✨Công thức Faulhaber

Công thức Faulhaber

Công thức Faulhaber được đặt tên nhằm vinh danh nhà toán học Johann Faulhaber. Công thức đó biểu diễn tổng:

:\sum_{k=1}^n k^p = 1^p + 2^p + 3^p + \cdots + n^p

dưới dạng một đa thức bậc (p + 1) với biến  n, và các hệ số liên quan đến số Bernoulli.

Công thức tổng quát:

:\sum{k=1}^n k^p = {1 \over p+1} \sum{j=0}^p (-1)^j C_{p+1}^{j} B_j n^{p+1-j} Trong đó:

chỉ số j có giới hạn trên là p; B_j là các số Bernoulli

B_0 = 1, B_1 = -{1 \over 2}, hoặc B_1 = {1 \over 2} (tùy vào trường hợp cụ thể), B_2 = {1 \over 6}, B_3 = 0, B_4=-{1 \over 30}, \cdots

*C_{p+1}^j = {(p+1)! \over j!(p+1-j)!} là tổ hợp chập j của (p+1), còn được ký hiệu là {p+1 \choose j} .

Ví dụ:

p = 2,

\sum_{k=1}^n k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = {n(n+1)(2n+1) \over 6} = {1 \over 3} n^3 + {1 \over 2} n^2 + {1 \over 6} n là một đa thức bậc 3 biến  _n_ và các hệ số {1 \over 3}, {1 \over 2}, {1 \over 6}, 0 \sum_{k=1}^n k^2 = {1 \over 3}. [(-1)^0.C_{3}^0.B_0.n^{3-0} + (-1)^1.C_{3}^1.B_1.n^{3-1} + (-1)^2.C_{3}^2.B_2.n^{3-2} + (-1)^3.C_{3}^3.B_3.n^{3-3}] = {1 \over 3} n^3 + {1 \over 2} n^2 + {1 \over 6} n .

Bản thân Faulhaber không biết công thức tổng quát trên, ông chỉ tính tổng:\sum_{k=1}^n k^p với 17 giá trị đầu tiên của p, và rút ra một số nhận xét. Mãi sau này, công thức tổng quát mới được tìm ra khi người ta đã biết đến số Bernoulli.

Ví dụ

:1 + 2 + 3 + \cdots + n = {n(n+1) \over 2} = {n^2 + n \over 2} (số tam giác)

:1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = {n(n+1)(2n+1) \over 6} = {2n^3 + 3n^2 + n \over 6} (số hình chóp vuông (tiếng Anh là square pyramidal number)) :1^3 + 2^3 +3^3 + \cdots + n^3 = \left({n^2 + n \over 2}\right)^2 = {n^4 + 2n^3 + n^2 \over 4} (số tam giác vuông (tiếng Anh là squared triangular number))

:1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + n^4 = {6n^5 + 15n^4 + 10n^3 - n \over 30}

:1^5 + 2^5 + 3^5 + \cdots + n^5 = {2n^6 + 6n^5 + 5n^4 - n^2 \over 12}

:1^6 + 2^6 + 3^6 + \cdots + n^6 = {6n^7 + 21n^6 + 21n^5 -7n^3 + n \over 42}

Liên hệ với đa thức Bernoulli

Công thức tổng quát cũng có thể được viết dưới dạng:

:\sum{k=0}^{n} k^p = \frac{\varphi{p+1}(n+1)-\varphi_{p+1}(0)}{p+1},

với φj là đa thức Bernoulli bậc j.

Đa thức Faulhaber

Một số tác giả sử dụng thuật ngữ đa thức Faulhaber để chỉ một dạng đa thức tổng quát khác. Bản thân Faulhaber nhận xét rằng, nếu p lẻ thì tổng:

:1^p + 2^p + 3^p + \cdots + n^p\,

là đa thức với biến là :a=1+2+3+\cdots+n.\,

Ví dụ:

:1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = a^2\,

:1^5 + 2^5 + 3^5 + \cdots + n^5 = {4a^3 - a^2 \over 3}

:1^7 + 2^7 + 3^7 + \cdots + n^7 = {12a^4 -8a^3 + 2a^2 \over 6}

:1^9 + 2^9 + 3^9 + \cdots + n^9 = {16a^5 - 20a^4 +12a^3 - 3a^2 \over 5}

:1^{11} + 2^{11} + 3^{11} + \cdots + n^{11} = {32a^6 - 64a^5 + 68a^4 - 40a^3 + 10a^2 \over 6}.

Trường hợp p = 3, còn được biết đến với tên gọi Định lý Nicomachus.

Các đa thức ở vế phải còn được gọi là đa thức Faulhaber với biến a. Chúng đều chia được cho a 2 bởi vì với j > 1 lẻ thì số Bernoulli Bj bằng 0.

Faulhaber đã biết rằng với bậc p lẻ, nếu tổng được viết dưới dạng: :\sum_{k=1}^n k^{2m+1} = \frac{c_1}2 a^2+\frac{c_2}3 a^3+\cdots+\frac{cm}{m+1}a^{m+1} thì với bậc p chẵn tổng sẽ có dạng: :\sum{k=1}^n k^{2m} = \frac{n+1/2}{2m+1}(c_1 a+c_2 a^2+\cdots+c_m a^m).

a = n(n + 1)/2, nên với bậc p lẻ (lớn hơn 1), tổng là 1 đa-thức biến n có-chứa các nhân tử n2 and (n + 1)2, còn nếu p chẵn thì tổng sẽ là đa thức có chứa nhân tử n, n + ½ và n + 1.

Công thức Faulhaber có thể gặp trong tự nhiên. Ví dụ, số hiệu nguyên tử của các nguyên tố hóa học thuộc nhóm kim loại kiềm thổ (Be, Ca, Ba) thỏa-mãn công-thức (4/3)n(n + 1/2)(n + 1), với n là số thứ tự của các kim loại này trong nhóm.

Lịch sử

Công thức Faulhaber còn có tên gọi khác là công thức Bernoulli. Bản thân Faulhaber không biết công thức ở dạng tổng quát. Ông chỉ tính tổng với 17 giá trị đầu tiên của bậc p, và rút ra một vài tính chất của dạng tổng quát.

Faulhaber nhận ra rằng với bậc p lẻ,

: 1^p + 2^p + \cdots + n^p

là đa thức không chỉ với biến n mà còn nhận số tam giác N = n(n + 1)/2 làm biến. Ví dụ, ông nhận xét:

: 1 + 2 + \cdots + n = N;

: 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = N \left(2n+1\right) /3;

: 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = N^2.

Những công thức trên chỉ là nhận xét của Faulhaber rút ra khi nghiên cứu các giá trị cụ thể của p. Chứng minh chặt chẽ cho các công thức đó với mọi bậc p lẻ mãi đến năm 1834 mới được đưa ra bởi nhà toán học Carl Jacobi

👁️ 0 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚
**Công thức Faulhaber** được đặt tên nhằm vinh danh nhà toán học Johann Faulhaber. Công thức đó biểu diễn tổng: :\sum_{k=1}^n k^p = 1^p + 2^p + 3^p + \cdots + n^p dưới dạng một
Trong toán học, công **thức Euler-Maclaurin** là một công thức cho sự khác biệt giữa một tích phân và tổng có liên quan chặt chẽ. Nó có thể được sử dụng để tính gần đúng
**Johann Faulhaber** là một nhà toán học. Ông nổi tiếng với Công thức Faulhaber. Sinh tại Ulm, Faulhaber là một thợ dệt được đào tạo sau này vai trò của một giám định viên của
Bài này nói về từ điển các chủ đề trong toán học. ## 0-9 * -0 * 0 * 6174 ## A * AES * ARCH * ARMA * Ada Lovelace * Adrien-Marie Legendre *
nhỏ|Sáu số tam giác đầu tiên Số tam giác là số tự nhiên có giá trị bằng tổng các số điểm chấm xuất hiện trong một tam giác đều được sắp xếp bởi các điểm
Ngày **5 tháng 3** là ngày thứ 64 (65 trong năm nhuận) trong lịch Gregory. Còn 301 ngày trong năm. ## Sự kiện * 1496 – Quốc vương Anh ban giấy ủy quyền cho Giovanni
**Thỏ đầm lầy miền hạ Keys** (Danh pháp khoa học: _Sylvilagus palustris hefneri_) là một phân loài có nguy cơ tuyệt chủng của loài thỏ đồng lầy, phân loài này được đặt theo tên của
**Biển Đức XVI** (cách phiên âm tiếng Việt khác là _Bênêđictô XVI_ hay _Bênêđitô_, xuất phát từ Latinh: _Benedictus_; tên khai sinh là **Joseph Aloisius Ratzinger**; 16 tháng 4 năm 1927 – 31 tháng 12
**_Trong Đế chế Thứ Ba_** (; "Các ký ức") là một cuốn hồi ký được viết bởi Albert Speer, Bộ trưởng Vũ trang của Đức Quốc Xã từ năm 1942 đến năm 1945, phục vụ
Năm 2005, **Winnie** là tên được đặt cho một con mèo lớn được nhìn thấy ở vùng Veluwe của Hà Lan. ## Bị bắt gặp Vào đầu tháng 6 năm 2005, một số trường hợp