thumb|[[Nhóm đối xứng của một bông tuyết là D6, giống với đối xứng nhị diện của lục giác]]
Trong toán học, một nhóm nhị diện là một nhóm các đối xứng của một đa giác đều, gồm các phép quay, các phép phản xạ và các phép quay phi chính. Nhóm nhị diện là một trong những ví dụ đơn giản nhất của các nhóm hữu hạn, có vai trò quan trọng trong lý thuyết nhóm, hình học và hóa học.
Định nghĩa
Các phần tử
thumb|Sáu trục phản xạ trên hình lục giác đều
Một đa giác đều với cạnh có đối xứng khác nhau: có đối xứng quay và đối xứng phản xạ. Thường thì ta chỉ xét . Các phép quay và phản xạ nói trên tạo nên nhóm nhị diện . Nếu lẻ, mỗi trục đối xứng nối trung điểm của một cạnh sang điểm đối diện. Nếu chẵn, thì ta có trục đối xứng nối trung điểm của các cạnh đối diện nhau và trục đối xứng giữa hai điểm đối diện. Bất kể trường hợp nào, ta đều có trục đối xứng và phần tử trong nhóm. Phản xạ qua một trục đối xứng theo sau một phản xạ khác qua một trục đối xứng khác sẽ cho phép quay với góc bằng hai lần góc giữa hai trục.
Bức ảnh sau minh họa tác động của 16 phần tử của nhóm trên biển báo giao thông:
Tập tin:Dihedral8.png
Hàng đầu tiên biểu diễn tác động dưới phép quay, và hàng thứ hai biểu diễn tác động của phép phản xạ, Trong đó mỗi trường hợp tác động với biển ban đầu tại góc trên bên trái.
Cấu trúc nhóm
Giống như mọi đối tượng hình học, hợp của hai đối xứng của một đa giác đều cũng là đối xứng của nó. Với phép hợp thực hiện như một phép toán hai ngôi, Các đối xứng của đa giác đều hình thành nên cấu trúc đại số của nhóm hữu hạn.
thumb|Các đường phản xạ được gọi là S0, S1, và S2 được giữ nguyên (trên giấy) và không di chuyển khi phép đối xứng (quay hoặc phản xạ) được thực hiện trên tam giác
thumb|Hợp của hai phẩn xạ này là một phép quay
Bảng Cayley sau cho thấy tác động của nhóm D3 (các đối xứng của tam giác đều). r0 là phần tử đơn vị; r1 và r2 biểu thị phép quay ngược kim đồng hồ 120° và 240° tương ứng, còn s0, s1 và s2 biểu thị phản xạ qua ba đường như trong ảnh sau.
Ví dụ, , vì phản xạ s1 theo sau phản xạ s2 tạo thành phép quay 120°. Phép hợp không có tính giao hoán.
Tổng quát thì, nhóm Dn có r0, ..., rn−1 và s0, ..., sn−1, với phép hợp thỏa mãn công thức sau:
:
Trong mọi trường hợp, cộng và trừ các phần tử dùng phép toán modulo với modulo n.
Biểu diễn ma trận
thumb|Các đối xứng của ngũ giác này là các phép [[biến đổi tuyến tính trên một mặt phẳng như 1 không gian vectơ.]]
Nếu ta đặt tâm của đa giác đều tại gốc tọa độ O trong hệ tọa độ, thì các phần tử trong nhóm nhị diện hoạt động tương tự như các phép biến đổi tuyến tính trên mặt phẳng. Nó giúp ta biểu diễn các phần tử của Dn thành các ma trận, với phép hợp là phép nhân ma trận.Đây là ví dụ của biểu diễn nhóm (2 chiều).
Để lấy ví dụ, các phần tử của nhóm D4 có thể biểu diễn bằng 8 ma trận sau đây:
:
Tổng quát thì, các ma trận cho nhóm Dn có dạng sau:
:
rk là ma trận quay, quay ngược kim đồng hồ 1 góc . sk là phản xạ qua đường tạo góc với trục x.
👁️
3 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚
nhỏ|320x320px| Đồ thị Cayley với các hoán vị của một tam giác nhỏ|368x368px| Đồ thị chu kỳ với [[Ma trận hoán vị|ma trận hoán vị của 3 phần tử (Hai phần tử sinh _a_ và
thumb|[[Nhóm đối xứng của một bông tuyết là D6, giống với đối xứng nhị diện của lục giác]] Trong toán học, một **nhóm nhị diện** là một nhóm các đối xứng của một đa giác
thumb|right|Các thao tác bước xoay [[Rubik|khối lập phương Rubik tạo thành nhóm khối lập phương Rubik.]] Trong toán học, một **nhóm** (group) là một tập hợp các phần tử được trang bị một phép toán
Trong toán học, **nhóm bốn Klein** là một nhóm có bốn phần tử, trong đó mỗi phần tử là tự nghịch đảo (kết hợp nó với chính nó tạo ra phần tử đơn vị) và
nhỏ|Lý thuyết biểu diễn nghiên cứu cách các cấu trúc đại số "biến đổi" các đối tượng toán học. Ví dụ đơn giản nhất là cách [[Nhóm nhị diện|nhóm đối xứng của các đa giác
Trong toán học, **nhóm Heisenberg** , được đặt tên theo nhà toán học Werner Heisenberg, là nhóm các ma trận tam giác trên 3 × 3 dưới dạng ::
thumb|[[Căn đơn vị thứ 5 trong mặt phẳng tạo thành một nhóm dưới phép nhân. Mỗi phần tử không đơn vị đều là phần tử sinh của nhóm.]] Trong đại số trừu tượng, **tập sinh
Trong đại số, **nhóm con chuẩn tắc** (hay còn gọi là **nhóm con bất biến** hoặc **nhóm con tự liên hợp**) là nhóm con bất biến dưới mọi tác động liên hợp. Nói cách khác,
thumb|[[Nhóm nhị diện cấp 8 yêu cầu hai phần tử sinh, được minh họa trong biểu đồ trên]] Trong đại số, các **nhóm hữu hạn sinh** là các nhóm _G_ có tập sinh hữu hạn
Trong toán học, đặc biệt là trong lý thuyết nhóm, **chỉ số** của nhóm con _H_ trong _G_ là số lớp kề trái của _H_ trong _G_, hoặc tương đương là số lớp kề phải
thumb|[[Biểu đồ Hasse cho mạng các nhóm con của nhóm nhị diện Dih4. Hàng thứ hai là các nhóm tối đại; giao của các nhóm đó (**Nhóm con Frattini**) là phần tử tâm tại hàng
Trong đại số trừu tượng, **đẳng cấu nhóm** là hàm thiết lập quan hệ tương ứng một-một giữa hai nhóm trong đó vẫn bảo toàn được phép toán nhóm. Nếu tồn tại đẳng cấu giữa
Trong toán học, cụ thể là trong lý thuyết nhóm, một **nhóm phi abel**, cũng được gọi là nhóm **không giao hoán**, là một nhóm (_G_, ∗) thoả mãn tồn tại ít nhất một cặp
Trong đại số trừu tượng, **tâm** của một nhóm là tập hợp các phần tử giao hoán với mọi phần tử của . Nó được ký hiệu là , từ tiếng Đức _Zentrum,_ có nghĩa
**Giải bóng đá hạng nhì quốc gia Síp** () là hạng bóng đá cao thứ hai trong hệ thống các giải bóng đá Síp. Được điều hành bởi Hiệp hội bóng đá Síp, giải có
**MTV** là nhóm nhạc nam nổi tiếng của Việt Nam, mặc dù trong thời gian hoạt động họ đã thay đổi từ Pop, R&B, Acappella nhưng dòng nhạc chủ đạo của nhóm là alternative-rock. Thành
**f(x)** (Tiếng Hàn: 에프엑스; ) là một nhóm nhạc nữ Hàn Quốc, được thành lập bởi SM Entertainment năm 2009. Là một nhóm nhạc nữ gồm 5 thành viên đa quốc tịch, trong đó Luna,
**NCT** () là một nhóm nhạc nam Hàn Quốc được thành lập và quản lý bởi công ty SM Entertainment vào năm 2016. và quảng bá bằng nhiều nhóm nhỏ ở nhiều thành phố trên
**Trường Đại học Sân khấu – Điện ảnh Thành phố Hồ Chí Minh** là trường đại học chuyên đào tạo nhóm ngành sân khấu, điện ảnh và nghệ thuật tại Thành phố Hồ Chí Minh.
**Nguyễn Lê Việt Anh** (sinh 8 tháng 9 năm 1981) là một diễn viên người Việt Nam. Anh nổi tiếng với vai Cao Thanh Lâm trong bộ phim _Chạy án_ thuộc loạt phim truyền hình
**Thổ Nhĩ Kỳ** ( ), tên chính thức là nước **Cộng hòa Thổ Nhĩ Kỳ** ( ), thường được gọi ngắn là **Thổ**, là một quốc gia xuyên lục địa, phần lớn nằm tại Tây
**Mai Hồng Ngọc** (sinh ngày 13 tháng 10 năm 1988), thường được biết đến với nghệ danh **Đông Nhi**, là một nữ ca sĩ, nhạc sĩ, nhà sản xuất thu âm kiêm diễn viên người
**Trương Hùng Minh** (sinh ngày 20 tháng 1 năm 1964 tại thị xã Sa Đéc, tỉnh Sa Đéc - nay là thành phố Sa Đéc, tỉnh Đồng Tháp), thường được biết đến với nghệ danh
phải|nhỏ|Trang phục thông thường của người Cáp Nê tại [[Trung Quốc. Ảnh chụp gần Nguyên Dương, tỉnh Vân Nam. ]] **Người Hà Nhì** (tên tự gọi: _Haqniq_, tiếng Hán: 哈尼族 _Hāní zú, Cáp Nê tộc_),
Người Hà Nhì (còn có tên gọi khác như U Ní, Xá U Ní) là một trong số 54 dân tộc sống trên đất nước Việt Nam, gồm 3 nhóm địa phương: Hà Nhì Cồ
**Nhôm** là một nguyên tố hóa học có ký hiệu **Al** và số nguyên tử 13. Nhôm có khối lượng riêng thấp hơn các kim loại thông thường khác, khoảng một phần ba so với
**Nhị thập bát tú** là một thuật ngữ trong thiên văn học phương Đông cổ đại, chỉ 28 chòm sao nằm gần hoàng đạo và xích đạo thiên cầu. Đây là một phần quan trọng
Mối **quan hệ ngoại giao Thổ Nhĩ Kỳ - Israel** được thiết lập tháng 3 năm 1949 khi Thổ Nhĩ Kỳ trở thành quốc gia đa số người Hồi giáo đầu tiên (trước Iran vào
**Người Duy Ngô Nhĩ** hay **Người Uyghur** (tiếng Uyghur: ئۇيغۇرلار (chữ Ả Rập), уйғурлар (chữ Kirin), tiếng Trung ) là một sắc tộc người Turk sống chủ yếu ở khu tự trị Tân Cương, Trung
Được đặt tên theo nhà toán học người Anh Arthur Cayley, **Bảng Cayley** (hay còn được gọi là **bảng nhân nhóm**) được dùng để mô tả cấu trúc của một nhóm hữu hạn bằng cách
**Cáp Nhĩ Tân** là một địa cấp thị và thủ phủ của tỉnh Hắc Long Giang ở phía Đông Bắc Trung Quốc. Cáp Nhĩ Tân là thành phố đông dân thứ 8 của Trung Quốc
Mùa giải thứ bảy của cuộc thi truyền hình thực tế **Giọng hát Việt nhí** được phát sóng vào ngày 20 tháng 7 năm 2019. Đây là mùa thi thứ hai có sự thay đổi
**Đệ nhị Cộng hòa Ba Lan**, quốc hiệu là **Cộng hòa Ba Lan** ()**,** là một quốc gia ở Trung và Đông Âu, tồn tại từ ngày 7 tháng 10 năm 1918 đến ngày 6
Mùa giải thứ sáu của cuộc thi truyền hình thực tế **Giọng hát Việt nhí** được phát sóng vào ngày 8 tháng 9 năm 2018. Đây là mùa thi có sự đổi mới trong số
right|thumb|Đồ thị Cayley của [[nhóm tự do trên hai phần tử sinh _a_ và _b_]] Trong toán học, **đồ thị Cayley**, hay còn gọi là **đồ thị tô màu Cayley**, **biểu đồ Cayley**, **biểu đồ
**Giải bóng đá Hạng Nhì Quốc gia 1997** là mùa giải đầu tiên của Giải bóng đá Hạng Nhì Quốc gia do Liên đoàn bóng đá Việt Nam tổ chức và quản lý. Giải đấu
**Vương Gia Nhĩ** (hay **Wang Ka-yee**, giản thể: 王嘉尔, phồn thể: 王嘉爾, bính âm: _Wáng Jiā'ěr_, Hangul: 왕 잭슨, tiếng Anh: Jackson Wang, sinh ngày 28 tháng 3 năm 1994), thường được biết đến với
**HKT** là một nhóm nhạc pop người Việt Nam được Hải Âu Entertainment thành lập vào năm 2005 gồm 3 thành viên: Hồ Gia Hùng (trưởng nhóm) cùng Lý Tuấn Kiệt và Phạm Linh Phương
**Trần Thị Diệu Nhi** (sinh ngày 21 tháng 5 năm 1991), thường được biết đến với nghệ danh **Diệu Nhi**, là một nữ diễn viên, nghệ sĩ hài kiêm người dẫn chương trình truyền hình
thế=Các quốc gia đã gửi thông điệp chia buồn, viện trợ nhân đạo sau trận động đất Thổ Nhĩ Kỳ–Syria 2023.|nhỏ|Các quốc gia/vùng lãnh thổ đã gửi thông điệp chia buồn, viện trợ nhân đạo
**Khổng Tuyết Nhi** (giản thể: 孔雪儿, phồn thể: 孔雪兒, bính âm: _Kǒng Xuě Ér_, sinh ngày 30 tháng 4 năm 1996) là một nữ ca sĩ, diễn viên và vũ công người Trung Quốc trực
**Mùa thứ hai** của cuộc thi truyền hình thực tế _**Giọng hát Việt nhí**_ được phát sóng từ ngày 21 tháng 6 đến ngày 4 tháng 10 năm 2014 trên kênh VTV3. Các huấn luyện
**Mùa giải thứ tư** của cuộc thi truyền hình thực tế **_Giọng hát Việt nhí_** đã được phát sóng vào ngày mồng 23 tháng 7 năm 2016 đến ngày 29 tháng 10 năm 2016 trên
**Kinh điển Phật giáo** có số lượng cực kỳ lớn, thậm chí xưa lấy 84.000 để ước chừng tượng trưng về số lượng pháp uẩn. Kinh văn Phật giáo truyền miệng hoặc được viết ở
**Đại chiến Thổ Nhĩ Kỳ** (Tiếng Đức: _Großer Türkenkrieg_), còn được gọi là **Chiến tranh Liên đoàn Thần thánh** (Tiếng Thổ Nhĩ Kỳ: _Kutsal İttifak Savaşları_), là một loạt các cuộc xung đột giữa Đế
**_Giọng hát Việt nhí_** là một cuộc thi ca hát tương tác truyền hình thực tế do Ban Sản xuất các chương trình Giải trí, Đài Truyền hình Việt Nam và Công ty Trách nhiệm
Mùa giải thứ năm của cuộc thi truyền hình thực tế **Giọng hát Việt nhí** được phát sóng vào ngày 12 tháng 8 năm 2017. Các huấn luyện viên của mùa thi này gồm Vũ
**Nhóm ngôn ngữ Khương**, trước đây gọi là **Nhóm ngôn ngữ Dzorgai**, là một nhóm ngôn ngữ Hán-Tạng. Những ngôn ngữ này hiện diện ở miền đông nam Trung Quốc (Tứ Xuyên, Tây Tạng, Vân
**Karl XII của Thụy Điển** (tiếng Thụy Điển: _Karl XII av Sverige_; 17 tháng 6 năm 1682 – 30 tháng 11 năm 1718), còn được biết đến dưới tên gọi **Carl XII** (hay **Charles XII**
**Mùa giải thứ ba** của cuộc thi truyền hình thực tế **_Giọng hát Việt nhí_** được phát sóng vào ngày 18 tháng 7 năm 2015 trên kênh VTV3, Đài Truyền hình Việt Nam. Các huấn