Trong toán học, một nhóm giải được là một nhóm có thể được xây dựng từ các nhóm abelian bằng một chuỗi các mở rộng hữu hạn.

Động lực

Về mặt lịch sử, từ "giải được" có nguồn gốc từ lý thuyết Galois và chứng minh của tính-không-giải-được-bằng-căn-thức của các đa thức bậc năm. Cụ thể hơn, một đa thức là giải được bằng căn thức khi và chỉ khi nhóm Galois của nó là một nhóm giải được (lưu ý rằng định lý này chỉ đúng với đặc số 0). Tức là tương ứng với một đa thức $f\; \backslash in\; F[x]$, ta có một dãy các mở rộng trường

$F\; =\; F\_0\; \backslash subset\; F\_1\; \backslash subset\; F\_2\; \backslash subset\; \backslash cdots\; \backslash subset\; F\_m=K$

$F$i = F{i-1}[\alpha_i] với $\backslash alpha\_i^\{m$i} \in F{i-1}, tức là $\backslash alpha\_i$ là một nghiệm của phương trình $x^\{m$i} - a với $a\; \backslash in\; F${i-1}

$F\_m$ chứa một trường phân rã của $f(x)$

Ví dụ

Mở rộng Galois nhỏ nhất của $\backslash mathbb\{Q\}$ chứa phần tử

$a\; =\; \backslash sqrt[5]\{\backslash sqrt\{2\}\; +\; \backslash sqrt\{3$

$\backslash mathbb\{Q\}\; \backslash subset\; \backslash mathbb\{Q\}(\backslash sqrt\{2\},\; \backslash sqrt\{3\})\; \backslash subset\; \backslash mathbb\{Q\}(\backslash sqrt\{2\},\; \backslash sqrt\{3\})(e^\{2\backslash pi\; i/\; 5\}\backslash sqrt[5]\{\backslash sqrt\{2\}\; +\; \backslash sqrt\{3)$.

Định nghĩa

Một nhóm G được gọi là giải được nếu tồn tại một chuỗi hợp thành:

: $\{e\}\; =\; G\_0\backslash triangleleft\; G$1\triangleleft \ldots\triangleleft G{n-1}\triangleleft G_n = G

sao cho nhóm thương G/G là nhóm giao hoán với mọi i.