✨Nhóm đồng luân của các hình cầu

nhỏ|Quấn một hình cầu hai chiều quanh một hình cầu khác. Trong toán học, và cụ thể hơn là trong tô pô đại số, các nhóm đồng luân của hình cầu là các bất biến mô tả, một cách đại số, những cách mà các hình cầu $n$ chiều và $k$ chiều có thể quấn quanh nhau. Khái niệm này, vốn ban đầu được xác định cho các mặt cầu 1 chiều (vòng tròn) và 2 chiều (hình cầu), được khái quát cho các mặt cầu $n$ chiều.

Định nghĩa

Nhóm đồng luân bậc $j$ của hình cầu $n$ chiều $\backslash mathbb\; S^n$, là tập hợp, ký hiệu $\backslash pi\_j(\backslash mathbb\; S^n)\; =[\backslash mathbb\{S\}^j\backslash to\backslash mathbb\; S^n]$, các lớp đồng luân của các hàm liên tục giữa hai hình cầu sao cho một điểm cố định của hình cầu $\backslash mathbb\{S\}^j$ được gửi tới một điểm cố định của hình cầu $\backslash mathbb\; S^n$ (gọi là hai điểm cơ sở).

Tập hợp $\backslash pi\_j(\backslash mathbb\; S^n)$ có thể được trang bị một cấu trúc nhóm abel.

Nếu , nhóm này là nhóm tầm thường: $\backslash pi\_j(\backslash mathbb\; S^n)=\{0\}$.

Nếu $j=n$, ta có $\backslash pi\_n(\backslash mathbb\; S^n)=\backslash Z$ (có thể chứng minh bằng định lý Hurewicz).

1 chiều: các nhóm đồng luân của đường tròn

Ta có:

• $\backslash pi\_1(\backslash mathbb\; S^1)=\backslash Z$;
• $\backslash pi\_q(\backslash mathbb\; S^1)=0\backslash quad$với$\backslash quad\; q\backslash ge2$.

2 chiều và 3 chiều

Các hình cầu có ít nhất hai chiều là đơn liên, nói riêng:

: $\backslash pi\_1(\backslash mathbb\; S^2)=\backslash pi\_1(\backslash mathbb\; S^3)=0$

Với mọi $n$ lớn hơn hoặc bằng 3, ta có: $\backslash pi\_2(\backslash mathbb\; S^n)=0$, nói riêng:

: $\backslash pi\_2(\backslash mathbb\; S^3)=0$

Với mọi $n$, ta có: $\backslash pi\_n(\backslash mathbb\; S^n)=\backslash Z$, nói riêng:

: $\backslash pi\_2(\backslash mathbb\; S^2)=\backslash Z$, : $\backslash pi\_3(\backslash mathbb\; S^3)=\backslash Z$.

nhỏ|Biểu diễn ba chiều của một phần thành thớ Hopf

Thành thớ Hopf

: $\backslash pi\_i(\backslash mathbb\; S^3)\backslash simeq\backslash pi\_i(\backslash mathbb\; S^2)$ với $i\backslash ge3$,

nói riêng

: $\backslash pi\_3(\backslash mathbb\; S^2)=\backslash pi\_3(\backslash mathbb\; S^3)=\backslash Z$

Với các nhóm đồng luân bậc cao hơn, nhiều kỹ thuật khác cho ta các kết quả sau

• $\backslash pi\_4(\backslash mathbb\; S^2)=\backslash pi\_4(\backslash mathbb\; S^3)=\backslash Z/(2)$
• $\backslash pi\_5(\backslash mathbb\; S^2)=\backslash pi\_5(\backslash mathbb\; S^3)=\backslash Z/(2)$
• $\backslash pi\_6(\backslash mathbb\; S^2)=\backslash pi\_6(\backslash mathbb\; S^3)=\backslash Z/(12)$

Chiều cao hơn

Bảng

Tính toán các nhóm đồng luân của các hình cầu nói chung là phức tạp. Bảng sau tóm gọn lại kết quả thu được.

Ổn định khi số chiều lớn

Bảng đồng luân của $\backslash pi\_\{n+k\}(\backslash mathbb\; S^n)$ dễ nhìn hơn:

Với số chiều đủ lớn, ta có

• $\backslash pi\_n(\backslash mathbb\; S^n)=\backslash Z,\backslash quad\; n\backslash ge1$ (cột đầu tiên màu vàng của bảng trên)
• $\backslash pi\_\{n+1\}(\backslash mathbb\; S^n)=\backslash Z/(2),\backslash quad\; n\backslash ge3$ (cột thứ hai - màu tím - của bảng trên)
• $\backslash pi\_\{n+2\}(\backslash mathbb\; S^n)=\backslash Z/(2),\backslash quad\; n\backslash ge2$ (cột thứ ba - màu lam - của bảng trên)

Hóa ra là $\backslash Gamma$k=\pi{n+k}(\mathbb S^n) không phụ thuộc vào $n$ với $n$ đủ lớn. Hiện tượng này được gọi là sự ổn định. Nó xuất phát từ định lý suspension Freudenthal sau đây:

• Các đồng cấu suspension $S:\backslash pi${n+k}(\mathbb S^n)\to\pi{n+k+1}(\mathbb S^{n+1}) là một đẳng cấu với $n\backslash ge\; k+2$
• và là một toàn cấu (theo nghĩa một đồng cấu toàn ánh) với $n=k+1$.

Danh sách các nhóm đồng luân ổn định

Các nhóm ổn định đầu tiên $\backslash Gamma$k=\pi{2k+2}(\mathbb S^{k+2})=\pi_{n+k}(\mathbb S^n),\quad n\ge k+2 là như sau:

• $\backslash Gamma\_\{-j\}=\backslash pi\_\{n-j\}(\backslash mathbb\; S^n)=0,$
• $\backslash Gamma\_0=\backslash pi\_n(\backslash mathbb\; S^n)=\backslash Z,\backslash quad\; n\backslash ge1$
• $\backslash Gamma\_1=\backslash pi\_\{n+1\}(\backslash mathbb\; S^n)=\backslash Z/(2),\backslash quad\; n\backslash ge3$
• $\backslash Gamma\_2=\backslash pi\_\{n+2\}(\backslash mathbb\; S^n)=\backslash Z/(2),\backslash quad\; n\backslash ge2$
• $\backslash Gamma\_3=\backslash pi\_\{n+3\}(\backslash mathbb\; S^n)=\backslash Z/(24),\backslash quad\; n\backslash ge5$
• $\backslash Gamma\_4=\backslash pi\_\{n+4\}(\backslash mathbb\; S^n)=0,\backslash quad\; n\backslash ge6$
• $\backslash Gamma\_5=\backslash pi\_\{n+5\}(\backslash mathbb\; S^n)=0,\backslash quad\; n\backslash ge7$
• $\backslash Gamma\_6=\backslash pi\_\{n+6\}(\backslash mathbb\; S^n)=\backslash Z/(2),\backslash quad\; n\backslash ge5$
• $\backslash Gamma\_7=\backslash pi\_\{n+7\}(\backslash mathbb\; S^n)=\backslash Z/(240),\backslash quad\; n\backslash ge9$
• $\backslash Gamma\_8=\backslash pi\_\{n+8\}(\backslash mathbb\; S^n)=\backslash Z/(2)\backslash oplus\backslash Z/(2),\backslash quad\; n\backslash ge10$

Các nhóm đồng luân ổn định là hữu hạn ngoại trừ $k=0$.

Từ $k=23$, $\backslash Gamma\_k$ trở nên phức tạp, ví dụ:

: $\backslash Gamma${23}=\Z{65520}\oplus\Z{24}\oplus\Z{2} : $\backslash Gamma${23}=\Z{16}\oplus\Z_8\oplus\Z_2\oplus\Z_9\oplus\Z_3\oplus\Z_5\oplus\Z7\oplus\Z{13}

Các nhóm đồng luân không ổn định

Một số nhóm đồng luân không ổn định:

• Với chiều 2 và 3 ($\backslash pi\_k(\backslash mathbb\; S^2)=\backslash pi\_k(\backslash mathbb\; S^3)$): $\backslash pi\_3(\backslash mathbb\; S^2)=\backslash pi\_3(\backslash mathbb\; S^3)=\backslash Z$ $\backslash pi\_5(\backslash mathbb\; S^2)=\backslash pi\_5(\backslash mathbb\; S^3)=\backslash pi\_4(\backslash mathbb\; S^2)=\backslash Z/(2)$ ** $\backslash pi\_6(\backslash mathbb\; S^2)=\backslash pi\_6(\backslash mathbb\; S^3)=\backslash Z/(12)$
• Với chiều 4: $\backslash pi\_7(\backslash mathbb\; S^4)=\backslash Z/(12)\backslash oplus\backslash Z$

Nhóm đồng luân vô hạn

Các nhóm đồng luân ổn định $\backslash pi\_\{n+k\}(\backslash mathbb\; S^n)$ là hữu hạn ngoại trừ $k=0$ (($\backslash Gamma\_0=\backslash Z$).

Các nhóm đồng luân không ổn định là hữu hạn ngoại trừ các nhóm $\backslash pi\_\{4p-1\}(\backslash mathbb\; S^\{2p\})$ (với p > 0). Những nhóm này $\backslash pi\_3(\backslash mathbb\; S^2)$, $\backslash pi$7(\mathbb S^4), $\backslash pi${11}(\mathbb S^6),...) đẳng cấu với tổng trực tiếp của $\backslash Z$ và một nhóm hữu hạn.