✨Định lý cơ bản của các nhóm cyclic

Trong đại số trừu tượng, định lý cơ bản về nhóm cyclic khẳng định rằng nếu G là một nhóm cyclic cấp n thì mọi nhóm con của G cũng là cyclic. Hơn nữa, cấp của các nhóm con của G là một ước của n và với mỗi ước dương k của n nhóm G có đúng một nhóm con cấp k.

Chứng minh

Giả sử $G\; =\; \backslash left\; \backslash langle\; a\; \backslash right\; \backslash rangle$ là một nhóm cyclic sinh bởi phần tử $a\; \backslash in\; G$. Giả sử $H\backslash ,$ là nhóm con của $G\backslash ,$. Ta sẽ chứng tỏ rằng $H\backslash ,$ là cyclic. Nếu $H\; =\; \{\; e\; \}\backslash ,$ thì $H\; =\; \backslash left\; \backslash langle\; e\; \backslash right\; \backslash rangle\backslash ,$. Nếu $H\; \backslash neq\; \{\; e\; \}\backslash ,$ thì vì $G\backslash ,$ là cyclic nên mọi phần tử trong $H\backslash ,$ có dạng lũy thừa $a^t\backslash ,$, trong đó $t\backslash ,$ là số nguyên dương. Đặt $m\backslash ,$ là số nguyên dương nhỏ nhất mà $a^m\; \backslash in\; H$.

Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng $H\; =\; \backslash left\; \backslash langle\; a^m\; \backslash right\; \backslash rangle\backslash ,$. Từ tính chất đống của nhóm con rút ra rằng $\backslash left\; \backslash langle\; a^m\; \backslash right\; \backslash rangle\; \backslash subseteq\; H$.

Để chứng tỏ $H\; \backslash subseteq\; \backslash left\; \backslash langle\; a^m\; \backslash right\; \backslash rangle$ chúng ta giả sử $b\; \backslash in\; H$. Vì $b\; \backslash in\; G$ ta có $b\; =\; a^k\backslash ,$ với một số nguyên dương nào đó $k\backslash ,$. Theo thuật toán chia, $k\; =\; mq\; +\; r\backslash ,$ với , và do đó $a^k\; =\; a^\{mq\; +\; r\}\; =\; a^\{mq\}a^r\backslash ,$, từ đó $a^r\; =\; a^\{-mq\}a^k\backslash ,$. Bây giờ vì $a^k\; \backslash in\; H$ và $a^\{-mq\}\; =\; (a^\{m\})^\{-q\}\; \backslash in\; H$, nên $a^r\; \backslash in\; H$. Nhưng $m\backslash ,$ là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho $a^m\; \backslash in\; H$ và , nên $r\; =\; 0\backslash ,$ và do đó $b\; =\; a^k\; =\; a^\{mq\}\; =\; (a^m)^q\; \backslash in\; \backslash left\; \backslash langle\; a^m\; \backslash right\; \backslash rangle$. Như vậy $H\; \backslash subseteq\; \backslash left\; \backslash langle\; a^m\; \backslash right\; \backslash rangle$.

Vì $H\; \backslash subseteq\; \backslash left\; \backslash langle\; a^m\; \backslash right\; \backslash rangle$ và $\backslash left\; \backslash langle\; a^m\; \backslash right\; \backslash rangle\; \backslash subseteq\; H$ nên $H\; =\; \backslash left\; \backslash langle\; a^m\; \backslash right\; \backslash rangle$ và như vậy $H\backslash ,$ là cyclic.

Bây giờ, chúng ta chứng tỏ rằng cấp của nhóm con bất kỳ của $G\backslash ,$ là một ước của $n\backslash ,$. Giả sử $H\backslash ,$ là một nhóm con bất kỳ của $G\backslash ,$. Ta luôn có thể viết $H\; =\; \backslash left\; \backslash langle\; a^m\; \backslash right\; \backslash rangle$, trong đó m là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho $a^m\; \backslash in\; H$. Vì $e\; =\; a^n\; =\; a^m\backslash ,$ nên $n\; =\; mq\backslash ,$ với số nguyên $q\backslash ,$ nào đó. Như vậy $m\; |\; n\backslash ,$.

Chúng ta sẽ chứng minh phần cuối của định lý. Giả sử $k\backslash ,$ là một ước nguyên dương của $n\backslash ,$. Ta sẽ chứng tỏ rằng $\backslash left\; \backslash langle\; a^\{n/k\}\; \backslash right\; \backslash rangle$ và chỉ nó là nhóm con $\backslash left\; \backslash langle\; a\; \backslash right\; \backslash rangle$ cấp $k\backslash ,$. Chú ý rằng $\backslash left\; \backslash langle\; a^\{n/k\}\; \backslash right\; \backslash rangle$ có cấp $\{n\backslash over\{gcd(n,\; \{n\; \backslash over\; \{k)\; =\; \{n\; \backslash over\; \{n\; \backslash over\; k\; =\; k\backslash ,$. Đặt $H\backslash ,$ là nhóm con bất kỳ của $\backslash left\; \backslash langle\; a\; \backslash right\; \backslash rangle$ có cấp $k\backslash ,$. Ta biết rằng $H\; =\; \backslash left\; \backslash langle\; a\; \backslash right\; \backslash rangle$, trong đó $m\backslash ,$ là ước của $n\backslash ,$. Như vây $m\; =\; gcd(n,\; m)\backslash ,$ and . Từ đó $m\; =\; \{n\; \backslash over\; k\}\backslash ,$ và như vậy $H\; =\; \backslash left\; \backslash langle\; a^\{n\; \backslash over\; k\}\; \backslash right\; \backslash rangle$. Định lý đã được chứng minh.

Bổ sung

Giả sử là một nhóm cyclic, và $H$ là một nhóm con của $G$. Ta xác định một ánh xạ $\backslash phi:\; \backslash mathbb\{Z\}\; \backslash rightarrow\; G$ nhờ $\backslash phi(n)\; =\; a^n$. Vì $G$ là cyclic sinh bởi $a$, nên $\backslash phi$ là toàn ánh. Đặt $K\; =\; \backslash phi^\{-1\}(H)\; \backslash subseteq\; \backslash mathbb\{Z\}$. $K$ là nhóm con của $\backslash mathbb\{Z\}$. Vì $\backslash phi$ là toán ánh, nên thu hẹp của $\backslash phi$ trên $K$ xác định một toàn cấu từ $K$ lên $H$, và do đó $H$ là đẳng cấu với một nhóm thương của $K$. Vì $K$ là một nhóm con của $\backslash mathbb\{Z\}$, $K$ là $n\backslash mathbb\{Z\}$ với số nguyên $n$ nào đó. Nếu $n\; =\; 0$, thì $K\; =\; \{0\}$, từ đó $H\; =\; \{0\}$, là nhóm cyclic. Nếu khác đi, $K$ đẳng cấu với $\backslash mathbb\{Z\}$. Do đó $H$ là đẳng cấu với một thương của $\backslash mathbb\{Z\}$, và chắc chắn là cyclic.