✨Định lý Lagrange (lý thuyết nhóm)
Trong lý thuyết nhóm, định lý Lagrange phát biểu rằng: nếu H là nhóm con của nhóm hữu hạn G, thì cấp (số phần tử) của G chia hết cho cấp của H.
Định lý này được đặt theo tên của nhà toán học người Pháp Joseph Lagrange.
Chứng minh
Trong chứng minh sử dụng khái niệm lớp bên trái của nhóm H trong G. Nhắc lại: 2 phần tử a và b của G nằm ở cùng một lớp của H trong G nếu tồn tại phần tử sao cho a = bh, ký hiệu một lớp là aH với a là một phần tử bất kì trong lớp đó, tập tất cả các lớp ký hiệu là G/H. Dễ dàng chứng minh được 2 lớp bất kỳ sẽ không giao nhau và H cũng chính là một lớp. Gọi aH và bH là 2 lớp bất kì của H trong G ta có thể định nghĩa một ánh xạ bằng cách đặt . Đây là một song ánh vì nó có nghịch đảo
Như vậy số phần tử của các lớp của H là bằng nhau và bằng cấp của H. Ký hiệu [G:H] là số các lớp của H (còn gọi là chỉ số của H)
Hệ quả
Gọi G là nhóm hữu hạn, a là một phần tử của nhóm G.
- Một hệ quả có thể thấy ngay là trong một nhóm hữu hạn bậc của một phần tử bất kỳ là ước số của cấp nhóm đó. Nếu gọi k là bậc của phần tử a trong nhóm G (k là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện ) thì |G| chia hết cho k (còn được viết là k | |G|)
- Nếu bậc của phần tử a bằng cấp của nhóm G thì G là nhóm cyclic và có phần tử sinh là a
- Nếu bậc của G là số nguyên tố thì G là nhóm cyclic
Sử dụng
- Định lý này được sử dụng để chứng minh định lý Fermat nhỏ trong lý thuyết số và định lý tổng quát của nó định lý Euler
- Ngoài ra định lý còn được dùng để kiểm tra sự tồn tại một nhóm con của một nhóm hữu hạn
Lịch sử
Lagrange không chứng minh định lý trên. Ông chỉ chứng minh mệnh đề sau: số các đa thức n biến khác nhau, nhận được bằng cách hoán đổi vị trí các biến từ một đa thức cho trước, luôn là ước số của n!. (n! = 1.2.3...n là số các hoán vị n phần tử). Sau này mệnh đề của Lagrange về số các đa thức được tổng quát trên nhóm và được phát biểu thành định lý mà ngày nay mang tên ông.
👁️ 1 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚
thumb|right|Các thao tác bước xoay [[Rubik|khối lập phương Rubik tạo thành nhóm khối lập phương Rubik.]] Trong toán học, một **nhóm** (group) là một tập hợp các phần tử được trang bị một phép toán
Trong đại số trừu tượng, **nhóm hữu hạn** là nhóm có tập của nó có hữu hạn số phần tử. Nhóm hữu hạn thường xuất hiện khi xét đối xứng của các đối tượng toán
Trong lý thuyết nhóm, **định lý Lagrange** phát biểu rằng: nếu _H_ là nhóm con của nhóm hữu hạn _G_, thì cấp (số phần tử) của _G_ chia hết cho cấp của _H_. Định lý
**Định lý Cauchy** là một định lý trong lý thuyết nhóm được đặt tên theo tên của nhà toán học người Pháp Augustin Louis Cauchy. Định lý này phát biểu rằng nếu là một
Trong toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực lý thuyết nhóm hữu hạn, **định lý Sylow** là một nhóm các định lý được đặt tên theo nhà toán học Na Uy Ludwig Sylow vào
Trong lý thuyết nhóm, thuật ngữ **cấp** (tiếng Anh: _order_) có hai ý nghĩa, cả hai ý nghĩa này đều liên hệ mật thiết với nhau: * cấp của một nhóm _G_ chính là số
Trong toán học và đại số trừu tượng, **lý thuyết nhóm** nghiên cứu về cấu trúc đại số như nhóm. **Nhóm** là lý thuyết trung tâm của đại số trừu tượng, những cấu trúc đại
Trong toán học, đặc biệt là trong lý thuyết nhóm, **chỉ số** của nhóm con _H_ trong _G_ là số lớp kề trái của _H_ trong _G_, hoặc tương đương là số lớp kề phải
**Lý thuyết số** là một ngành của toán học lý thuyết nghiên cứu về tính chất của số nói chung và số nguyên nói riêng, cũng như những lớp rộng hơn các bài toán mà
**Lý thuyết số đại số** là một nhánh của lý thuyết số sử dụng các kỹ thuật của đại số trừu tượng để nghiên cứu các số nguyên, các số hữu tỷ và các tổng
Trong hình học đại số và vật lý lý thuyết, **đối xứng gương** là mối quan hệ giữa các vật thể hình học được gọi là những đa tạp Calabi-Yau. Các đa tạp này có
Trong vật lý lý thuyết, **Lý thuyết trường lượng tử** (tiếng Anh: **quantum field theory**, thường viết tắt QFT) là một khuôn khổ lý thuyết để xây dựng các mô hình cơ học lượng tử
thumb|"Tôi nhìn xa hơn, bởi lẽ tôi đã đứng trên vai của những người khổng lồ. " – [[Isaac Newton ]] Vật lý (từ tiếng Hy Lạp cổ đại φύσις _physis_ có nghĩa "tự nhiên") là chi
Trong vật lý, **lượng tử hóa** là quá trình chuyển đổi từ một quan niệm cổ điển của hiện tượng vật lý sang một quan niệm mới hơn được biết đến trong cơ học lượng
nhỏ| là nhóm , tức là [[Số học mô đun|tập các số nguyên mô đun 8 dưới phép cộng.Nhóm con chỉ chứa 0 và 4. Có bốn lớp kề của : chính , , ,
**Évariste Galois** (25 tháng 10 năm 1811, Bourg-la-Reine – 31 tháng 5 năm 1832, Paris) là nhà toán học người Pháp. Anh nổi tiếng nhất với lý thuyết Galois - lý thuyết nghiên cứu về
thumb|right|Chiếc đồng hồ với mô đun bằng 12 Trong toán học, **số học mô đun** là một hệ thống số học dành cho số nguyên. Trong số học mô đun, các con số được viết
thumb|[[Hình thất giác đều không thể dựng được thước kẻ và compa; Điều này có thể chứng minh sử dụng trường của số dựng được.]] Trong toán học, một **trường** là một tập hợp mà
nhỏ|Phương trình liên hệ Năng lượng với khối lượng. Trong vật lý, **năng lượng** là đại lượng vật lý mà phải được **chuyển** đến một đối tượng để thực hiện một công trên, hoặc để
thế=Groups of two to twelve dots, showing that the composite numbers of dots (4, 6, 8, 9, 10, and 12) can be arranged into rectangles but the prime numbers cannot|nhỏ| Hợp số có thể được
phải|nhỏ|250x250px|Ma trận biến đổi _A_ tác động bằng việc kéo dài vectơ _x_ mà không làm đổi phương của nó, vì thế _x_ là một vectơ riêng của _A_. Trong đại số tuyến tính, một
**Gerard Kitchen O'Neill** (6 tháng 2 năm 1927 – 27 tháng 4 năm 1992) là một nhà vật lý và nhà hoạt động vũ trụ người Mỹ. Là một giảng viên của Viện Đại học
nhỏ|phải|Hình ảnh Trái Đất chụp năm 1972. Biểu đồ thời gian lịch sử Trái Đất **Lịch sử Trái Đất** trải dài khoảng 4,55 tỷ năm, từ khi Trái Đất hình thành từ Tinh vân Mặt
**Quản trị vận hành** là một lĩnh vực quản lý liên quan đến việc thiết kế và kiểm soát quá trình sản xuất và thiết kế lại hoạt động kinh doanh trong sản xuất hàng
**Mikhail Leonidovich Gromov** (; sinh ngày 23 tháng 12 năm 1943) là một nhà toán học mang hai quốc tịch Nga và Pháp, được biết đến với những đóng góp quan trọng trong hình học,
Hình ảnh mô phỏng của một đám mây bụi tiền hành tinh. **Sự hình thành và tiến hóa của Hệ Mặt Trời** bắt đầu từ cách đây khoảng 4,6 tỷ năm với sự suy sụp
Trạng thái [[ngưng tụ Bose-Einstein|đông đặc Bose-Einstein của các boson, trong trường hợp này là các nguyên tử rubidi. Hình vẽ là phân bố tốc độ của chuyển động của các nguyên tử, theo vị
nhỏ|phải|1000 giá trị đầu tiên của Trong lý thuyết số, **hàm số Euler** của một số nguyên dương _n_ được định nghĩa là số các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng _n,_ nguyên
**Trao đổi khóa Diffie–Hellman** (**D-H**) là một phương pháp trao đổi khóa được phát minh sớm nhất trong mật mã học. Phương pháp trao đổi khóa Diffie–Hellman cho phép hai bên (người, thực thể giao
**Carl Gustav Jacob Jacobi** (10 tháng 12 năm 1804 - 18 tháng 2 năm 1851) là một nhà toán học người Đức, được xem là một nhà toán học lớn của mọi thời đại. ##
**Phương trình bậc bốn** là một phương trình đơn biến có bậc cao nhất là 4. ## Tiểu sử Năm 1545 Girolamo Cardano(1501 - 1576) cho xuất bản cuốn Ars Magna, trong đó có trình
Bài này nói về từ điển các chủ đề trong toán học. ## 0-9 * -0 * 0 * 6174 ## A * AES * ARCH * ARMA * Ada Lovelace * Adrien-Marie Legendre *
thumb|[[đồ thị Cayley|Đồ thị Cayley Q8 cho thấy sáu chu trình nhân bởi , và . (Nếu ảnh được mở trong Wikimedia Commons bằng cách nhấn đúp vào nó thì các chu trình có thể
thumb|Các **điểm Troia** được đánh dấu [[điểm Lagrange|L4 và L5, màu đỏ, trên quỹ đạo của thiên thể xanh bay quanh thiên thể vàng. L4 và L5 là hai trong số 5 điểm Lagrange.]] Trong
_[[Nhà thiên văn học (Vermeer)|Nhà thiên văn_, họa phẩm của Johannes Vermeer, hiện vật bảo tàng Louvre, Paris]] **Thiên văn học** là một trong những môn khoa học ra đời sớm nhất trong lịch sử
**Sao Hải Vương** (tiếng Anh: **Neptune**), hay **Hải Vương Tinh** (chữ Hán: 海王星) là hành tinh thứ tám và xa nhất tính từ Mặt Trời trong Hệ Mặt Trời. Nó là hành tinh lớn thứ
**Gioan Phaolô II** (hay **Gioan Phaolô Đệ Nhị;** tiếng Latinh: _Ioannes Paulus II_; tên khai sinh: **Karol Józef Wojtyła,** ; 18 tháng 5 năm 1920 – 2 tháng 4 năm 2005) là vị giáo hoàng
Bài viết này là **danh sách các thuật toán** cùng một mô tả ngắn cho mỗi thuật toán. ## Thuật toán tổ hợp ### Thuật toán tổ hợp tổng quát * Thuật toán Brent: tìm
Hình chụp lỗ thủng ozon lớn nhất ở [[Nam Cực từ trước đến nay vào tháng 9 năm 2000.]] **Sự suy giảm tầng ozon** bao gồm hai sự kiện liên quan được quan sát thấy
**Gregorio Ricci-Curbastro** (; sinh ngày 12 tháng 1 năm 1853 - mất ngày 6 tháng 8 năm 1925) là một nhà toán học người Ý được sinh ra ở Lugo di Romagna. Ông được biết
thumb|right|Một đề xuất quản trị bức xạ Mặt Trời, sử dụng các bóng bay có dây nối xuống đất, để phun các [[sol khí sunfat vào tầng bình lưu Trái Đất.]] **Quản trị bức xạ
**Racing Club de Lens** (), thường được gọi là **RC Lens** hoặc đơn giản là **Lens**, là một câu lạc bộ bóng đá Pháp có trụ sở tại thành phố phía bắc của Lens ở