Trong lý thuyết nhóm, một tập con của một nhóm có thể là một nhóm hoặc không. Trong trường hợp nó là một nhóm, nó được gọi là nhóm con của G.

Định nghĩa

Cho một nhóm G với phép toán hai ngôi , và tập con H của G. H được gọi là nhóm con của G nếu chính H là một nhóm với phép toán của G.

Các điều kiện tương đương

Cho tập con H của nhóm G. Các mệnh đề sau là tương đương:

H là nhóm con của G;

Với mọi a, b $\backslash in$ H ta có $a*b\; \backslash in\; H$ và $a^\{-1\}\; \backslash in\; H$;

Với mọi a, b $\backslash in$ H ta có $a*b^\{-1\}\; \backslash in\; H$;

Các nhóm con đặc biệt

• Cho G là một nhóm với phép toán * và phần tử đơn vị 1.

  Chính G là một nhóm con của G

  Tập con gồm một phần tử đơn vị {1} của G là một nhóm con của G (gọi là nhóm con tầm thường).

  Giao của một họ bất kỳ các nhóm con của G là một nhóm con của G.

  Nếu a $\backslash in$ G thì tập H các phần tử là luỹ thừa của phần tử a

  :::H=$\backslash left\; \{a^n\; |\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; Z\; \backslash right\; \}$ :là một nhóm con của G.

Nhóm con sinh bởi một tập con

• Cho A là tập con của G. Nhóm con nhỏ nhất H của G chứa A được gọi là nhóm con sinh bởi A. Nếu H=G ta nói A là tập sinh của G.
• Nếu nhóm G sinh bởi một tập con có một phần tử {a} thì G được gọi là nhóm cyclic, phần tử a được gọi là phần tử sinh của G Các nhóm cyclic hữu hạn có nhiều ứng dụng trong lý thuyết mật mã.

Các ví dụ

• Xét tập các số nguyên $\backslash mathbb\; Z$ như một nhóm với phép cộng.

  Nhóm con sinh bởi tập hợp gồm một số nguyên k là {x.k | x $\backslash in\; \backslash mathbb\; Z$ }

  Nhóm con sinh bởi tập m số nguyên $\backslash left\; \{k\_1,k\_2,...,k\_m\; \backslash right\; \}$

  là tập $\backslash left\; \{k\_1\; \backslash cdot\; x\_1+\; k\_2\; \backslash cdot\; x\_2+...+k\_m\; \backslash cdot\; x\_m\; \backslash right\; \}$

• Xét nhóm cộng theo modulo 6 các số tự nhiên nhỏ hơn 6. : $\{\backslash mathbb\; Z\}\_6\; =\; \{0,1,2,3,4,5\}$ Ta có các nhóm con sinh bởi các phần tử 2,3 là: :$\backslash left\; \backslash langle\; \backslash ;2\backslash ;\; \backslash right\; \backslash rangle$= $\{0,\backslash ;\; 2\; \backslash ;,\; 4\; \}$ :$\backslash left\; \backslash langle\; \backslash ;3\backslash ;\; \backslash right\; \backslash rangle$= $\{0,\backslash ;\; 3\; \backslash ;\}$
• Xét tập các số tự nhiên nhỏ hơn 12 và nguyên tố với 12: ::$\{\backslash mathbb\; Z\}\_\{12\}^*$={ 1, 5, 7, 11} :với phép nhân modulo 12. Ta có bảng nhân sau:

:Ta có các nhóm con của nhóm nhân $\{\backslash mathbb\; Z\}\_\{12\}^*$ sau: # Nhóm con { 1} sinh bởi phần tử 1 # Nhóm con { 1, 5} sinh bởi phần tử 5 # Nhóm con { 1, 7} sinh bởi phần tử 7 # Nhóm con { 1, 11} sinh bởi phần tử 11 # Các nhóm con chứa nhiều hơn một phần tử khác 1 đều trùng với chính $\{\backslash mathbb\; Z\}\_\{12\}^*$

Nhóm con chuẩn tắc

Cho H là một nhóm con của G.

Ký hiệu xH là tập con của G gồm các phần tử dạng x.h trong đó x $\backslash in$ G và h $\backslash in$ H. xH được gọi là lớp trái của H.

Tương tự Ký hiệu Hx là tập con của G gồm các phần tử dạng h.x trong đó x $\backslash in$ G và h $\backslash in$ H. Hx được gọi là lớp phải của H.

Định lý

Các lớp xH, x $\backslash in$ G tạo thành một phân hoạch của tập G;

Các lớp Hx, x $\backslash in$ G tạo thành một phân hoạch của tập G;

Hx=xH với mọi x$\backslash in$G khi và chỉ khi $x^\{-1\}.h.x\; \backslash in\; H$ với mọi x$\backslash in$G và mọi h $\backslash in$ H.

Định nghĩa

Nhóm con H của G được gọi là nhóm con chuẩn tắc của G nếu Hx=xH với mọi x$\backslash in$G, hay tương đương $x^\{-1\}.h.x\; \backslash in\; H$ với mọi x$\backslash in$G và mọi h $\backslash in$ H.

Ví dụ

Mọi nhóm con của nhóm Abel đều là nhóm con chuẩn tắc.

Xét nhóm các phép thế S₃ của ba số tự nhiên dương đầu tiên 1, 2, 3. S₃ gồm 6 phép thế sau:

Ta có bảng nhân của $S\_3$

Có thể kiểm tra

Nhóm con của $S\_3$ sinh bởi $\backslash sigma\_2$ gồm e, $\backslash sigma\_2,\backslash sigma\_3$;

Nhóm con của $S\_3$ sinh bởi $\backslash sigma\_3$ gồm e, $\backslash sigma\_2,\; \backslash sigma\_3$;

Nhóm con của $S\_3$ sinh bởi $\backslash sigma\_4$ gồm e, $\backslash sigma\_4$;

Nhóm con của $S\_3$ sinh bởi $\backslash sigma\_5$ gồm e, $\backslash sigma\_5$;

Nhóm con của $S\_3$ sinh bởi $\backslash sigma\_6$ gồm e, $\backslash sigma\_6$