Quy tắc chia hết hay dấu hiệu chia hết là các cách nhanh để xác định xem một số nguyên đã cho có chia hết cho một số chia (ước) cụ thể hay không mà không cần thực hiện phép chia, thường bằng cách kiểm tra các chữ số của nó. Mặc dù có các phép kiểm tra tính chia hết cho các số trong bất kỳ hệ cơ số nào và chúng đều khác nhau, bài viết này chỉ trình bày các quy tắc và ví dụ cho các số thuộc hệ thập phân, hay số trong hệ cơ số 10. Martin Gardner đã giải thích và phổ biến những quy tắc này trong chuyên mục "Trò chơi Toán học" vào tháng 9 năm 1962 trên tạp chí Scientific American.

Các dấu hiệu chia hết cho các số 1–30

Các quy tắc được tổng hợp trong bảng dưới đây biến đổi một số nguyên nhất định thành một số thường nhỏ hơn, trong khi vẫn bảo toàn tính chất chia hết cho số chia cần kiểm tra. Do đó, trừ khi có ghi chú khác, số thu được sau khi biến đổi phải được đánh giá là chia hết cho cùng một ước số. Trong một số trường hợp, quá trình biến đổi có thể được lặp lại cho đến khi rõ ràng tính chất chia hết; đối với các trường hợp khác (chẳng hạn như kiểm tra n chữ số cuối cùng) kết quả phải được kiểm tra bằng các phương pháp khác.

Đối với các ước số có nhiều quy tắc để xét tính chia hết thì những quy tắc trong bảng sắp xếp ưu tiên thích hợp cho kiểm tra các số cần kiểm tra nguyên có nhiều chữ số, sau đó là những quy tắc hữu ích cho các số có ít chữ số hơn.

Lưu ý: Để kiểm tra tính chia hết cho bất kỳ ước số nào có thể biểu diễn dưới dạng 2ⁿ hoặc 5ⁿ, trong đó n là số nguyên dương, chỉ cần kiểm tra n chữ số cuối cùng.

Lưu ý: Để kiểm tra tính chia hết cho bất kỳ số nào biểu thị được dưới dạng tích của các thừa số nguyên tố $p\_1^n\; p\_2^m\; p\_3^q$, chúng ta có thể kiểm tra riêng khả năng chia hết cho từng số nguyên tố với lũy thừa thích hợp của nó. Ví dụ: kiểm tra tính chia hết cho 24 (24 = 83 = 2³3) tương đương với kiểm tra tính chất chia hết cho 8 (2³) và 3 đồng thời, do đó chúng ta chỉ cần xét tính chia hết cho 8 và 3 để chứng minh tính chia hết cho 24, 48.

Lưu ý: dấu hai chấm (:) trong bảng là dấu để chỉ ví dụ, không phải là dấu chia.

Ví dụ

Tính chia hết cho 2

Trước hết, lấy số ta muốn kiểm tra (ví dụ số 376) và ghi lại chữ số tận cùng trong số, loại bỏ các chữ số khác. Sau đó lấy chữ số đó (6) bỏ qua các chữ số còn lại và xác định xem nó có chia hết cho 2. Nếu nó chia hết cho 2 thì số ban đầu chia hết cho 2.

Thí dụ

376 (Số ban đầu)

37 6 (Lấy chữ số tận cùng)

6 ÷ 2 = 3 (Kiểm tra xem chữ số tận cùng có chia hết cho 2 không)

376 ÷ 2 = 188 (Nếu chữ số tận cùng chia hết cho 2 thì số nguyên chia hết cho 2)

Tính chia hết cho 3 hoặc 9

Đầu tiên, lấy một số bất kỳ (ví dụ số 492) và cộng từng chữ số trong số đó với nhau (4 + 9 + 2 = 15). Sau đó lấy tổng đó (15) và xác định xem liệu nó có chia hết cho 3 hoặc 9. Số ban đầu chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 (hoặc 9).

Thí dụ 1

492 (Số ban đầu)

4 + 9 + 2 = 15 (Cộng từng chữ số riêng lẻ với nhau)

15 chia hết cho 3 nên đến đây ta có thể kết luận. Ngoài ra, chúng ta có thể tiếp tục sử dụng lặp lại phương pháp nếu tổng đó vẫn còn quá lớn:

1 + 5 = 6 (Cộng từng chữ số riêng lẻ với nhau)

6 ÷ 3 = 2 (Kiểm tra xem số nhận được có chia hết cho 3 không)

492 ÷ 3 = 164 (áp dụng quy tắc chia hết cho 3 thì số nguyên chia hết cho 3)

Nếu một số là tích của 3 số liên tiếp thì số đó luôn chia hết cho 3. Số có dạng (n × (n − 1) × (n + 1))

Thí dụ 2

336 (Số ban đầu)

6 × 7 × 8 = 336 (phân tích thành tích)

336 ÷ 3 = 112

Tính chia hết cho 4

Quy tắc cơ bản để xét chia hết cho 4 là nếu số tạo thành bởi hai chữ số tận cùng của một số chia hết cho 4 thì số ban đầu chia hết cho 4;

Một phương pháp khác sử dụng phép nhân với 3. Một số dạng 10x + y có cùng số dư khi chia cho 7 như số 3x + y. Ta nhân chữ số tận cùng bên trái của số ban đầu với 3, cộng thêm chữ số tiếp theo, lấy phần dư khi chia cho 7, và tiếp tục lặp từ đầu: nhân với 3, cộng với chữ số tiếp theo, v.v. Ví dụ, số 371: 3 × 3 + 7 = 16 chia 7 dư 2 và 2 × 3 + 1 = 7. Phương pháp này còn có thể được sử dụng để tìm phần dư của phép chia cho 7.

Một thuật toán phức tạp hơn để kiểm tra tính chia hết cho 7 sử dụng các tính chất đồng dư: 10⁰ ≡ 1, 10¹ ≡ 3, 10² ≡ 2, 10³ ≡ 6, 10⁴ ≡ 4, 10⁵ ≡ 5, 10⁶ ≡ 1,... (mod 7). Viết từng chữ số của số cần kiểm tra (371) theo thứ tự đảo ngược (173), nhân chúng liên tiếp với các chữ số trong dãy 1, 3, 2, 6, 4, 5, (lặp lại dãy nhân này nếu chưa hết) và cộng các tích với nhau (1×1 + 7×3 + 3×2 = 1 + 21 + 6 = 28). Số ban đầu chia hết cho 7 khi và chỉ khi số thu được bằng cách sử dụng thuật toán này chia hết cho 7 (vì vậy 371 chia hết cho 7 vì 28 cũng chia hết cho 7).

Phương pháp này có thể được đơn giản hóa mà không cần phép tính nhân. Tất cả những gì cần làm với sự đơn giản hóa này là ghi nhớ dãy số ở trên (132645...), chỉ cần cộng và trừ, nhưng luôn làm việc với các số có một chữ số.

Thuật toán đơn giản hóa diễn ra như sau:

• Lấy ví dụ số 371

• Đổi tất cả các chữ số 7, 8 hoặc 9 thành 0, 1 hoặc 2, tương ứng. Trong ví dụ này, chúng ta nhận được số: 301. Bước thứ hai này có thể bỏ qua, nhưng ngoại trừ chữ số tận cùng bên trái nhất thiết phải đổi, nhưng nếu làm theo bước này có thể giúp cho các phép tính sau này dễ dàng hơn.

• Bây giờ chuyển chữ số đầu tiên (3) thành chữ số tiếp sau nó trong dãy 13264513... Trong ví dụ của chúng ta, 3 trở thành 2.

• Cộng kết quả có được ở bước trước (2) với chữ số thứ hai của số (301), và thay kết quả đó cho cả hai chữ số, để tất cả các chữ số còn lại không thay đổi: 2 + 0 = 2. Vậy _30_1 trở thành _2_1.

• Lặp lại quá trình này cho đến khi bạn được bội số có thể nhận ra của 7 hoặc đến khi được một số từ 0 đến 6. Vì vậy, bắt đầu từ 21 (đã là một bội số có thể nhận ra của 7), nếu ta lại làm tiếp thì lấy chữ số đầu tiên (2) và chuyển nó thành số tiếp sau tương ứng trong dãy số trên: 2 trở thành 6. Sau đó cộng nó với chữ số thứ hai: 6 + 1 =  7. Vậy ta có thể kết luận 371 là bội của 7.

• Nếu ở bước nào đó ta gặp chữ số đầu tiên là 8 hoặc 9 thì chúng sẽ đổi thành tương ứng 1 hoặc 2, nhưng nếu chữ số đầu là 7 thì trở thành số 0 nên có thể bỏ đi. Ở bước trên ta còn lại một con số 7, cuối cùng thành số 0. Nếu như kết quả thu được sau khi thực hiện quá trình trên là 0 hoặc một bội của 7 thì số ban đầu cũng là một bội của 7. Còn nếu chúng ta nhận được một con số nào khác từ 1 đến 6, nó có nghĩa là phải trừ thêm bao nhiêu đơn vị vào số ban đầu để được một bội của 7 (hay số dư khi chia số đó cho 7). Ví dụ, xét số 186.

• Đầu tiên, đổi 8 thành 1: 116.

• Bây giờ, đổi 1 thành chữ số sau trong dãy số (chữ số 3), cộng nó vào chữ số thứ hai và viết kết quả thay cho cả hai: 3 + 1 =  4. Vì vậy, _11_6 bây giờ trở thành _4_6.

• Lặp lại quy trình, vì con số này lớn hơn 7. Bây giờ, dựa vào dãy số 4 trở thành 5, rồi cộng thêm vào chữ số 6 tận cùng. Tức là 11.

• Lặp lại quy trình một lần nữa: 1 trở thành 3, được cộng vào chữ số thứ hai (1): 3 + 1 =  4.

Bây giờ chúng ta có được một số nhỏ hơn 7, và số này (4) là số dư của phép chia 186/7. Vì vậy, 186 trừ 4, hay là 182, phải là một bội số của 7.

Lưu ý: Lý do tại sao điều này có hiệu lực là vì nếu chúng ta có: a+b=c và b là một bội của một số n bất kỳ, thì a và c nhất thiết sẽ có cùng một số dư khi chia cho n. Ví dụ, trong 2 + 7 = 9 thì 7 chia hết cho 7. Vì vậy 2 và 9 phải có cùng một số dư khi chia cho 7. Số dư đó là 2.

Do đó, nếu một số n là một bội của 7 (nghĩa là: số dư của phép chia n/7 là 0) thì khi cộng (hoặc trừ) thêm vào n một bội khác của 7 ta vẫn được một bội của 7.

Điều mà thuật toán này thực hiện, như đã giải thích ở trên đối với hầu hết các quy tắc chia hết, chỉ đơn giản là trừ từng bội số nhỏ của 7 từ số ban đầu cho đến khi đạt được một số đủ nhỏ để chúng ta nhớ liệu nó có phải là bội số của 7. Nếu chữ số 1 trở thành 3 ở vị trí thập phân tiếp sau nó, điều đó tương tự như chuyển 10×10ⁿ thành 3×10ⁿ. Và điều này thực sự cũng giống như việc trừ 7×10ⁿ (rõ ràng là bội số của 7) vào 10×10ⁿ.

Tương tự, khi ta biến chữ số 3 thành chữ số 2 ở vị trí thập phân sau, thực chất ta đang biến 30×10ⁿ thành 2×10ⁿ, điều này cũng giống như phép trừ 30×10ⁿ − 28×10ⁿ, và đây lại là một phép trừ bội số của 7. Lý do tương tự cũng áp dụng cho tất cả các biến đổi còn lại:

• 20×10ⁿ − 6×10ⁿ = 14×10ⁿ
• 60×10ⁿ − 4×10ⁿ = 56×10ⁿ
• 40×10ⁿ − 5×10ⁿ = 35×10ⁿ
• 50×10ⁿ − 1×10ⁿ = 49×10ⁿ

Ví dụ phương pháp thứ nhất

1050 → 105 − 2×0 = 105 − 0 = 105 → 10 − 2×5 = 10 − 10 = 0.

ĐÁP ÁN: 1050 chia hết cho 7.

Ví dụ phương pháp thứ hai

1050 → 0501 (đảo ngược) → 0×1 + 5×3 + 0×2 + 1×6 = 0 + 15 + 0 + 6 = 21 (nhân và cộng với các chữ số trong dãy).

ĐÁP ÁN: 1050 chia hết cho 7.

Phương pháp Vệ-đà (Vedic) xét tính chia hết cho 7

Có thể xét tính chia hết cho 7 nhờ phương pháp số mật tiếp trong Toán học Vệ-đà: bằng một phép nhân ước số với một số (nhân tử) gọi là số mật tiếp hay Ekhādika. Cách làm này còn có thể áp dụng cho xét tính chia hết cho ước số bất kỳ. Đầu tiên đổi ước số cần kiểm tra (tức số 7) sang "họ số 9" bằng cách lấy 7 nhân với 7 để có số 49: 7×7 = 49. Cộng 1 được 50, bỏ đi chữ số đơn vị ta được 5, rồi lấy 5 làm Ekhādika hay nhân tử. Bắt đầu xét tính chia hết từ phía bên phải của số cần xét. Nhân chữ số tận cùng bên phải với 5 rồi cộng tích này với chữ số bên trái ngay sau đó. Viết kết quả vào một dòng ở ngay dưới chữ số đó. Lặp lại phương pháp đó, nhân chữ số tận cùng của số kết quả ở dòng dưới với 5 rồi cộng với chữ số hàng chục. Sau đó cộng thêm chữ số tiếp theo bên trái của số ban đầu. Viết kết quả đó ngay dưới chữ số đó, cứ tiếp tục lặp thuật toán cho đến hết bên trái. Nếu kết quả cuối cùng được là 0 hoặc là một bội số của 7 thì đúng là số ban đầu cũng chia hết cho 7. Nếu không thì không chia hết. Điều này tuân theo cách ghi một dòng lý tưởng trong kinh Vệ-đà.

Ví dụ phương pháp Vệ-đà: Xét xem số 438,722,025 có chia hết cho 7 hay không? Nhân tử = 5. 4 3 8 7 2 2 0 2 5 |\ |\ |\ |\ |\ |\ |\ |\ | 42 37 46 37 6 40 37 27 05 ĐÚNG Phương pháp Pohlman–Mass

Phương pháp Pohlman-Mass cung cấp một lời giải nhanh chóng có thể xác định xem hầu hết các số nguyên có chia hết cho 7 hay không trong ba bước hoặc ít hơn. Phương pháp này có thể hữu ích trong một cuộc thi toán học như MATHCOUNTS, trong đó thời gian là một yếu tố quyết định trong đánh giá kỹ năng giải không cần máy tính và tính điểm trong Vòng Nước rút.

Bước A: Nếu số nguyên nhỏ hơn hoặc bằng 1.000, trừ hai lần chữ số tận cùng của số vào số được tạo thành bởi các chữ số còn lại. Nếu kết quả là bội số của bảy, thì số ban đầu cũng vậy (và ngược lại). Ví dụ: 112 -> 11 − (2×2) = 11 − 4 = 7 CÓ 98 -> 9 − (8×2) = 9 − 16 = −7 CÓ 634 -> 63 − (4×2) = 63 − 8 = 55 KHÔNG Vì 1,001 chia hết cho 7, ta có thể tìm thấy một phát hiện thú vị: cho các bộ số gồm 1, 2 hoặc 3 chữ số lặp lại và các chữ số 0 xen giữa tạo thành các số có 6 chữ số (cho phép các số 0 ở đầu) thì trong đó tất cả các số như vậy đều chia hết cho 7. Ví dụ: 001 001 = 1,001 / 7 = 143 010 010 = 10,010 / 7 = 1,430 011 011 = 11,011 / 7 = 1,573 100 100 = 100,100 / 7 = 14,300 101 101 = 101,101 / 7 = 14,443 110 110 = 110,110 / 7 = 15,730

01 01 01 = 10,101 / 7 = 1,443 10 10 10 = 101,010 / 7 = 14,430

111,111 / 7 = 15,873 222,222 / 7 = 31,746 999,999 / 7 = 142,857

576,576 / 7 = 82,368

Đối với tất cả các ví dụ trên, trừ ba chữ số đầu tiên cho ba chữ số cuối cùng sẽ cho kết quả là bội số của bảy. Lưu ý rằng các số 0 được phép ở đầu để tạo thành xâu gồm 6 chữ số. Phát hiện này là cơ sở cho các bước tiếp theo, B và C.

Bước B: Nếu số nguyên nằm trong khoảng từ 1,001 đến một triệu, hãy tìm xâu gồm các 1, 2 hoặc 3 chữ số lặp lại tạo thành một số có 6 chữ số gần với số nguyên cần xét (cho phép đặt các số 0 ở đầu và điều này có thể giúp bạn hình dung ra số xâu). Nếu hiệu dương giữa xâu đó và số cần xét nhỏ hơn 1.000, hãy áp dụng Bước A. Điều này có thể được thực hiện bằng cách trừ ba chữ số đầu tiên cho ba chữ số cuối cùng. Ví dụ:

341,355 − 341,341 = 14 -> 1 − (4×2) = 1 − 8 = −7 CÓ 67,326 − 067,067 = 259 -> 25 − (9×2) = 25 − 18 = 7 CÓ

Thực tế rằng 999,999 là một bội số của 7 có thể được sử dụng để xác định tính chia hết cho 7 của các số nguyên lớn hơn một triệu bằng cách giảm số nguyên ấy thành số có 6 chữ số có thể được xác định bằng bước B. Có thể được thực hiện dễ dàng điều đó bằng cách cộng thêm các chữ số bên trái sáu chữ số đầu tiên đến với số tạo bởi sáu chữ số và tiếp tục với Bước A.

Bước C: Nếu số nguyên cần xét lớn hơn một triệu, trừ nó cho bội số gần nhất của 999.999 và sau đó áp dụng Bước B. Đối với các số lớn hơn, sử dụng các bộ lớn hơn như số gồm 12 chữ số (999.999.999.999), v.v. Sau đó, biến đổi số nguyên thành một số nhỏ hơn có thể giải được bằng Bước B. Ví dụ:

22,862,420 − (999,999 × 22) = 22,862,420 − 21,999,978 -> 862,420 + 22 = 862,442 862,442 -> 862 − 442 (Step B) = 420 -> 42 − (0×2) (Bước A) = 42 CÓ

Điều này cho phép ta cộng và trừ các bộ ba chữ số xen kẽ nhau để xác định khả năng chia hết cho 7. Hiểu được các mẫu này cho phép bạn nhanh chóng tính toán xét chia hết cho 7 như được thấy trong các ví dụ mẫu sau:

Ví dụ phương pháp Pohlman−Mass xét tính chia hết cho 7: Xét xem 98 liệu có chia hết cho 7? 98 -> 9 − (8×2) = 9 − 16 = −7 CÓ (Bước A)

Xét xem 634 có chia hết cho 7 hay không? 634 -> 63 − (4×2) = 63 − 8 = 55 KHÔNG (Bước A)

Xét xem 355,341 có chia hết cho 7 hay không? 355,341 − 341,341 = 14,000 (Bước B) -> 014 − 000 (Bước B) -> 14 = 1 − (4×2) (Bước A) = 1 − 8 = −7 CÓ

Xét xem 42,341,530 có chia hết cho 7 hay không? 42,341,530 -> 341,530 + 42 = 341,572 (Bước C) 341,572 − 341,341 = 231 (Bước B) 231 -> 23 − (1×2) = 23 − 2 = 21 CÓ (Bước A)

Sử dụng một chuỗi cộng trừ đại số xen kẽ: 42,341,530 -> 530 − 341 + 42 = 189 + 42 = 231 -> 23 − (1×2) = 21 CÓ

Phương pháp nhân với 3 để xét tính chia hết cho 7, ví dụ: Xét xem 98 liệu có chia hết cho 7? 98 -> lấy 9 chia 7 dư 2 -> 2×3 + 8 = 14 CÓ

Xét xem 634 liệu có chia hết cho 7? 634 -> 6×3 + 3 = 21 -> dư 0 -> 0×3 + 4 = 4 KHÔNG

Xét xem 355,341 liệu có chia hết cho 7? 3 * 3 + 5 = 14 -> dư 0 -> 0×3 + 5 = 5 -> 5×3 + 3 = 18 -> dư 4 -> 4×3 + 4 = 16 -> dư 2 -> 2×3 + 1 = 7 CÓ

Tìm số dư của 1036125837 chia cho 7 1×3 + 0 = 3 3×3 + 3 = 12 dư 5 5×3 + 6 = 21 dư 0 0×3 + 1 = 1 1×3 + 2 = 5 5×3 + 5 = 20 dư 6 6×3 + 8 = 26 dư 5 5×3 + 3 = 18 dư 4 4×3 + 7 = 19 dư 5 Đáp số là 5

Tìm số dư của một số khi chia cho 7 (một cách khác)

Sử dụng các dãy số sau:

Bắt đầu từ 7 — (1, 3, 2, —1, —3, —2, chu kỳ 6 của dãy được lặp lại cho sáu chữ số tiếp theo, quay lại từ 1, 3,...) Chu kỳ: 6 chữ số. Các số lặp lại: 1, 3, 2, −1, −3, −2. Đây là dãy số độ lớn cực tiểu

hoặc dãy số dương:

(1, 3, 2, 6, 4, 5, chu kỳ lặp lại cho sáu chữ số tiếp theo) Chu kỳ: 6 chữ số. Số lặp lại: 1, 3, 2, 6, 4, 5

Nhân chữ số tận cùng bên phải (hàng đơn vị) của số cần xét với chữ số bên trái đầu tiên của một trong hai dãy trên, sau đó lại nhân chữ số thứ hai tính từ bên phải tiếp đó của số cần xét với số thứ hai bên trái của dãy, cứ như vậy làm phép nhân cho đến hết. Sau đó, tính tổng tất cả các giá trị và lấy môđun của 7.

Ví dụ: Số dư khi 1036125837 chia cho 7 là bao nhiêu? Phép nhân chữ số tận cùng bên phải = 1×7 = 7 Phép nhân chữ số thứ hai tính từ bên phải = 3 × 3 = 9 Chữ số thứ ba tính từ bên phải = 8 × 2 = 16 Chữ số thứ tư tính từ bên phải = 5 × −1 = −5 Chữ số thứ năm tính từ bên phải = 2 × −3 = −6 Chữ số thứ sáu tính từ bên phải = 1 × −2 = −2 Chữ số thứ bảy tính từ bên phải = 6 × 1 = 6 Chữ số thứ tám tính từ bên phải = 3 × 3 = 9 Chữ số thứ chín tính từ bên phải = 0 Chữ số thứ mười tính từ bên phải = 1 × −1 = −1 Tổng = 33 33 mod 7 = 5 Phần dư = 5

Phương pháp cặp chữ số chia hết cho 7

Phương pháp này sử dụng dãy mẫu 1, −3, 2 trên các cặp chữ số. Nghĩa là, có thể kiểm tra khả năng chia hết của bất kỳ số nào cho 7 bằng cách đầu tiên tách số đó thành các cặp chữ số, sau đó nhân từng cặp chữ số đó với từng số của dãy, làm vậy tới ba cặp chữ số (tức là tới sáu chữ số). Nếu số cần xét nhỏ hơn sáu chữ số, thì điền thêm các chữ số 0 vào bên phải cho đến khi có sáu chữ số. Nếu số cần xét lớn hơn sáu chữ số, thì lặp lại chu kỳ trên cho nhóm sáu chữ số tiếp theo và sau đó cộng các kết quả với nhau. Lặp lại thuật toán này cho đến khi kết quả được một số đủ nhỏ. Số ban đầu chia hết cho 7 khi và chỉ khi số thu được bằng cách sử dụng thuật toán này chia hết cho 7. Phương pháp này đặc biệt phù hợp với các số nguyên lớn.

Ví dụ 1:

Số cần kiểm tra là 157514. Đầu tiên ta tách số đó thành các cặp chữ số: 15, 75 và 14.

Sau đó ta áp dụng thuật toán: 1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 14 = 182

Vì kết quả là 182 nhỏ hơn sáu chữ số, ta thêm số 0 vào bên phải cho đến khi nó có sáu chữ số.

Sau đó, chúng ta lại áp dụng thuật toán: 1 × 18 − 3 × 20 + 2 × 0 = −42

Kết quả −42 ta đã biết chia hết cho 7, do đó số ban đầu 157514 cũng chia hết cho 7.

Ví dụ 2:

Số cần kiểm tra là 15751537186.

(1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 15) + (1 × 37 − 3 × 18 + 2 × 60) = −180 + 103 = −77

Kết quả −77 chia hết cho 7, do đó số ban đầu 15751537186 ​​chia hết cho 7.

Tính chia hết cho 13

Kiểm tra số dư khi chia cho 13: sử dụng dãy mẫu (1, −3, −4, −1, 3, 4, chu kỳ tiếp tục.) Nếu bạn không quen tính toán các số âm, thì sử dụng dãy số: (1, 10, 9, 12, 3, 4)

Nhân chữ số tận cùng bên phải của số nguyên cần xét với chữ số bên trái đầu tiên của dãy số ở trên (1), sau đó nhân chữ số thứ hai tính từ phải của số cần xét với chữ số thứ hai trong dãy số. Cứ như vậy, chu kỳ tiếp tục.

Ví dụ: Số dư khi 321 chia cho 13 là bao nhiêu?
Sử dụng dãy số đầu tiên,
Trả lời: 1 × 1 + 2 × −3 + 3 × −4 = −17
Số dư = −17 mod 13 = 9

Ví dụ: Số dư khi 1234567 chia cho 13 là bao nhiêu?
Sử dụng dãy số thứ hai,
Trả lời: 7 × 1 + 6 × 10 + 5 × 9 + 4 × 12 + 3 × 3 + 2 × 4 + 1 × 1 = 178 mod 13 = 9
Số dư = 9.

Đối với các số trên 30

Tính chia hết có thể được xác định bằng hai cách, tùy thuộc vào loại ước số.

Ước số hợp

Một số cần xét chia hết cho một ước số hợp nếu nó chia hết cho bậc lũy thừa cao nhất của từng thừa số nguyên tố của ước số. Ví dụ, để xác định tính chia hết của một số cho 36, ta xét tính chia hết của nó cho 4 và 9. Tìm một bội số của D tận cùng bởi 9. (Tức là nếu D tận cùng bởi 1, 3, 7, hoặc 9 thì nhân tương ứng với 9, 3, 7, hoặc 1.) Sau đó cộng thêm 1 và chia cho 10, kết quả nhận được kí hiệu là m. Vậy thì, một số bất kỳ dạng N = 10t + q chia hết cho D khi và chỉ khi mq + t cũng chia hết cho D. Nếu số đó quá dài, ta cũng có thể tách số đó thành từng xâu, mỗi xâu gồm e chữ số, thỏa mãn 10^e = 1 hoặc 10^e = -1 (mod D). Tổng (hoặc tổng xen kẽ) của các xâu này có cùng tính chia hết cho D tương tự số ban đầu.

Ví dụ, để xác định xem số 913 = 10×91 + 3 có chia hết cho 11 hay không, tìm m sao cho m = (11×9+1)÷10 = 10. Khi đó mq+t = 10×3+91 = 121 = 11×11; Lấy một ví dụ khác, để xác định xem 689 = 10×68 + 9 có chia hết cho 53 hay không, tìm rằng m = (53×3+1)÷10 = 16. Khi đó mq+t = 16×9+68 = 212 chia hết cho 53 (có thương là 4); vì vậy 689 cũng chia hết cho 53.

Cách khác, bất kỳ số nguyên nào Q = 10c + d chia hết cho n = 10a + b, sao cho gcd(n, 2, 5) = 1, nếu c+D(n)d = An với một số nguyên A, trong đó:

Một vài số hạng đầu tiên của dãy tạo bởi D(n) là 1, 1, 5, 1, 10, 4, 12, 2,... (dãy A333448 trong OEIS).

Dạng theo từng khoảng của hàm D(n) và dãy được tạo ra bởi nó được nhà toán học người Bulgaria Ivan Stoykov công bố lần đầu tiên vào tháng 3 năm 2020.

Chứng minh

Chứng minh sử dụng đại số sơ cấp

Nhiều quy tắc đơn giản có thể được lập ra chỉ bằng cách sử dụng các thao tác đại số, tạo ra các nhị thức và sắp xếp lại chúng. Bằng cách viết một số dưới dạng tổng của từng chữ số nhân với một lũy thừa của 10, có thể thao tác trên mỗi bậc chữ số riêng lẻ.

Trường hợp quy tắc cộng tất cả chữ số

Phương pháp này áp dụng cho xét các ước là thừa số (nhân tử) của 10 − 1 = 9.

Lấy 3 làm ví dụ, 3 chia hết 9 = 10 − 1. Vậy tức là $10\; \backslash equiv\; 1\; \backslash pmod\{3\}$ (xem thêm số học mô đun). Tương tự với các bậc lũy thừa cao hơn của 10: $10^n\; \backslash equiv\; 1^n\; \backslash equiv\; 1\; \backslash pmod\{3\}$. Tất cả chúng đều đồng dư với 1 modulo 3. Vì hai số đồng dư modulo 3 thì cả hai đều chia hết cho 3 hoặc đều không chia hết, ta có thể tùy ý hoán đổi giữa các giá trị đồng dư với 3. Vì thế, với một số chẳng hạn như sau, ta có thể thay tất cả các lũy thừa 10 trong đó bằng số 1:

: $100\backslash cdot\; a\; +\; 10\backslash cdot\; b\; +\; 1\backslash cdot\; c\; \backslash equiv\; (1)a\; +\; (1)b\; +\; (1)c\; \backslash pmod\{3\}$

và đây chính bằng tổng các chữ số có trong số đó.

Trường hợp quy tắc sử dụng tổng xen kẽ các chữ số

Phương pháp này phù hợp cho các ước là nhân tử của 10 + 1 = 11.

Lấy dấu hiệu của 11 làm ví dụ, 11 chia hết 11 = 10 + 1. Tức là $10\; \backslash equiv\; -1\; \backslash pmod\{11\}$. Với các bậc lũy thừa cao hơn của 10, chúng đồng dư 1 đối với các bậc chẵn và đồng dư với −1 đối với các bậc lẻ:

:

Như ở trường hợp trên, ta có thể thay các bậc lũy thừa của 10 với các giá trị đồng dư tương ứng của chúng:

: $1000\backslash cdot\; a\; +\; 100\backslash cdot\; b\; +\; 10\backslash cdot\; c\; +\; 1\backslash cdot\; d\; \backslash equiv\; (-1)a\; +\; (1)b\; +\; (-1)c\; +\; (1)d\; \backslash pmod\{11\}$

đây cũng chính là hiệu giữa tổng các chữ số ở vị trí hàng lẻ và tổng các chữ số ở vị trí hàng chẵn.

Trường hợp chỉ cần xét (các) chữ số cuối cùng

Quy tắc này áp dụng cho các ước là thừa số của một lũy thừa của 10 (chẳng hạn 2, 5, 10, 20, 25, 50, 100, 125, 250...). Đó là do bậc lũy thừa đủ cao của cơ số (10) chia hết cho ước cần xét, và có thể bỏ qua.

Ví dụ, trong hệ cơ số 10, các thừa số của 10¹ bao gồm 2, 5, và 10. Vì thế, tính chia hết cho 2, 5, và 10 chỉ phụ thuộc vào 1 chữ số cuối cùng có chia hết cho các ước đó hay không. Các thừa số của 10² bao gồm 4 và 25, và tính chia hết cho các ước đó chỉ phụ thuộc vào 2 chữ số cuối cùng.

Trường hợp chỉ bỏ đi (các) chữ số cuối cùng

Hầu hết các số nguyên đều không chia hết 9 hoặc 10, nhưng chia hết lũy thừa cao hơn của 10ⁿ hoặc 10ⁿ − 1. Trong trường hợp này số sẽ vẫn được viết thành các bậc lũy thừa của 10, nhưng không khai triển hoàn toàn.

Ví dụ, 7 không chia hết 9 hay 10, nhưng có chia hết 98, là một số gần 100. Vì vậy, tiếp tục từ đây:

: $100\; \backslash cdot\; a\; +\; b$

ở đó trong trường hợp này a là một số nguyên bất kỳ, và b có thể nằm trong khoảng từ 0 đến 99. Tiếp theo đó,

: $(98+2)\; \backslash cdot\; a\; +\; b$

và lại khai triển

: $98\; \backslash cdot\; a\; +\; 2\; \backslash cdot\; a\; +\; b,$

và sau khi bỏ đi số hạng là bội số đã biết của 7, kết quả sẽ là:

: $2\; \backslash cdot\; a\; +\; b,$

đó chính là quy tắc "nhân đôi số tạo thành bởi phần còn lại ngoài hai chữ số cuối, rồi cộng thêm vào hai chữ số cuối".

Trường hợp (các) chữ số cuối cùng được nhân với một hệ số

Biểu diễn của số nguyên cũng có thể cần được nhân với một số nguyên tố cùng nhau với ước số đang xét mà không làm thay đổi tính chia hết của nó. Từ quan sát rằng 7 chia hết 21, chúng ta có thể thực hiện như sau:

: $10\; \backslash cdot\; a\; +\; b,$

sau khi nhân với 2, giá trị này trở thành

: $20\; \backslash cdot\; a\; +\; 2\; \backslash cdot\; b,$

và sau đó thành

: $(21\; -\; 1)\; \backslash cdot\; a\; +\; 2\; \backslash cdot\; b.$

bỏ đi bội số 21 ta được

: $-1\; \backslash cdot\; a\; +\; 2\; \backslash cdot\; b,$

và nhân với −1 được

: $a\; -\; 2\; \backslash cdot\; b.$

Có thể sử dụng một trong hai quy tắc cuối cùng để xét chia hết, tùy thuộc vào quy tắc nào dễ thực hiện tính toán hơn. Chúng tương ứng với quy tắc "trừ hai lần chữ số tận cùng vào phần còn lại".

Chứng minh sử dụng số học mô đun

Phần này sẽ minh họa phương pháp cơ bản; tất cả các quy tắc khác có thể được suy ra theo cùng một quy trình. Điều sau đây yêu cầu nền tảng kiến thức cơ bản về số học mô đun; đối với tính chia hết cho ước khác 2 và 5 các chứng minh dựa trên kết quả cơ bản rằng 10 mod m khả nghịch nếu 10 và m nguyên tố cùng nhau.

Đối với 2ⁿ hoặc 5ⁿ:

Chỉ cần xét n chữ số cuối cùng.

:$10^n\; =\; 2^n\; \backslash cdot\; 5^n\; \backslash equiv\; 0\; \backslash pmod\{2^n\; \backslash mbox\{\; hoặc\; \}\; 5^n\}$

Biểu diễn x dưới dạng $10^n\; \backslash cdot\; y\; +\; z,$

:$x\; =\; 10^n\; \backslash cdot\; y\; +\; z\; \backslash equiv\; z\; \backslash pmod\{2^n\; \backslash mbox\{\; hoặc\; \}\; 5^n\}$

và tính chia hết của x cho 2 và 5 là tương tự đối với z.

Đối với 7:

Bởi vì 10 × 5  ≡  10 × (−2)  ≡ 1 (mod 7) chúng ta có thể làm như sau:

Biểu diễn x dưới dạng $10\; \backslash cdot\; y\; +\; z,$

: $-2x\; \backslash equiv\; y\; -2z\; \backslash pmod\{7\},$

vì thế x chia hết cho 7 khi và chỉ khi y − 2z chia hết cho 7.