✨Công thức tích phân Cauchy

Công thức tích phân Cauchy

Trong toán học, công thức tích phân Cauchy phát biểu tích phân của hàm chỉnh hình trên tập mở có thể được tính bằng giá trị của hàm này tại các điểm trên miền tập mở đã cho, hơn nữa còn cung cấp công cụ để tính đạo hàm của hàm chỉnh hình bằng tích phân. Công thức này được đặt tên dựa trên nhà toán học người Pháp Augustin-Louis Cauchy, là công thức quan trọng của bộ môn giải tích phức.

Cũng từ công thức này, người ta nhận thấy trong giải tích phức thì đạo hàm và tích phân là tương đương nhau, có hành vi nếu hội tụ đều cũng giống nhau - điều không xảy ra trong bộ môn giải tích thực.

Phát biểu

Cho là tập mở trong mặt phẳng phức , là đĩa đóng

D = \bigl\{z:|z - z_0| \leq r\bigr\}

sao cho nằm hoàn toàn trong , hàm là hàm chỉnh hình và là biên (được định hướng ngược chiều kim đồng hồ) của . Khi này, với mọi điểm là điểm trong của ,

f(a) = \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)}{z-a}\,dz.\,

Chứng minh công thức này sử dụng đến định lí tích phân Cauchy, hơn nữa cũng giống với định lí này thì hàm chỉ cần là hàm khả vi phức. Hơn nữa, do hàm $1/(z-a)$ có thể khai triển được thành chuỗi lũy thừa theo biến :

\frac{1}{z-a} = \frac{1+\frac{a}{z}+\left(\frac{a}{z}\right)^2+\cdots}{z},

ta rút ra được hàm chỉnh hình luôn giải tích, tức là mọi hàm chỉnh hình đều có thể khai triển được thành các chuỗi lũy thừa, hay trong tình huống này là khả vi mọi cấp với công thức

f^{(n)}(a) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)}{\left(z-a\right)^{n+1\,dz.

Sơ lược chứng minh

Bằng việc sử dụng định lí tích phân Cauchy, có thể chỉ ra được rằng tích phân trên bằng với tích phân lấy trên một đường tròn với bán kính nhỏ tùy ý bao quanh . Hơn nữa, do liên tục, ta luôn có thể chọn được một mặt cầu nhỏ tùy ý sao cho khoảng cách của với là nhỏ tùy ý. Hơn nữa, tích phân

\oint_C  \frac{1}{z-a} \,dz = 2 \pi i,

với mọi đường tròn bao quanh (ta có thể tính tích phân này bằng việc viết lại phương trình tham số của dưới dạng )

Cho , ta có

\begin{align}
\left | \frac{1}{2 \pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z-a} \,dz  - f(a) \right |
&= \left | \frac{1}{2 \pi i} \oint_C \frac{f(z)-f(a)}{z-a} \,dz \right | \\[1ex]
&= \left | \frac{1}{2\pi i}\int_0^{2\pi}\left(\frac{f\bigl(z(t)\bigr)-f(a)}{\varepsilon e^{it\cdot\varepsilon e^{it} i\right )\,dt\right | \\[1ex]
&\leq \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2\pi} \frac{ \left|f\bigl(z(t)\bigr) - f(a)\right| } {\varepsilon} \,\varepsilon\,dt \\[1ex]
&\leq \max_{|z-a|=\varepsilon} \left|f(z) - f(a)\right|
~~ \xrightarrow[\varepsilon\to 0]{} ~~ 0.
\end{align}

👁️ 0 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚

💫 Công thức tích phân Cauchy

Trong toán học, **công thức tích phân Cauchy** phát biểu tích phân của hàm chỉnh hình trên tập mở có thể được tính bằng giá trị của hàm này tại các điểm trên miền tập

💫 Công thức tích phân lặp của Cauchy

Trong giải tích, **công thức tích phân lặp Cauchy**, đặt tên theo Augustin Louis Cauchy, cho phép ta biến nguyên hàm thứ của một hàm số thành một tích phân duy nhất. ## Phát biểu

💫 Quy tắc tích phân Leibniz

Trong vi tích phân, **quy tắc Leibniz** cho đạo hàm dưới dấu tích phân, đặt tên theo nhà toán học Gottfried Leibniz, phát biểu rằng với một tích phân với dạng :

\ \int\limits_{a(x)}^{b(x)} f(x,t)\,dt

với

💫 Tích phân

Tích phân xác định được định nghĩa như diện tích _S_ được giới hạn bởi đường cong _y_=_f_(_x_) và trục hoành, với _x_ chạy từ _a_ đến _b_ **Tích phân** (Tiếng Anh: _integral_) là một

💫 Tích phân suy rộng

💫 Augustin-Louis Cauchy

Nam tước **Augustin-Louis Cauchy** (21 tháng 8, 1789 - 23 tháng 5, 1857) là một nhà toán học, nhà vật lý, kỹ sư người Pháp. Ông vào học Trường Bách khoa Paris (_École Polytechnique_) lúc

💫 Hàm chỉnh hình

right|thumb|Một lưới hình chữ nhật (trên) và ảnh của nó qua một [[ánh xạ bảo giác (dưới).]] Trong toán học, một **hàm chỉnh hình** (**ánh xạ bảo giác**) là một hàm nhận giá trị phức

💫 Vi phân

nhỏ|200x200px| Biểu đồ của một hàm, được vẽ bằng màu đen và một đường tiếp tuyến của hàm đó, được vẽ bằng màu đỏ. Độ dốc của đường tiếp tuyến bằng với đạo hàm của

💫 Số thực

right|thumb|Kí hiệu tập hợp **số thực** (ℝ) Trong toán học, một **số thực** là một giá trị của một đại lượng liên tục có thể biểu thị một khoảng cách dọc theo một đường thẳng

💫 Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz

Trong đại số và giải tích, **bất đẳng thức Cauchy-Schwarz** (cũng gọi là **bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz**) phát biểu rằng trị tuyệt đối của tích vô hướng của hai vector luôn nhỏ hơn hoặc bằng

💫 Phân phối chuẩn

\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!| cdf =

\frac12 \left(1 + \mathrm{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\right) \!

| mean =

\mu

| median =

\mu

| mode =

\mu

| variance =

\sigma^2

| skewness = 0| kurtosis =

0

| entropy =

\ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)\!

| mgf =

M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)

| char =

\phi_X(t)=\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)

| **Phân phối

💫 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

thumb|Biểu đồ Nyquist của

G(s)=\frac{1}{s^2+s+1}

. Trong lý thuyết điều khiển tự động và lý thuyết ổn định, **tiêu chuẩn ổn định Nyquist**, được phát minh bởi kỹ sư điện người Thụy Điển-Mỹ Harry Nyquist tại

💫 Phân phối xác suất

Trong toán học và thống kê, một **phân phối xác suất** hay thường gọi hơn là một **hàm phân phối xác suất** là quy luật cho biết cách gán mỗi xác suất cho mỗi khoảng

💫 Giải tích toán học

nhỏ|Khu vực hấp dẫn kỳ lạ phát sinh từ một [[phương trình vi phân. Phương trình vi phân là một lĩnh vực quan trọng của giải tích toán học với nhiều ứng dụng cho khoa

💫 Pi

Số **pi** (ký hiệu: ****), còn gọi là **hằng số Archimedes**, là một hằng số toán học có giá trị bằng tỷ số giữa chu vi của một đường tròn với đường kính của đường

💫 Định thức Brahmagupta–Fibonacci

Trong đại số, **định thức Brahmagupta–Fibonacci** biến tích của hai tổng hai số chính phương thành tổng của hai số chính phương dưới hai cách khác nhau. Cụ thể hơn, định lý phát biểu :

\begin{align}

💫 Chuỗi Laurent

frame|Một chuỗi Laurent được xác định quanh điểm c và một đường đi γ. Đường đi của γ phải nằm trong một miền (màu đỏ), trong đó thì hàm phức f(z) là hàm giải tích

💫 Phương trình vi phân

**Phương trình vi phân** là một phương trình toán học nhằm biểu diễn mối quan hệ giữa một hàm chưa được biết (một hoặc nhiều biến) với đạo hàm của nó (có bậc khác nhau).

💫 Độ cong

Trong hình học, **độ cong** thể hiện sự lệch hướng tại một điểm trên đường cong, mặt cong hay không gian Riemann nói chung. ## Độ cong của một đường cong ### Định nghĩa Theo

💫 Liên hệ Kramers–Kronig

Trong toán học và vật lý học, một **liên hệ Kramers-Kronig** cho biết quan hệ giữa phần thực của một hàm giải tích phức với một tích phân chứa phần ảo của nó; và ngược

💫 Chuỗi (toán học)

Trong toán học, **chuỗi** có thể được nói là, việc cộng lại vô hạn các số lại với nhau bất đầu từ số ban đầu. Chuỗi là phần quan trọng của vi tích phân và

💫 Chuỗi lũy thừa hình thức

Trong toán học, một **chuỗi** **lũy thừa hình thức** là một sự khái quát của đa thức, trong đó số các số hạng có thể là vô hạn mà không có yêu cầu nào về

💫 Bất đẳng thức Nesbitt

Trong toán học, **bất đẳng thức Nesbitt** (tiếng Anh: Nesbitt's inequality) là một trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Shapiro khi số phần tử là 3. Nó được phát biểu như sau: Cho

💫 Định lý giá trị trung bình

thumb|300 px|right|Với mọi hàm số liên tục trên

[a,b]

và khả vi trên

(a,b)

, tồn tại một điểm

c \in (a,b)

sao cho đường thẳng nối hai điểm

(a,f(a))

và

(b,f(b))

song song với tiếp

💫 Hàm liên tục

Trong toán học, một **hàm liên tục** hay **hàm số liên tục** là một hàm số không có sự thay đổi đột ngột trong giá trị của nó, gọi là những điểm gián đoạn. Chính

💫 Không gian Hilbert

Trong toán học, **không gian Hilbert** (Hilbert Space) là một dạng tổng quát hóa của không gian Euclid mà không bị giới hạn về vấn đề hữu hạn chiều. Đó là một không gian có

💫 Dấu hiệu hội tụ

Trong toán học, các **dấu hiệu hội tụ** (hay **tiêu chuẩn hội tụ**) là các phương pháp kiểm tra sự hội tụ, hội tụ có điều kiện, hội tụ tuyệt đối, khoảng hội tụ hay

💫 Quy tắc l'Hôpital

Trong giải tích, **Quy tắc l'Hôpital **(cách viết khác l'Hospital, , phát âm như _Lô-pi-tan_), cũng được gọi là **quy tắc Bernoulli**, là quy tắc sử dụng đạo hàm để tính toán các giới hạn

💫 Không gian định chuẩn

Cùng với khái niệm không gian mêtric, **không gian định chuẩn** cũng đóng vai trò rất quan trọng trong giải tích nói chung và topo nói riêng. ## Sơ lược về không gian định chuẩn

💫 Không gian Banach

Trong toán học, **không gian Banach**, đặt theo tên Stefan Banach người nghiên cứu các không gian đó, là một trong những đối tượng trung tâm của nghiên cứu về giải tích hàm. Nhiều không

💫 Hàm bước Heaviside

nhỏ|325x325px|Hàm bước Heaviside, sử dụng quy ước tối đa một nửa **Hàm bước Heaviside**, hoặc **hàm bước đơn vị**, thường được biểu thị bằng H hoặc θ (nhưng đôi khi bằng u, hoặc ), là

💫 Leonhard Euler

**Leonhard Euler** ( , ; 15 tháng 4 năm 170718 tháng 9 năm 1783) là một nhà toán học, nhà vật lý học, nhà thiên văn học, nhà lý luận và kỹ sư người Thụy

💫 Nguồn gốc của các phương trình Navier–Stokes

Mục đích của bài viết này là làm nổi bật những điểm quan trọng về nguồn gốc của các phương trình Navier–Stokes cũng như các ứng dụng và việc xây dựng công thức cho các

💫 Dãy (toán học)

Trong toán học, **dãy** là một họ có thứ tự các đối tượng toán học và cho phép lặp lại các phần tử trong đó. Giống như tập hợp, nó chứa các phần tử (hay

💫 Giá trị kỳ vọng

Trong lý thuyết xác suất và thống kê, **giá trị kỳ vọng** (Tiếng Anh: _expected value_), **giá trị mong đợi** (hoặc **kỳ vọng toán học**) của một biến ngẫu nhiên là trung bình có trọng

💫 Hàm delta Dirac

nhỏ|Biểu diễn hàm delta Dirac bởi một đoạn thẳng có mũi tên ở đầu. **Hàm delta Dirac** hoặc **Dirac delta** là một khái niệm toán học được đưa ra bởi nhà vật lý lý thuyết

💫 Phương sai

Trong lý thuyết xác suất và thống kê, **phương sai** (Tiếng Anh: _variance_) của một biến ngẫu nhiên là một thước đo sự phân tán thống kê của biến đó, được tính bằng giá trị

💫 Danh sách chủ đề toán học

Bài này nói về từ điển các chủ đề trong toán học. ## 0-9 * -0 * 0 * 6174 ## A * AES * ARCH * ARMA * Ada Lovelace * Adrien-Marie Legendre *

💫 Giới hạn của một dãy

right|thumb|alt=Sơ đồ hình lục giác, ngũ giác và bát giác nội tiếp và ngoại tiếp một đường tròn|Dãy số cho bởi chu vi của một [[đa giác đều _n_ cạnh ngoại tiếp đường tròn có

💫 Lịch sử toán học

_Cuốn [[The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing_]] Từ _toán học_ có nghĩa là "khoa học, tri thức hoặc học tập". Ngày nay, thuật ngữ "toán học" chỉ một bộ phận cụ thể

💫 Giá trị riêng và vectơ riêng

phải|nhỏ|250x250px|Ma trận biến đổi _A_ tác động bằng việc kéo dài vectơ _x_ mà không làm đổi phương của nó, vì thế _x_ là một vectơ riêng của _A_. Trong đại số tuyến tính, một

💫 Ma trận (toán học)

phải|Mỗi phần tử của một ma trận thường được ký hiệu bằng một biến với hai chỉ số ở dưới. Ví dụ, a_2,1 biểu diễn phần tử ở hàng thứ hai và cột thứ nhất

💫 Lý thuyết số

**Lý thuyết số** là một ngành của toán học lý thuyết nghiên cứu về tính chất của số nói chung và số nguyên nói riêng, cũng như những lớp rộng hơn các bài toán mà

💫 Đặc trưng Euler

Trong toán học, và đặc biệt hơn trong tôpô đại số và tổ hợp đa diện, **đặc trưng Euler** (hoặc **đặc trưng Euler-Poincaré**) là một topo bất biến, một số mà nó mô tả hình

💫 Số

nhỏ| [[Tập hợp con (toán học)|Các tập con của số phức. ]] **Số** là một đối tượng toán học được sử dụng để đếm, đo lường và đặt danh nghĩa. Các ví dụ ban đầu

💫 Évariste Galois

**Évariste Galois** (25 tháng 10 năm 1811, Bourg-la-Reine – 31 tháng 5 năm 1832, Paris) là nhà toán học người Pháp. Anh nổi tiếng nhất với lý thuyết Galois - lý thuyết nghiên cứu về

💫 Giới hạn của hàm số

thumb|220x124px | right | Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a

Mặc dù hàm số không được định nghĩa tại , khi tiến

💫 Nhóm (toán học)

thumb|right|Các thao tác bước xoay [[Rubik|khối lập phương Rubik tạo thành nhóm khối lập phương Rubik.]] Trong toán học, một **nhóm** (group) là một tập hợp các phần tử được trang bị một phép toán

💫 Logic toán

**Logic toán** là một ngành con của toán học có liên hệ gần gũi với cơ sở toán học, khoa học máy tính lý thuyết, logic triết học. Ngành này bao gồm hai phần: nghiên

💫 Cao khảo

thumb|Một biểu ngữ năm 2013 tại Trường Trung học Nam Hải Trùng Khánh thông báo đây là địa điểm tổ chức kỳ thi cho Kỳ thi Tuyển sinh Đại học Toàn Quốc năm 2013 thumb|right|Phụ