✨Nhóm con giao hoán tử

Trong toán học, cụ thể hơn là đại số trừu tượng, nhóm con giao hoán tử (hay nhóm dẫn xuất) của một nhóm là nhóm con sinh bởi tất cả các giao hoán tử của nhóm đó. Nhóm con giao hoán tử của một nhóm $G$ thường được ký hiệu là $[G,G]$. (nói chung, ký hiệu $[A,B]$ thường chỉ nhóm con sinh bởi tập hợp $\{(x,y)\backslash mid\; x\backslash in\; A,\; y\backslash in\; B\}$.)

Ví dụ

• Nhóm con giao hoán tử của một nhóm abel $G$ là nhóm con tầm thường, bởi mọi giao hoán tử đều bằng với phần tử đơn vị.

Abel hóa

• Nhóm thương $G/[G,G]$ là một nhóm abel. Nó được gọi là abel hóa (abelianization) của nhóm $G$, và thường được ký hiệu là $G^\{ab\}$
• Nếu $H$ là một nhóm con chuẩn tắc của $G$, nhóm thương $G/H$ là nhóm abel khi và chỉ khi $[G,G]\backslash subset\; H$. (một cách trực giác, $G/H$ "hủy" các phần tử trong $H$; nếu ta muốn nó là Abel, nó phải hủy tất cả các giao hoán tử, tức là $\{[x,y]\backslash mid\; x,y\backslash in\; G\}$ phải là một tập con của $H$, mà $H$ là một nhóm con, nên $[G,G]\backslash subset\; H$).
• Mọi đồng cấu nhóm $f:G\backslash to\; A$ từ $G$ vào một nhóm abel $A$ đều phân tách qua $G^\{ab\}$, tức là tồn tại $g:G^\{ab\}\backslash rightarrow\; A$ sao cho $g\backslash circ\backslash pi=f$, với $\backslash pi:G\backslash rightarrow\; G^\{ab\}$ là phép chiếu chuẩn tắc.

Chuỗi dẫn xuất

Chuỗi dẫn xuất của $G$ là một dãy các nhóm $D^0G,D^1G,D^2G,\; \backslash dots$ được định nghĩa bởi

• $D^0G=G$
• $D^\{n+1\}G=[D^nG,D^nG]$

Một nhóm là giải được khi và chỉ khi dãy dẫn xuất là dãy dừng tầm thường, tức là $\backslash exist\; n:D^nG=\{e\}$.

Chuỗi tâm

Chuỗi tâm dưới của $G$ là một dãy các nhóm $G\_0,G\_1,G\_2,\; \backslash dots$ được định nghĩa bởi

$G\_0=G$ $G\_\{n+1\}=[G\_n,G]$

Chuỗi tâm trên của $G$ là một dãy các nhóm $Z\_0,Z\_1,Z\_2,\; \backslash dots$ được định nghĩa bởi

• $Z\_0=\backslash \{e\backslash \}$
• $Z\_\{i+1\}=\backslash \{x\backslash in\; G|\backslash forall\; y\backslash in\; G:[x,y]\backslash in\; Z\_i\backslash \}$

Nhân hoàn hảo

• Một nhóm $G$ được gọi là hoàn hảo nếu $[G,G]=G$.
• Nhân hoàn hảo của một nhóm $G$ là nhóm con hoàn hảo tối đại của $G$. Nó tồn tại và duy nhất.
• Nhân hoàn hảo của một nhóm giải được hay của một nhóm tự do là tầm thường.