Ký hiệu Jacobi là tổng quát hóa của ký hiệu Legendre. Nó được sử dụng trong lý thuyết số và được đặt theo tên nhà toán học Carl Gustav Jakob Jacobi.

Định nghĩa

Ký hiệu Jacobi

$\backslash left(\backslash frac\{a\}\{n\}\backslash right)$ sử dụng dạng phân tích tiêu chuẩn của số đứng dưới. Nó được định nghĩa như sau:

:::Giả sử n > 0 là số tự nhiên lẻ và $p\_1^\{\backslash alpha\_1\}p\_2^\{\backslash alpha\_2\}\backslash cdots\; p\_k^\{\backslash alpha\_k\}$ là dạng phân tích tiêu chuẩn của n.

Với số nguyên a bất kỳ, ký hiệu Jacobi $\backslash left(\backslash frac\{a\}\{n\}\backslash right)\; =\; \backslash left(\backslash frac\{a\}\{p\_1\}\backslash right)^\{\backslash alpha\_1\}\backslash left(\backslash frac\{a\}\{p\_2\}\backslash right)^\{\backslash alpha\_2\}\backslash cdots\; \backslash left(\backslash frac\{a\}\{p\_k\}\backslash right)^\{\backslash alpha\_k\}$ trong đó tất cả các ký hiệu bên vế phải là Ký hiệu Legendre.

Các tính chất của ký hiệu Jacobi

Các tính chất sau thường dùng để tính nhanh ký hiệu Jacobi:

Nếu n là số nguyên tố thì ký hiệu Jacobi là ký hiệu Legendre.

$$

\left(\frac{a}{n}\right)\in {0,1,-1}

#$\backslash left(\backslash frac\{a\}\{n\}\backslash right)\; =\; 0$ nếu $\backslash gcd\; (a,n)\; \backslash neq\; 1$ #$\backslash left(\backslash frac\{ab\}\{n\}\backslash right)\; =\; \backslash Bigg(\backslash frac\{a\}\{n\}\backslash Bigg)\backslash left(\backslash frac\{b\}\{n\}\backslash right)$ # $\backslash left(\backslash frac\{a\}\{mn\}\backslash right)=\backslash left(\backslash frac\{a\}\{m\}\backslash right)\backslash left(\backslash frac\{a\}\{n\}\backslash right)$. Điều này dẫn tới $\backslash left(\backslash frac\{a\}\{n^2\}\backslash right)$ là 0 hoặc 1 với số nguyên _a_ bất kỳ và số tự nhiên lẻ _n_ bất kỳ. #Nếu _a_ ≡ _b_ (mod _n_), thì $\backslash Bigg(\backslash frac\{a\}\{n\}\backslash Bigg)\; =\; \backslash left(\backslash frac\{b\}\{n\}\backslash right)$ #$\backslash left(\backslash frac\{1\}\{n\}\backslash right)\; =\; 1$ # # #$\backslash left(\backslash frac\{m\}\{n\}\backslash right)\backslash left(\backslash frac\{n\}\{m\}\backslash right)\; =\; (-1)^\{\backslash frac\{(m-1)(n-1)\}\{4$ nếu _m_ vàd _n_ là các số tự nhiên lẻ.

Tính chất sau cùng thường được biết với tên giống như trong ký hiệu Legendre: luật thuận nghịch bình phương.

Lưu ý

Có hai tính chất đúng với ký hiệu Legendre nhưng không thể mở rộng cho ký hiệu Jacobi.

Thứ nhất, nếu $\backslash left(\backslash frac\{a\}\{n\}\backslash right)\; =\; -1$ thì a không là thặng dư bậc hai của n vì a không là thặng dư bậc hai của một số thừa số của n. Tuy nhiên, ngược lại khi $\backslash left(\backslash frac\{a\}\{n\}\backslash right)\; =\; 1$ a chưa chắc chắn là thặng dư bậc hai của n. Bởi vì ký hiệu Jacobi là tích của các ký hiệu Legendre, nên có thể có hai ký hiệu Legendre bằng −1 và khi đó ký hiệu Jacobi bằng 1.

Tính chất thứ hai không thể mở rộng gắn với đồng dư thức Euler $\backslash left(\backslash frac\{a\}\{p\}\backslash right)\; \backslash equiv\; a^\{(p-1)/2\}$ mod p với số nguyên tố p và số nguyên a bất kỳ. Một cách tự nhiên đồng dư thức Euler mở rộng từ ký hiệu Legendre sang ký hiệu Jacobi là:

$\backslash left(\backslash frac\{a\}\{n\}\backslash right)\; \backslash equiv\; a^\{(n-1)/2\}$ mod _n_ với hợp số lẻ dương _n_. Tuy nhiên đồng dư thức này là sai với ít nhất một nửa của các _a_ mod _n_ khi _n_ là hợp số. Tỷ lệ này là cơ sở của thuật toán kiểm tra Solovay-Strassen kiểm tra tính nguyên tố theo xác suất.

Ví dụ

$\backslash left\; (\backslash frac\{37035\}\{331\}\backslash right)$ $=\backslash left\; (\backslash frac\{294\}\{331\}\backslash right)$ $=1\backslash cdot\backslash left\; (\backslash frac\{2\}\{331\}\; \backslash right)\; \backslash left\; (\backslash frac\{147\}\{331\}\backslash right)$ $=-\backslash left\; (\backslash frac\{147\}\{331\}\backslash right)$ $=\backslash left\; (\backslash frac\{331\}\{147\}\backslash right)$ $=\backslash left\; (\backslash frac\{37\}\{147\}\backslash right)$ $=\backslash left\; (\backslash frac\{147\}\{37\}\backslash right)$ $=\backslash left\; (\backslash frac\{36\}\{37\}\backslash right)$ $=\backslash left\; (\backslash frac\{2\}\{37\}\backslash right)\; ^2\; \backslash left\; (\backslash frac\{9\}\{37\}\backslash right)$ $=\backslash left\; (\backslash frac\{37\}\{9\}\backslash right)$ $=\backslash left\; (\backslash frac\{1\}\{9\}\backslash right)=1.$

Vì 331 là số nguyên tố nên từ đó 37035 là thặng dư bậc hai mod 331.

Các hàm liên quan

• Ký hiệu Kronecker là tổng quát hóa của ký hiệu Jacobi cho tất cả các số nguyên.