✨Nhóm nhân các số nguyên modulo n

Trong toán học, nhóm nhân các số nguyên modulo _n_ là một nhóm với phép nhân là phép toán nhóm và các phần tử là các đơn vị đơn vị trong một vành

:$\backslash mathbb\{Z\}/n\backslash mathbb\{Z\}$

với số nguyên $n\; >\; 1$. Các đơn vị là các số nguyên khả nghịch theo modulo n. Trong trường hợp này, nó thường được biểu diễn bởi các lớp đồng dư của các số nguyên nguyên tố cùng nhau với n. Nó thường được ký hiệu

:$\backslash mathbb\{Z\}/n\backslash mathbb\{Z\}^*$

hoặc

:$\backslash mathbb\{Z\}\_n^*$.

Cấp của nhóm này cho bởi phi hàm Euler. Nếu n là số nguyên tố, cấp của nhóm là n − 1. CHẳng hạn, khi n bằng 5 nhóm nhân $\backslash mathbb\{Z\}\_5^*$ gồm 4 phần tử {1, 2, 3, 4}, và là nhóm với phép nhân modulo 5.

Nhóm này có nhiều ứng dụng trong lý thuyết số và mật mã học. Đặc biệt là việc tìm kích thước của nhóm có thể giúp kiểm tra tính nguyên tố của số n: $n$ là số nguyên tố nếu và chỉ nếu kích thước của nhóm là $n-1$.

Các nhóm nhân cyclic

Một nhóm nhân là nhóm cyclic nếu và chỉ nếu $n\; =\; 2$, $n\; =\; 4$, $n\; =\; p^m$, hoặc $n\; =\; 2p^m$ với số nguyên tố lẻ $p$ và $m\; >\; 0$ nào đó. Một nhóm cyclic luôn có một tập hợp sinh gồm một phần tử; mộ phần tử sinh của nhóm nhân modulo n được gọi là một căn nguyên thủy của n.

Chẳng hạn, $\backslash mathbb\{Z\}\_9^$ chứa 6 phần tư {1, 2, 4, 5, 7, 8} và là một đẳng cấu của nhóm cyclic $C$6. Nó được sinh bởi một trong hai phân tử 2 hoặc 5, do đó 2 và 5 là căn nguyên thủy của 9. $\backslash mathbb\{Z\}${10}^ gồm 4 phần tử {1, 3, 7, 9} và đẳng cấu với nhóm $C\_4$. Nó được sinh bởi một trong các phần tử 3 hoặc 7, do đó 3 và 7 là các căn nguyên thủy của 10.

Cấu trúc của các nhóm nhân lũy thừa 2

Các nhóm nhân modulo 2 và 4 có bậc 2 và đẳng cấu với $C\_2$.

Với tất cả các lũy thừa khác của 2, bốn phần tử {1, $\backslash frac\{n\}\{2\}-1$, $\backslash frac\{n\}\{2\}+1$, n-1} là phân biệt và tạo thành một nhóm con của nhóm nhân các phần tử thỏa mãn x²=1 mod n. Đó là nhóm xoắn (torsion), là đẳng cấu với nhóm Klein bốn $C\_2\; \backslash times\; C\_2$, không là cyclic. Điều này chứng tỏ nhóm nhân với n = 2^k, k>2 không là $C\_\{2^\{k-1$.

Mặt khác, nó chứng tỏ rằng phần tử 3 trong nhóm nhân với n = 2^k, k>2 có bậc 2^k-2, và do đó sinh ra một nhóm con cyclicđẳng cấu với $C\_\{2^\{k-2$. Cấu trúc của nhóm nhân với n = 2^k, k>2 phải là $C$2 \times C{2^{k-2.

Giá trị nhỏ nhất của những n như vậy là 8, khi đó $\backslash mathbb\{Z\}\_8^$ chứa 4 phần tử {1, 3, 5, 7} và đẳng cấu với $C\_2\; \backslash times\; C$2 - chúng ta có thể thấy điều này vì 1², 3², 5², và 7² đều đồng dư với 1 modulo 8. Cúng như vậy $\backslash mathbb\{Z\}${16}^ là đẳng cấu với $C\_2\; \backslash times\; C\_4$; các phần tử {1, 7, 9, 15} tạo thành một nhõm con đẳng cấu với $C\_2\; \backslash times\; C\_2$; và các lũy thừa của 3 tạo thành nhóm conform {1, 3, 9, 11} đẳng cấu với $C\_4$.

Cấu trúc của nhóm nhân với n tổng quát

Khi đã biết cấu trúc của các nhóm nhân với các lũy thừa của số nghuyên tố, ta có thể tìm được cấu trúc của nhóm nhân với n tổng quát khi dùng Định lý [[số dư Trung Quốc]] - nhóm nhân modulo n là tích trực tiếp của các nhóm nhân theo mỗi lũy thừa cực đại của các ước nguyên tố của n.

Chẳng hạn, $\backslash mathbb\{Z\}${24}^* là đẳng cấu với $\backslash mathbb\{Z\}${8}^ \times \mathbb{Z}_{3}^, tích này lại đẳng cấu với $C\_2\; \backslash times\; C\_2\; \backslash times\; C\_2$ - mà ta có thể xác minh rằng các bình phương của 8 phần tử {1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23} là đồng dư với 1 mod 24. giữa