linh
- Toán học tổ hợp
👁️
179 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚
nhỏ|[[Đồ thị Cayley của nhóm tự do có hai phần tử sinh. Đây là nhóm hyperbol có biên Gromov là tập Cantor. Tương tự với đồ thị Cayley, nhóm hyperbol và biên của nó là
Trong toán học và đại số trừu tượng, **lý thuyết nhóm** nghiên cứu về cấu trúc đại số như nhóm. **Nhóm** là lý thuyết trung tâm của đại số trừu tượng, những cấu trúc đại
Trong toán học, **lý thuyết nhóm tổ hợp** nghiên cứu các nhóm tự do, và khái niệm của biểu diễn của nhóm bằng các phần tử sinh và các quan hệ. Nó được sử dụng
Trong lý thuyết nhóm, **định lý Lagrange** phát biểu rằng: nếu _H_ là nhóm con của nhóm hữu hạn _G_, thì cấp (số phần tử) của _G_ chia hết cho cấp của _H_. Định lý
Trong lý thuyết nhóm, thuật ngữ **cấp** (tiếng Anh: _order_) có hai ý nghĩa, cả hai ý nghĩa này đều liên hệ mật thiết với nhau: * cấp của một nhóm _G_ chính là số
**Định lý Cauchy** là một định lý trong lý thuyết nhóm được đặt tên theo tên của nhà toán học người Pháp Augustin Louis Cauchy. Định lý này phát biểu rằng nếu là một
thumb|right|Các thao tác bước xoay [[Rubik|khối lập phương Rubik tạo thành nhóm khối lập phương Rubik.]] Trong toán học, một **nhóm** (group) là một tập hợp các phần tử được trang bị một phép toán
nhỏ|Lý thuyết biểu diễn nghiên cứu cách các cấu trúc đại số "biến đổi" các đối tượng toán học. Ví dụ đơn giản nhất là cách [[Nhóm nhị diện|nhóm đối xứng của các đa giác
right|thumb|Đồ thị Cayley của [[nhóm tự do trên hai phần tử sinh _a_ và _b_]] Trong toán học, **đồ thị Cayley**, hay còn gọi là **đồ thị tô màu Cayley**, **biểu đồ Cayley**, **biểu đồ
phải|nhỏ|429x429px| [[Hendrik Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz (1853 bóng1928), sau đó nhóm Lorentz được đặt tên. ]] Trong vật lý và toán học, **nhóm Lorentz** là nhóm của tất cả các phép biến đổi Lorentz của không
Trong toán học, **số nguyên** được định nghĩa một cách thông dụng là một số có thể được viết mà không có thành phần phân số. Ví dụ: 21, 4, 0 và −2048 là các
Trong toán học, **nhóm Heisenberg** , được đặt tên theo nhà toán học Werner Heisenberg, là nhóm các ma trận tam giác trên 3 × 3 dưới dạng ::
**Christian Felix Klein** (25 tháng 4 năm 1849 – 22 tháng 6 năm 1925) là nhà toán học người Đức, được biết đến với những nghiên cứu của ông trong lý thuyết nhóm, lý thuyết
nhỏ| là nhóm , tức là [[Số học mô đun|tập các số nguyên mô đun 8 dưới phép cộng.Nhóm con chỉ chứa 0 và 4. Có bốn lớp kề của : chính , , ,
**Évariste Galois** (25 tháng 10 năm 1811, Bourg-la-Reine – 31 tháng 5 năm 1832, Paris) là nhà toán học người Pháp. Anh nổi tiếng nhất với lý thuyết Galois - lý thuyết nghiên cứu về
Trong toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực lý thuyết nhóm hữu hạn, **định lý Sylow** là một nhóm các định lý được đặt tên theo nhà toán học Na Uy Ludwig Sylow vào
**Nhóm thương** hay **nhóm nhân tử** là nhóm thu được bằng cách gộp các phần tử tương tự với nhau của nhóm lớn hơn, dùng quan hệ tương đương để bảo toàn một số cấu
phải|nhỏ|[[Évariste Galois (1811–1832)]] Trong toán học, cụ thể hơn là trong đại số trừu tượng, **lý thuyết Galois**, đặt tên theo Évariste Galois, tạo ra một liên kết giữa lý thuyết trường và lý thuyết
Trong lý thuyết nhóm, một **nhóm cyclic** (hay **nhóm xyclic**, hay **nhóm monogenous**) là một nhóm có thể được sinh ra từ một tập hợp sinh chỉ gồm một phần tử _g_, phần tử này
Trong toán học, **định lý Golod–Shafarevich** được chứng minh trong 1964 bởi Evgeny Golod và Igor Shafarevich. Định lý này là kết quả trong đại số đồng điều không giao hoán giải **bài toán tháp
**Max Wilhelm Dehn** (sinh ngày 13 tháng 11 năm 1878 – mất ngày 27 tháng 6 năm 1952) là nhà toán tọc Đức nổi tiếng bởi các công trình trong hình học. tô pô và
Trong lý thuyết nhóm, một nhánh toán học, **lý luận Frattini** là bổ đề quan trọng trong lý thuyết cấu trúc của các nhóm hữu hạn. Lý luận này được đặt tên theo Giovanni Frattini,
Trong lý thuyết nhóm, một tập con của một nhóm có thể là một nhóm hoặc không. Trong trường hợp nó là một nhóm, nó được gọi là **nhóm con** của G. ## Định nghĩa
**Arthur Cayley** (; sinh ngày 16 tháng 8 năm 1821 – mất ngày 26 tháng 1 năm 1895) là nhà toán học Anh làm việc chủ yếu với đại số. Ông giúp thành lập ra
Trong toán học, **nhóm giao hoán**, còn được gọi là **nhóm Abel**, là nhóm mà việc áp dụng phép toán hai ngôi cho hai phần tử trong nhóm không phụ thuộc vào thứ tự của
Trong đại số trừu tượng, **đẳng cấu nhóm** là hàm thiết lập quan hệ tương ứng một-một giữa hai nhóm trong đó vẫn bảo toàn được phép toán nhóm. Nếu tồn tại đẳng cấu giữa
thumb|[[Biểu đồ Hasse cho mạng các nhóm con của nhóm nhị diện Dih4. Hàng thứ hai là các nhóm tối đại; giao của các nhóm đó (**Nhóm con Frattini**) là phần tử tâm tại hàng
thumb|[[Nhóm nhị diện cấp 8 yêu cầu hai phần tử sinh, được minh họa trong biểu đồ trên]] Trong đại số, các **nhóm hữu hạn sinh** là các nhóm _G_ có tập sinh hữu hạn
phải|nhỏ|300x300px| Biểu diễn của một [[Nhóm (toán học)|nhóm "hành động" trên một đối tượng. Các ví dụ đơn giản nhất là cách các đối xứng của một đa giác thông thường, bao gồm các phép
Trong lý thuyết nhóm thuộc đại số trừu tượng, **nhóm Quỷ** M (còn gọi là **quỷ Fischer–Griess** hay **người khổng lồ dễ gần**) là nhóm sporadic đơn giản lớn nhất, với cấp: 2463205976112133171923293141475971 = 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000 ≈
Trong toán học, đặc biệt là trong lý thuyết nhóm, **chỉ số** của nhóm con _H_ trong _G_ là số lớp kề trái của _H_ trong _G_, hoặc tương đương là số lớp kề phải
phải|nhỏ| Cho một [[tam giác đều , phép quay ngược chiều kim đồng hồ một góc 120° quanh tâm của tam giác sẽ ánh xạ mọi đỉnh của tam giác với một đỉnh khác. Nhóm
phải|Sophus Lie **Marius Sophus Lie** (17 tháng 12 năm 1842 - 18 tháng 2 năm 1899) là một nhà toán học người Na Uy. Ông là người tạo ra lý thuyết của các đối xứng
Trong toán học, một **nhóm abel hữu hạn sinh** là một nhóm abel có một tập sinh hữu hạn. Nói cách khác, nó là một **Z-**mô-đun hữu hạn sinh. ## Định lý cấu trúc -
Trong toán học, cụ thể là lý thuyết nhóm, **tích tự do** là một kiến tạo từ hai nhóm và , cho kết quả là một nhóm mới (xem xây dựng ở
**Bổ đề Burnside**, còn được gọi là **định lý đếm của Burnside**, **bổ đề Cauchy-Frobenius** hay **định lý đếm số quỹ đạo**, là một kết quả trong lý thuyết nhóm thường dùng tính đối xứng
**Giovanni Frattini** (Sinh ngày 8 tháng 1 năm 1852 – mất ngày 21 tháng 7 năm 1925) là nhà toán học Ý, được biết đến bởi các cống hiến cho lý thuyết nhóm. ## Tiểu
Trong toán học, **giao hoán tử** là một đối tượng toán học thể hiện tính chất của một phép toán hai ngôi có giao hoán hay không. ## Lý thuyết nhóm Trong lý thuyết nhóm,
phải|nhỏ|408x408px|Một [[tứ diện là bất biến trong 12 phép quay khác nhau, bỏ qua các phép đối xứng lật. Các phép đối xứng đó được mô tả ở đây theo dạng hình tròn, cùng với
Trong toán học, **nhóm nhân các số nguyên modulo _n**_ là một nhóm với phép nhân là phép toán nhóm và các phần tử là các đơn vị đơn vị trong một vành : với
Trong đại số trừu tượng, **tâm** của một nhóm là tập hợp các phần tử giao hoán với mọi phần tử của . Nó được ký hiệu là , từ tiếng Đức _Zentrum,_ có nghĩa
Trong toán học, đặc biệt là lý thuyết nhóm, các phần tử của một nhóm có thể được phân hoạch thành các **lớp liên hợp**; các phần tử của cùng một lớp liên hợp có
_Monoid_ cùng với magma (toán học), nhóm, nửa nhóm là các cấu trúc đại số cơ bản và nhỏ hơn các cấu trúc vành, trường. So với nhóm, nó bỏ đi tiên đề về sự
Trong đại số trừu tượng, **định lý cơ bản về nhóm cyclic** khẳng định rằng nếu _G_ là một nhóm cyclic cấp _n_ thì mọi nhóm con của _G_ cũng là cyclic. Hơn nữa, cấp
**Jacques Tits** () (sinh ngày 12 tháng 8 năm 1930 - mất ngày 5 tháng 12 năm 2021) là một nhà toán học người Pháp gốc Bỉ, nghiên cứu về lý thuyết nhóm và hình
Trong đại số, **nhóm con chuẩn tắc** (hay còn gọi là **nhóm con bất biến** hoặc **nhóm con tự liên hợp**) là nhóm con bất biến dưới mọi tác động liên hợp. Nói cách khác, nhóm con của
Trong toán học, và cụ thể là trong lý thuyết nhóm, một **p-nhóm Prüfer** là bất kỳ nhóm nào đẳng cấu với nhóm nhân :
Trong đại số trừu tượng, một **chuỗi hợp thành** (hay còn gọi là **dãy hợp thành**) cung cấp một cách để phá vỡ cấu trúc đại số, chẳng hạn như một nhóm hoặc một mô-đun,
Trong toán học, **phân loại nhóm đơn hữu hạn** là một định lý cho biết mọi nhóm đơn hữu hạn đều: hoặc là nhóm xiclic, hoặc là nhóm thay phiên, hoặc là một trong số
**Richard Ewen Borcherds** (sinh 29 tháng 11 năm 1959) là một nhà toán học người Anh nghiên cứu về lý thuyết dàn, lý thuyết số, lý thuyết nhóm và đại số số chiều vô hạn.