phải|nhỏ|200x200px| Giản đồ biểu diễn một phạm trù với các đối tượng X, Y, Z và các cấu xạ f, g, g ∘ f. (Ba cấu xạ đồng nhất 1 X, 1 Y và 1 Z, nếu được trình bày rõ ràng, sẽ xuất hiện dưới dạng ba mũi tên vòng tròn, từ các chữ X, Y và Z tương ứng.)
Lý thuyết phạm trù mô hình hóa các cấu trúc toán học và các khái niệm tương ứng theo các giản đồ được định hướng có nhãn gọi là một phạm trù, có các nút được gọi là các đối tượng (hay vật) và các cạnh được gọi là mũi tên (hoặc cấu xạ). Một phạm trù có hai thuộc tính cơ bản: phép hợp các cấu xạ có tính kết hợp và sự tồn tại của cấu xạ đồng nhất cho mỗi đối tượng. Ngôn ngữ của lý thuyết phạm trù đã được sử dụng để mô tả các khái niệm trừu tượng như tập hợp, vành và nhóm. Một cách không chính thức, lý thuyết phạm trù mô tả các ánh xạ (mỗi cấu xạ thường được hiểu như một ánh xạ giữa hai vật thể).
Một số thuật ngữ được sử dụng trong lý thuyết phạm trù, bao gồm thuật ngữ "cấu xạ", được sử dụng khác với cách sử dụng của chúng trong phần còn lại của toán học. Trong lý thuyết phạm trù, các cấu xạ tuân theo các điều kiện cụ thể đối với chính lý thuyết phạm trù.
Samuel Eilenberg và Saunders Mac Lane giới thiệu các khái niệm về phạm trù, hàm tử, và phép biến đổi tự nhiên trong nghiên cứu của họ về tô-pô đại số thời gian từ 1942-1945, với mục tiêu tìm hiểu các quá trình bảo toàn cấu trúc toán học.
Lý thuyết phạm trù có các ứng dụng thực tế trong lý thuyết ngôn ngữ lập trình, ví dụ việc sử dụng các đơn nguyên trong lập trình chức năng. Nó cũng có thể được sử dụng như một nền tảng tiên đề cho toán học, như là một thay thế cho lý thuyết tập hợp và các nền tảng đề xuất khác.
Các khái niệm cơ bản
Phạm trù là một sự trừu tượng hóa các khái niệm toán học khác. Nhiều lĩnh vực toán học có thể được chính thức hóa bằng lý thuyết phạm trù như là các phạm trù. Do đó lý thuyết phạm trù sử dụng sự trừu tượng để phát biểu và chứng minh nhiều kết quả toán học phức tạp và tinh tế trong các lĩnh vực này một cách đơn giản hơn nhiều.
Một ví dụ cơ bản của một phạm trù là phạm trù các tập hợp, trong đó các đối tượng là các tập hợp và các cấu xạ là các hàm từ tập hợp này sang tập hợp khác. Tuy nhiên, các đối tượng của một phạm trù không nhất thiết phải là các tập hợp và các cấu xạ cũng không nhất thiết phải là các hàm. Bất kỳ cách nào để hình thức hóa một khái niệm toán học sao cho nó đáp ứng các điều kiện cơ bản về hành vi của các đối tượng và cấu xạ đều là một phạm trù hợp lệ và tất cả các kết quả của lý thuyết phạm trù đều áp dụng cho nó.
"Cấu xạ" của lý thuyết phạm trù thường được cho là đại diện cho một quá trình kết nối hai đối tượng, hoặc trong nhiều trường hợp, một phép biến đổi "bảo toàn cấu trúc" kết nối hai đối tượng. Tuy nhiên, có nhiều ứng dụng trong đó các khái niệm trừu tượng hơn nhiều được đại diện bởi các đối tượng và cấu xạ. Thuộc tính quan trọng nhất của các cấu xạ là chúng có thể được "kết hợp", nói cách khác, được sắp xếp theo thứ tự để tạo thành một cấu xạ mới.
👁️
1 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚
phải|nhỏ|200x200px| Giản đồ biểu diễn một phạm trù với các đối tượng _X_, _Y_, _Z_ và các cấu xạ _f_, _g_, _g_ ∘ _f_. (Ba cấu xạ đồng nhất 1 _X_, 1 _Y_ và 1
**Phạm trù** là một trong những phương tiện nhận thức thế giới dùng trong nghiên cứu khoa học, đặc biệt là khoa học xã hội. Khái niệm phạm trù được xuất hiện trong quá trình
Trong lý thuyết tập hợp và các ứng dụng của nó quanh toán học, **lớp** là họ của các tập (và đôi khi trên cả các đối tượng toán học khác) và được định nghĩa
Trong toán học, một **phạm** **trù cụ thể** là một phạm trù được trang bị một hàm tử chung thủy đến phạm trù các tập hợp (hoặc đôi khi đến một phạm trù khác, trong
:_Bài này chỉ viết về các định nghĩa cơ bản. Để hiểu rộng hơn, xin xem lý thuyết đồ thị. Về ý nghĩa biểu diễn hàm số trên hệ tọa độ, xem đồ thị hàm
Trong toán học, **phạm trù đơn hình** là phạm trù các thứ tự không rỗng hữu hạn với ánh xạ bảo toàn thứ tự. Nó được sử dụng đề xác định các vật đơn hình
Trong toán học, **phạm trù các đa tạp,** thường ký hiệu là **Man**_p,_ ("manifold" là từ tiếng Anh cho "đa tạp") là phạm trù mà đối tượng là đa tạp trơn _C__p_ và cấu xạ
Trong toán học, logic và khoa học máy tính, một **lý thuyết hình thái** hoặc một **hệ hình thái** là một hệ thống hình thức trong đó mọi **đối tượng** đều có một **hình thái**
Trong toán học, phạm trù **Rel** (viết tắt của "relation", từ tiếng Anh cho "quan hệ") có đối tượng là các tập hợp và cấu xạ là các quan hệ hai ngôi. Một cấu xạ
**Lý thuyết dây** là một thuyết hấp dẫn lượng tử, được xây dựng với mục đích thống nhất tất cả các hạt cơ bản cùng các lực cơ bản của tự nhiên, ngay cả lực
nhỏ|Lý thuyết biểu diễn nghiên cứu cách các cấu trúc đại số "biến đổi" các đối tượng toán học. Ví dụ đơn giản nhất là cách [[Nhóm nhị diện|nhóm đối xứng của các đa giác
Trong hình học đại số và vật lý lý thuyết, **đối xứng gương** là mối quan hệ giữa các vật thể hình học được gọi là những đa tạp Calabi-Yau. Các đa tạp này có
nhỏ|Bìa cuốn sách _Homotopy Type Theory: nền tảng thống nhất của toán học_. Trong logic toán và khoa học máy tính, **lý thuyết hình thái đồng luân** (tiếng Anh: **homotopy type theory**, **HoTT** ) đề
**Lý thuyết mã hóa** là nghiên cứu về các đặc tính của mã và khả năng thích ứng với các ứng dụng cụ thể của chúng. Mã được sử dụng cho nén dữ liệu, mật
Trong toán học, và đặc biệt là trong lý thuyết phạm trù, **phép đẳng cấu** (từ tiếng Hy Lạp cổ đại: ἴσος _isos_ "bằng", và μορφή _morphe_ "hình") là một phép đồng cấu (hoặc tổng
**Lý thuyết về ràng buộc** (TOC) là một mô hình quản lý mà quan sát bất kỳ hệ thống quản lý nào bị giới hạn trong việc đạt được nhiều mục tiêu hơn bởi một
[[Hàm Weierstrass, một loại hình phân dạng mô tả một chuyển động hỗn loạn]] phải||Quỹ đạo của hệ Lorenz cho các giá trị _r_ = 28, σ = 10, _b_ = 8/3 **Thuyết hỗn loạn**
**Lý thuyết thông tin** là một nhánh của toán học ứng dụng và kĩ thuật điện nghiên cứu về đo đạc lượng thông tin. Lý thuyết thông tin được xây dựng bởi Claude E. Shannon
Khái niệm của vòng phản hồi dùng để điều khiển hành vi động lực của hệ thống: đây là phản hồi âm, vì giá trị cảm biến (sensor) bị trừ đi từ giá trị mong
**Lý thuyết trò chơi**, hoặc gọi **đối sách luận**, **lí luận ván cờ**, là một phân nhánh mới của toán học hiện đại, cũng là một môn học trọng yếu của vận trù học, tác
Lưu ý: Danh sách **thuật ngữ lý thuyết đồ thị** này chỉ là điểm khởi đầu cho những người mới nhập môn làm quen với một số thuật ngữ và khái niệm cơ bản. Bài
Trong tội phạm học, **lý thuyết kiểm soát xã hội** đề xuất rằng việc khai thác quá trình xã hội hóa và học tập xã hội sẽ xây dựng sự tự kiểm soát và làm
**Lý thuyết văn hóa đa chiều của Hofstede**, đề ra bởi nhà nhân chủng học người Hà Lan- Geert Hofstede, được coi là khuôn khổ cho sự giao tiếp đa quốc gia. Bằng việc phân
Trong toán giải tích, **định lý Fubini**, được giới thiệu bởi Guido Fubini (1907), là một kết quả xác định các điều kiện mà theo đó người ta có thể tính toán một tích phân
**Vũ trụ** bao gồm tất cả các vật chất, năng lượng và không gian hiện có, được xem là một khối bao quát. Vũ trụ hiện tại chưa xác định được kích thước chính xác,
thumb|right|Các thao tác bước xoay [[Rubik|khối lập phương Rubik tạo thành nhóm khối lập phương Rubik.]] Trong toán học, một **nhóm** (group) là một tập hợp các phần tử được trang bị một phép toán
[[Phương trình nổi tiếng của Einstein dựng tại Berlin năm 2006.]] **Thuyết tương đối** miêu tả cấu trúc của không gian và thời gian trong một thực thể thống nhất là không thời gian cũng
nhỏ|Sư phạm phê phán **Sư phạm phê phán** là một phương pháp giảng dạy nhằm giúp người học đặt câu hỏi đối với và thách thức lại sự thống trị, và những niềm tin và
thumb|Hình minh họa tiên đề chọn, với mỗi và lần lượt biểu diễn một bình và một viên bi thumb| là một [[họ chỉ số vô hạn các tập hợp với tập chỉ số là
Trong toán học, **thứ tự toàn phần** hay **thứ tự tuyến tính** là thứ tự riêng phần mà mọi hai phần tử đều so sánh được với nhau. Nghĩa là, nó là quan hệ hai
**Thuyết tương đối ngôn ngữ** (), hay **giả thuyết Sapir-Whorf**, cho rằng cấu trúc ngôn ngữ ảnh hưởng đến tư duy và khả năng nhận biết thế giới xung quanh. Đó là, ngôn ngữ quyết
thumb|[[Sơ đồ Hasse của tiền thứ tự _x R y_ định nghĩa bởi _x_//4≤_y_//4 trên các số tự nhiên. Bởi các chu trình, _R_ không phản xứng. Nếu tất cả các số trong chu trình
nhỏ|phải|Triết gia [[Friedrich Engels|F. Engels với các tác phẩm của mình đã đặt nền tảng cho Lý luận của Chủ nghĩa Marx – Lenin về nhà nước.]] **Học thuyết về Nhà nước của Chủ nghĩa
**Các** **định lý về điểm kỳ dị Penrose–Hawking** (sau Roger Penrose và Stephen Hawking) là một tập hợp các kết quả trong thuyết tương đối rộng cố gắng trả lời câu hỏi khi nào trọng
nhỏ|200x200px| Hàm song ánh _f_: _X_ → _Y_, từ tập _X_ đến tập _Y_ chứng tỏ rằng các tập hợp có cùng số lượng, trong trường hợp này hai tập hợp đều có số đếm
right|thumb|upright=1.15|**Hình 1.** [[Hasse diagram|Biểu đố Hasse của tập hợp các tập con của tập ba phần tử dưới thứ tự là tập con của. Các tập hợp nối với nhau theo đường
Khi làm việc trên một phạm trù, một bài toán cơ bản đặt ra là phân loại các vật trong phạm trù đó. Việc phân loại này dựa trên khái niệm đẳng cấu (isomorphism) giữa
**Thuyết sử dụng và hài lòng** (TSDVHL) là lý thuyết giả định rằng con người chủ động tiếp cận phương tiện truyền thông để thỏa mãn những nhu cầu cụ thể của họ. Thuyết sử
nhỏ|[[Thiên Nhãn|Con mắt của Chúa Quan Phòng, hay con mắt toàn hảo của Đức Chúa Trời, được thấy trên tờ 1 đô la Mỹ, đã được một số người đưa ra để chứng minh về
**Thuyết hành động hợp lý (TRA)** nhằm giải thích mối quan hệ giữa thái độ và hành vi trong hành động của con người. Thuyết này được sử dụng để dự đoán cách mà các
**Chủ nghĩa tương đối** là ý tưởng cho rằng quan điểm có liên quan đến sự khác biệt trong nhận thức và xem xét của con người. Có nhiều cách hiểu khác nhau về khái
**Lý luận quan hệ quốc tế **là ngành nghiên cứu quan hệ quốc tế theo quan điểm lý thuyết hóa; ngành này nỗ lực cung cấp khung khái niệm để phân tích các mối quan
Trong Lý thuyết thông tin, **Định lý mã hóa trên kênh nhiễu** (_tiếng Anh: noisy-channel coding theorem_) đề xuất rằng, cho dù một kênh truyền thông có bị ô nhiễm bởi nhiễu âm bao nhiêu
Trong toán học, đặc biệt là trong lý thuyết tập hợp, **tập hợp lũy thừa** (hay còn gọi là **tập lũy thừa**, **tập hợp các bộ phận**, **tập các bộ phận**, **tập hợp các tập
Trong toán học, **tập có hướng** (hay **tiền thứ tự có hướng** hay **tập bị lọc** và đôi khi **tập được định hướng**) là một tập hợp khác rỗng kèm theo một quan hệ
**Nhóm thương** hay **nhóm nhân tử** là nhóm thu được bằng cách gộp các phần tử tương tự với nhau của nhóm lớn hơn, dùng quan hệ tương đương để bảo toàn một số cấu
Trong toán học, một **đơn điểm**, còn được gọi là **tập đơn vị**, (trong tiếng Anh: _singleton_) là tập hợp có chính xác một phần tử. ## Trong lý thuyết phạm trù Các cấu trúc
Trong toán học, một số hàm tử nhất định có thể được _dẫn xuất_ thành một số hàm tử mới. Phép toán này, dù khá trừu tượng, thống nhất một số kiến tạo trong toán
**Định lý năm màu** (còn gọi là _định lý bản đồ năm màu_): Mọi đồ thị phẳng (G) đều có số màu . Là một kết quả từ Lý thuyết đồ
thumb|Đồ thị của hàm đồng nhất trên trường số thực Trong toán học, **hàm đồng nhất** (), còn gọi là **quan hệ đồng nhất**, **ánh xạ đồng nhất** hay **phép biến đổi đồng nhất**, là