✨Ảnh (toán học)

nhỏ|f là một hàm từ miền X đến đối miền Y. Hình bầu dục màu vàng bên trong Y là ảnh của f. Trong toán học, ảnh của một hàm là tập hợp tất cả các giá trị đầu ra mà nó có thể tạo ra.

Định nghĩa

Ảnh của một phần tử

Nếu x là một phần tử của X, thì f(x)=y (giá trị của f tại x) được gọi ảnh của x tạo bởi f.

Ảnh của một tập con

Ảnh của một tập con A ⊆ X tạo bởi f là tập con

: $f[A]\; =\; \{\; f(x)\; \backslash mid\; x\; \backslash in\; A\; \}$

Ảnh của một hàm

Ảnh của một hàm là ảnh của toàn bộ miền xác định của nó.

Nghịch ảnh

Đặt f là một hàm từ X đến Y. Nghịch ảnh (hay tạo ảnh) của tập hợp B ⊆ Y dưới f là tập con của X được xác định bởi

: $f^\{-1\}[\; B\; ]\; =\; \{\; x\; \backslash in\; X\; \backslash ,\; |\; \backslash ,\; f(x)\; \backslash in\; B\; \}.$

Nghịch ảnh của một điểm y còn được gọi là thớ của f tại y hoặc tập mức của y.

Tính chất

Chung

Với mọi $f:\; X\; \backslash rightarrow\; Y$ các tập con $A\; \backslash subseteq\; X$, $B\; \backslash subseteq\; Y$, ta có:

• $f(A)\; \backslash cap\; B\; =\; \backslash varnothing\; \backslash Leftrightarrow\; A\; \backslash cap\; f^\{-1\}(B)\; =\; \backslash varnothing$

Nhiều hàm

Cho hai hàm $f:\; X\; \backslash rightarrow\; Y$ và $g:\; Y\; \backslash rightarrow\; Z$ và các tập con $A\; \backslash subseteq\; X$, $C\; \backslash subseteq\; Z$, ta có:

• $(g\; \backslash circ\; f)(A)\; =\; g(f(A))$
• $(g\; \backslash circ\; f)^\{-1\}(C)\; =\; f^\{-1\}(g^\{-1\}(C))$

Nhiều tập hợp

Cho hàm $f:\; X\; \backslash rightarrow\; Y$ và các tập con $A\_1,A\_2\; \backslash subseteq\; X$, $B\_1,B\_2\; \backslash subseteq\; Y$, ta có:

Ngoài ra

• $f\backslash left(\backslash bigcup\_\{s\backslash in\; S\}A\_s\backslash right)\; =\; \backslash bigcup\_\{s\backslash in\; S\}\; f(A\_s)$
• $f\backslash left(\backslash bigcap\_\{s\backslash in\; S\}A\_s\backslash right)\; \backslash subseteq\; \backslash bigcap\_\{s\backslash in\; S\}\; f(A\_s)$
• $f^\{-1\}\backslash left(\backslash bigcup\_\{s\backslash in\; S\}B\_s\backslash right)\; =\; \backslash bigcup\_\{s\backslash in\; S\}\; f^\{-1\}(B\_s)$
• $f^\{-1\}\backslash left(\backslash bigcap\_\{s\backslash in\; S\}B\_s\backslash right)\; =\; \backslash bigcap\_\{s\backslash in\; S\}\; f^\{-1\}(B\_s)$