Trong toán học và đại số trừu tượng, lý thuyết nhóm nghiên cứu về cấu trúc đại số như nhóm. Nhóm là lý thuyết trung tâm của đại số trừu tượng, những cấu trúc đại số chính khác như vành, trường và không gian vector có thể được xét như các nhóm với các tính chất và tiên đề bổ sung. Nhóm được ứng dụng hầu khắp các nhánh của toán học, và ứng dụng của lý thuyết nhóm có ảnh hưởng đến nhiều khía cạnh của đại số. Các nhóm đại số tuyến tính và các nhóm Lie, là hai nhánh của lý thuyết nhóm, đã được nghiên cứu chuyên sâu và trở thành những chủ đề chính của lý thuyết này.
Nhiều hệ thống vật lý, như tinh thể và nguyên tử hydro, có thể được mô hình hóa dưới dạng các nhóm đối xứng.Vì vậy, lý thuyết nhóm và lý thuyết đại diện - lý thuyết có liên hệ mật thiết với lý thuyết nhóm - có nhiều ứng dụng quan trọng trong vật lý, hóa học và khoa học vật liệu. Lý thuyết nhóm cũng là trọng tâm cho lý thuyết mã hóa công khai.
Một trong những thành tựu quan trọng nhất của Toán học thế kỷ XX đó là nỗ lực hợp tác đem lại hơn 10.000 trang báo cáo được phát hành từ năm 1960 đến 1980 với kết quả phân loại hoành chỉnh cho các nhóm đơn hữu hạn.
Lý thuyết nhóm là một nhánh cơ bản của đại số nghiên cứu các tính chất của nhóm - một hệ thống đại số cơ bản.
Phân loại
Số loại nhóm đã dần dần mở rộng từ nhóm hoán vị hữu hạn cho tới nhóm ma trận.
Nhóm hoán vị
Lớp nhóm đầu tiên chúng ta được biết tới là nhóm hoán vị. Cho trước một tập X và tập hợp G các song tuyến của X cho chính nó (hoán vị) đóng dưới các phép nghịch đảo và kết hợp, G là nhóm tác động lên X. Nếu X bao gồm n phần tử và G bao gồm tất cả các hoán vị, G là nhóm đối xứng Sn, một cách tổng quát, Mọi nhóm hoán vị G là tập con của nhóm đối xứng của X.
Trong nhiều trường hợp, cấu trúc của một nhóm hoán vị có thể được nghiên cứu bằng cách sử dụng các tính chất của các tác dụng của chúng lên những tập tương ứng.
Nhóm ma trận
Lớp nhóm quan trọng tiếp theo của lý thuyết nhóm chính là nhóm ma trận. Trong đó G là một tập bao gồm các ma trận khả nghịch với bậc n cho trước qua một trường K là đóng dưới phép nhân vô hướng và nghịch đảo. Những nhóm tác dụng lên một không gian vector n chiều Kn bằng một biến đổi tuyến tính. Tác dụng này làm nhóm ma trận giống như nhóm hoán vị, và sự đối xứng của tác động có thể khai thác để tìm hiểu các tính chất của nhóm G.
Nhóm biến đổi
Nhóm giao hoán và nhóm ma trận là các trường hợp đặc biệt của nhóm biến đổi: Một nhóm tác động lên không gian X cụ thể và bảo toàn câu trúc vốn có của nó. Trong trường hợp của nhóm hoán vị, X là tập của nhóm ma trận, đối với nhóm ma trận, X là không gian vector. Mô hình của một nhóm biến đổi rất gần với nhóm đối xứng: một biến đổi bao gồm tất các các biến đổi bảo toàn các cấu trúc cụ thể.
Lý thuyết của nhóm biến đổi là cây cầu liên kết lý thuyết nhóm với hình học giải tích.
Nhóm trừu tượng
Phần lớn các nhóm ở giai đoạn đầu của lý thuyết nhóm là "đặc", được nhận ra thông qua các con số, hoán vị, ma trận. Trước thể kỉ 19, ý tưởng của một nhóm trừu tượng như là một tập cùng với các toán tử thỏa mản một số hệ thống tiêu đề bắt đầu được nảy sinh. Một cách phổ biến để xác định một nhóm trừu tượng là thông qua phép biểu diễn bằng generator và relations,
Lịch sử lý
Trong khoảng một thế kỉ, rất nhiều nhà toán học đã gặp khó khăn khi nghiên cứu các bài toán đại số trước khi lý thuyết nhóm ra đời. Bắt đầu từ Joseph Louis Lagrange sử dụng nhóm hoán vị để tìm nghiệm đa thức (1771), sau đó trong các bài báo, nghiên cứu về phương trình đại số của Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss, Niels Henrik Abel (1824) và Evariste Galois (1830), những thuật ngữ trong lý thuyết nhóm đã xuất hiện. Ngoài ra, lý thuyết nhóm cũng được hình thành từ hình học vào khoảng giữa thế kỉ XIX từ lý thuyết số.
Vào khoảng cuối thế kỉ XIX, lý thuyết nhóm trở thành một nhánh độc lập của đại số (những người có công trong lĩnh vực này phải kể đến là Ferdinand Georg Frobenius, Leopold Kronecker, Emile Mathieu,...). Nhiều khái niệm của đại số đã được xây dựng lại từ khái niệm nhóm và đã có nhiều kết quả mới đóng góp cho sự phát triển của ngành toán học quan trọng này.
Hiện nay lý thuyết nhóm là một phần phát triển nhất trong đại số và có nhiều ứng dụng trong topo học, lý thuyết hàm, mật mã học, cơ học lượng tử và nhiều ngành khoa học cơ bản khác.
Bài toán cơ bản của lý thuyết nhóm là miêu tả tất cả hệ thống nhóm với sự chính xác đến một đẳng cấu, và nghiên cứu các phép biến đổi trên các nhóm. Trên thực tế, việc viết hết các hệ thống nhóm là không thể, chính vì thế mà lý thuyết nhóm vẫn đang được tiếp tục nghiên cứu.
Những khái niệm cơ bản
- Nhóm
- Nhóm các tự đẳng cấu
- Nhóm hữu hạn
- Nhóm Abel
- Nhóm Lie
- Nhóm lũy linh
- Toán học tổ hợp
👁️
0 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚
nhỏ|[[Đồ thị Cayley của nhóm tự do có hai phần tử sinh. Đây là nhóm hyperbol có biên Gromov là tập Cantor. Tương tự với đồ thị Cayley, nhóm hyperbol và biên của nó là
Trong toán học và đại số trừu tượng, **lý thuyết nhóm** nghiên cứu về cấu trúc đại số như nhóm. **Nhóm** là lý thuyết trung tâm của đại số trừu tượng, những cấu trúc đại
Trong toán học, **lý thuyết nhóm tổ hợp** nghiên cứu các nhóm tự do, và khái niệm của biểu diễn của nhóm bằng các phần tử sinh và các quan hệ. Nó được sử dụng
Trong lý thuyết nhóm, **định lý Lagrange** phát biểu rằng: nếu _H_ là nhóm con của nhóm hữu hạn _G_, thì cấp (số phần tử) của _G_ chia hết cho cấp của _H_. Định lý
Trong lý thuyết nhóm, thuật ngữ **cấp** (tiếng Anh: _order_) có hai ý nghĩa, cả hai ý nghĩa này đều liên hệ mật thiết với nhau: * cấp của một nhóm _G_ chính là số
**Định lý Cauchy** là một định lý trong lý thuyết nhóm được đặt tên theo tên của nhà toán học người Pháp Augustin Louis Cauchy. Định lý này phát biểu rằng nếu là một
nhỏ|Lý thuyết biểu diễn nghiên cứu cách các cấu trúc đại số "biến đổi" các đối tượng toán học. Ví dụ đơn giản nhất là cách [[Nhóm nhị diện|nhóm đối xứng của các đa giác
phải|nhỏ|[[Évariste Galois (1811–1832)]] Trong toán học, cụ thể hơn là trong đại số trừu tượng, **lý thuyết Galois**, đặt tên theo Évariste Galois, tạo ra một liên kết giữa lý thuyết trường và lý thuyết
Trong vật lý lý thuyết, **Lý thuyết trường lượng tử** (tiếng Anh: **quantum field theory**, thường viết tắt QFT) là một khuôn khổ lý thuyết để xây dựng các mô hình cơ học lượng tử
thumb|right|Các thao tác bước xoay [[Rubik|khối lập phương Rubik tạo thành nhóm khối lập phương Rubik.]] Trong toán học, một **nhóm** (group) là một tập hợp các phần tử được trang bị một phép toán
**Lý thuyết dòng chảy hai bước trong truyền thông** chỉ ra rằng hầu hết mọi người hình thành quan điểm của họ dưới sự ảnh hưởng của những người dẫn dắt ý kiến (opinion leaders).
**Lý thuyết quyền biến** (tiếng Anh: _Contingency theory_) là một lý thuyết về tổ chức tuyên bố rằng không có cách tốt nhất để tổ chức, lãnh đạo một công ty hoặc đưa ra quyết
**Lý thuyết chiếc thìa và tầng lớp** () là một khái niệm xã hội cho rằng mỗi cá nhân trong xã hội có thể được phân loại thành các tầng lớp kinh tế–xã hội khác
**Nhóm thương** hay **nhóm nhân tử** là nhóm thu được bằng cách gộp các phần tử tương tự với nhau của nhóm lớn hơn, dùng quan hệ tương đương để bảo toàn một số cấu
Trong toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực lý thuyết nhóm hữu hạn, **định lý Sylow** là một nhóm các định lý được đặt tên theo nhà toán học Na Uy Ludwig Sylow vào
Trong hình học đại số và vật lý lý thuyết, **đối xứng gương** là mối quan hệ giữa các vật thể hình học được gọi là những đa tạp Calabi-Yau. Các đa tạp này có
**Lý thuyết dây** là một thuyết hấp dẫn lượng tử, được xây dựng với mục đích thống nhất tất cả các hạt cơ bản cùng các lực cơ bản của tự nhiên, ngay cả lực
**Lý thuyết trò chơi**, hoặc gọi **đối sách luận**, **lí luận ván cờ**, là một phân nhánh mới của toán học hiện đại, cũng là một môn học trọng yếu của vận trù học, tác
Trong lý thuyết nhóm, một **nhóm cyclic** (hay **nhóm xyclic**, hay **nhóm monogenous**) là một nhóm có thể được sinh ra từ một tập hợp sinh chỉ gồm một phần tử _g_, phần tử này
Trong toán học, **định lý Golod–Shafarevich** được chứng minh trong 1964 bởi Evgeny Golod và Igor Shafarevich. Định lý này là kết quả trong đại số đồng điều không giao hoán giải **bài toán tháp
**Lý thuyết về ràng buộc** (TOC) là một mô hình quản lý mà quan sát bất kỳ hệ thống quản lý nào bị giới hạn trong việc đạt được nhiều mục tiêu hơn bởi một
thumb|**[[Phép tính lambda** là một hệ thống hình thức để định nghĩa hàm, ứng dụng hàm và đệ quy được Alonzo Church đề xuất vào những năm 193x.]] **Lý thuyết ngôn ngữ lập trình** (thường
Trong lý thuyết nhóm, một nhánh toán học, **lý luận Frattini** là bổ đề quan trọng trong lý thuyết cấu trúc của các nhóm hữu hạn. Lý luận này được đặt tên theo Giovanni Frattini,
Trong lý thuyết nhóm, một tập con của một nhóm có thể là một nhóm hoặc không. Trong trường hợp nó là một nhóm, nó được gọi là **nhóm con** của G. ## Định nghĩa
**Tin học lý thuyết** là tập hợp các chủ đề của khoa học máy tính tập trung vào các khía cạnh toán học trừu tượng của tính toán, chẳng hạn như lý thuyết tính toán
Trong Mác-xít, **lý thuyết giai cấp của Marx** khẳng định rằng vị trí của một cá nhân trong một hệ thống phân chia giai cấp được xác định bởi vai trò của cá nhân đó
phải|nhỏ|300x300px| Biểu diễn của một [[Nhóm (toán học)|nhóm "hành động" trên một đối tượng. Các ví dụ đơn giản nhất là cách các đối xứng của một đa giác thông thường, bao gồm các phép
**Lý thuyết số** là một ngành của toán học lý thuyết nghiên cứu về tính chất của số nói chung và số nguyên nói riêng, cũng như những lớp rộng hơn các bài toán mà
thumb|[[Biểu đồ Hasse cho mạng các nhóm con của nhóm nhị diện Dih4. Hàng thứ hai là các nhóm tối đại; giao của các nhóm đó (**Nhóm con Frattini**) là phần tử tâm tại hàng
thumb|[[Nhóm nhị diện cấp 8 yêu cầu hai phần tử sinh, được minh họa trong biểu đồ trên]] Trong đại số, các **nhóm hữu hạn sinh** là các nhóm _G_ có tập sinh hữu hạn
Trong đại số trừu tượng, **đẳng cấu nhóm** là hàm thiết lập quan hệ tương ứng một-một giữa hai nhóm trong đó vẫn bảo toàn được phép toán nhóm. Nếu tồn tại đẳng cấu giữa
thumb|right|Một [[sơ đồ Venn mô phỏng phép giao của hai tập hợp.]] **Lý thuyết tập hợp** (tiếng Anh: _set theory_) là ngành toán học nghiên cứu về tập hợp. Mặc dù bất kỳ đối tượng
thumb|Lý thuyết về dự định hành vi **Lý thuyết hành vi có kế hoạch hay lý thuyết hành vi hoạch định** (Tiếng Anh: **The Theory of Planning Behaviour**) là một lý thuyết thể hiện mối
**Cú hích** là một khái niệm trong khoa học hành vi, lý thuyết chính trị và kinh tế học hành vi, lý thuyết này chỉ ra rằng hoạt động củng cố tích cực và đề
nhỏ|Các vectơ mật độ dòng điện xác suất cảm ứng từ tính được tính toán bằng phương pháp lượng tử trong benzen. **Hóa học lý thuyết** là một nhánh của hóa học trong đó phát
Trong toán học, đặc biệt là trong lý thuyết nhóm, **chỉ số** của nhóm con _H_ trong _G_ là số lớp kề trái của _H_ trong _G_, hoặc tương đương là số lớp kề phải
Trong lý thuyết nhóm thuộc đại số trừu tượng, **nhóm Quỷ** M (còn gọi là **quỷ Fischer–Griess** hay **người khổng lồ dễ gần**) là nhóm sporadic đơn giản lớn nhất, với cấp: 2463205976112133171923293141475971 = 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000 ≈
**Lý thuyết dòng chảy đa bước trong truyền thông** chỉ ra rằng thông tin từ phương tiện truyền thông đại chúng đến những người dẫn dắt ý kiến trước đến cộng đồng và dòng chảy
Trong lý thuyết tập hợp và các ứng dụng của nó quanh toán học, **lớp** là họ của các tập (và đôi khi trên cả các đối tượng toán học khác) và được định nghĩa
**Lý thuyết thứ tự** là một nhánh trong toán học nghiên cứu thuật ngữ thứ tự bằng cách sử dụng các quan hệ hai ngôi. Nó cho một khung hình thức để có thể mô
phải|nhỏ| Cho một [[tam giác đều , phép quay ngược chiều kim đồng hồ một góc 120° quanh tâm của tam giác sẽ ánh xạ mọi đỉnh của tam giác với một đỉnh khác. Nhóm
phải|nhỏ|200x200px| Giản đồ biểu diễn một phạm trù với các đối tượng _X_, _Y_, _Z_ và các cấu xạ _f_, _g_, _g_ ∘ _f_. (Ba cấu xạ đồng nhất 1 _X_, 1 _Y_ và 1
phải|nhỏ|408x408px|Một [[tứ diện là bất biến trong 12 phép quay khác nhau, bỏ qua các phép đối xứng lật. Các phép đối xứng đó được mô tả ở đây theo dạng hình tròn, cùng với
**Lý thuyết số đại số** là một nhánh của lý thuyết số sử dụng các kỹ thuật của đại số trừu tượng để nghiên cứu các số nguyên, các số hữu tỷ và các tổng
Trong đại số trừu tượng, **tâm** của một nhóm là tập hợp các phần tử giao hoán với mọi phần tử của . Nó được ký hiệu là , từ tiếng Đức _Zentrum,_ có nghĩa
nhỏ|Bìa cuốn sách _Homotopy Type Theory: nền tảng thống nhất của toán học_. Trong logic toán và khoa học máy tính, **lý thuyết hình thái đồng luân** (tiếng Anh: **homotopy type theory**, **HoTT** ) đề
**Trường phái Anh trong lý thuyết quan hệ quốc tế** (còn gọi là chủ nghĩa hiện thực tự do (liberal realism)) là một trường phái tư tưởng trong quan hệ quốc tế, đại diện cho
Trong đại số, **lý thuyết vành** là các nghiên cứu về vành—các cấu trúc đại số trong đó phép cộng và phép nhân được định nghĩa và có các thuộc tính tương tự như các
Trong toán học, và cụ thể là trong lý thuyết nhóm, một **p-nhóm Prüfer** là bất kỳ nhóm nào đẳng cấu với nhóm nhân :
Trong lý thuyết trò chơi, **cách giải** được định nghĩa là một nguyên tắc chính thống, dùng để dự đoán trò chơi sẽ diễn ra như thế nào. Những dự đoán này được gọi là