✨Hàm ngược

thumb|Hàm và nghịch đảo của nó . Bởi ánh xạ sang 3, nghịch đảo ánh xạ 3 quay lại về .

Trong toán học, hàm ngược của hàm (hay còn gọi là nghịch đảo của ) là hàm hoàn tác lại tính toán của hàm . Nghịch đảo chỉ tồn tại khi và chỉ khi là song ánh, và nếu nó tồn tại thì nghịch đảo đó được ký hiệu là $f^\{-1\}\; .$

Cho hàm $f\backslash colon\; X\backslash to\; Y$, nghịch đảo $f^\{-1\}\backslash colon\; Y\backslash to\; X$ được mô tả như sau: hàm gửi mỗi phần tử $y\backslash in\; Y$ sang duy nhất một phần tử $x\backslash in\; X$ sao cho .

Lấy ví dụ, xét hàm thực trả về giá trị thực sau: . Ta có thể hiểu là hàm số nhân giá trị đầu vào với 3 rồi trừ đi 4 khỏi kết quả. Để lấy về giá trị gốc từ kết quả, ta làm ngược lại bằng cách thêm 4 vào đầu vào rồi chia kết quả cho 3. Khi đó nghịch đảo của là hàm $f^\{-1\}\backslash colon\; \backslash R\backslash to\backslash R$ được định nghĩa bởi: $f^\{-1\}(y)\; =\; \backslash frac\{y+4\}\{3\}\; .$

Định nghĩa

thumb|Nếu ánh xạ sang , thì ánh xạ ngược lại về .

Gọi là hàm số mà miền của nó là tập , và đối miền của nó là tập . Khi đó, được gọi là khả nghịch nếu tồn tại hàm từ sang sao cho $g(f(x))=x$ với mọi $x\backslash in\; X$ và $f(g(y))=y$ với mọi $y\backslash in\; Y$.

Nếu khả nghịch, thì chỉ có duy nhất một hàm thoả mãn tính chất. Hàm được gọi là nghịch đảo (hay hàm ngược) của , và thường được ký hiệu là , ký hiệu này được giới thiệu bởi John Frederick William Herschel trong 1813.

Thật vậy, để giữ và dùng chung ký hiệu này, một số tác giả người Anh đã viết các biểu thức như để ký hiệu hàm ngược của hàm sin cho (thực ra là nghịch đảo riêng phần; xem dưới).Song, nhiều tác giả khác nhận thấy các biểu thức này dễ nhầm lẫn với nghịch đảo phép nhân của , mặc dù có thể ký hiệu là . Hàm ngược này được gọi là căn bậc hai (dương) và được ký hiệu là $x\backslash mapsto\backslash sqrt\; x$.