Trong toán học và khoa học máy tính, lý thuyết số tính toán, còn được gọi là lý thuyết số thuật toán, là nghiên cứu về các thuật toán để thực hiện tính toán lý thuyết số. Mục đích của lý thuyết số tính toán là nghiên cứu thuật toán phù hợp nhất từ lý thuyết số.
Thuật toán
Có nhiều thuật toán trong lý thuyết số tính toán. Sau đây là một số thuật toán và độ phức tạp của chúng:
Phép nhân
Giới hạn dưới cho độ phức tạp tính toán của phép nhân đã là một trọng tâm kể từ khi máy tính đầu tiên xuất hiện. Thuật toán nhân chuẩn có độ phức tạp O(n²), nhưng độ phức tạp thời gian từ lâu đã được phỏng đoán là O(nlog (n)), điều này đã được chứng minh vào năm 2019.
Phép lũy thừa
Giống như phép nhân, phép lũy thừa đã là một mục tiêu cho lý thuyết số. Nếu chúng ta cố gắng tính toán một phép toán theo cấp số nhân với phép nhân liên tiếp, chúng ta sẽ có một độ phức tạp giống như phép nhân với thuật toán tiêu chuẩn (O(n²)). Để cải thiện điều này, chúng ta có thể sử dụng thuật toán nhân và giảm lặp lại. Với điều này, chúng ta giảm độ phức tạp xuống O (M(n)2k). Các thuật toán khác là lũy thừa bằng cách bình phương hoặc hạ bậc Montgomery làm giảm độ phức tạp thành O (M (n)k).
Kiểm tra số nguyên tố
Một phần rất quan trọng của lý thuyết số tính toán là phép kiểm tra xem một số có là số nguyên tố hay không. Điều này có thể khó khăn vì nó đòi hỏi một lượng lớn năng lượng máy tính để chứng minh tính nguyên tố của một số nguyên dương lớn.
Một thuật toán dễ dàng hơn để giúp xác định nếu một số là số nguyên tố là một phép chia liên tiếp cho tất cả các số thấp hơn của nó. Nếu chúng ta khởi hành từ đó, phép chia chuẩn sẽ có độ phức tạp là O (n2). Nếu chúng ta muốn biết nếu một số n là số nguyên tố thì độ phức tạp toàn cầu là O (n×n2). Để cải thiện điều này, chúng ta có thể áp dụng phép kiểm tra tính nguyên tố AKS và nếu chúng ta áp dụng giả thuyết Agrawal, thì độ phức tạp là O ((log n)3); nếu không dựa vào giả thuyết này, việc kiểm tra sẽ có độ phức tạp là O ((log n)6).
Giai thừa số nguyên
Giai thừa n là tích của tất cả các số nguyên dương từ 1 đến n. Với phép nhân liên tiếp, giai thừa có thể tính bằng cách sử dụng độ phức tạp của O (n × n2)). Với thuật toán nhân từ dưới lên, độ phức tạp này có thể giảm xuống O (M(m²) log m).
👁️
0 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚
Trong toán học và khoa học máy tính, **lý thuyết số tính toán**, còn được gọi là **lý thuyết số thuật toán**, là nghiên cứu về các thuật toán để thực hiện tính toán lý
**Lý thuyết số** là một ngành của toán học lý thuyết nghiên cứu về tính chất của số nói chung và số nguyên nói riêng, cũng như những lớp rộng hơn các bài toán mà
**Lý thuyết số đại số** là một nhánh của lý thuyết số sử dụng các kỹ thuật của đại số trừu tượng để nghiên cứu các số nguyên, các số hữu tỷ và các tổng
**Lý thuyết số siêu việt** là một nhánh của lý thuyết số nghiên cứu các số siêu việt (các số không phải là nghiệm của bất kỳ phương trình đa thức nào với các hệ
Trong Lý thuyết số, **định lý Lagrange** khẳng định: : Nếu _p_ là số nguyên tố và _f(x)_ là một đa thức với hệ số nguyên thuộc trường có bậc là _n_ và
**Tin học lý thuyết** là tập hợp các chủ đề của khoa học máy tính tập trung vào các khía cạnh toán học trừu tượng của tính toán, chẳng hạn như lý thuyết tính toán
nhỏ|Một bản tái hiện màu đen và trắng của Máy tính bảng Yale Babylonia của Bộ sưu tập YBC 7289 (khoảng 1800 Tam giác cân. Máy tính bảng cũng đưa ra một ví dụ trong
**Khoa học máy tính lý thuyết** () là một tập hợp con của khoa học máy tính và toán học tập trung vào nhiều chủ đề toán học hơn của điện toán và bao gồm
**Vật lý tính toán** là việc nghiên cứu và thực hiện phân tích số để giải quyết các vấn đề trong vật lý học mà đã tồn tại một lý thuyết định lượng. Trong lịch
thumb|Các phần số _n_ với hạng lớn nhất _k_ Trong số học, sự **phân hoạch** một số nguyên dương _n_ là cách viết số đó dưới dạng tổng của các số nguyên dương. Hai cách
nhỏ|Lý thuyết biểu diễn nghiên cứu cách các cấu trúc đại số "biến đổi" các đối tượng toán học. Ví dụ đơn giản nhất là cách [[Nhóm nhị diện|nhóm đối xứng của các đa giác
**Lý thuyết độ phức tạp tính toán** (tiếng Anh: _computational complexity theory_) là một nhánh của lý thuyết tính toán trong lý thuyết khoa học máy tính và toán học tập trung vào phân loại
thumb|right|Một [[sơ đồ Venn mô phỏng phép giao của hai tập hợp.]] **Lý thuyết tập hợp** (tiếng Anh: _set theory_) là ngành toán học nghiên cứu về tập hợp. Mặc dù bất kỳ đối tượng
Trong toán học và đại số trừu tượng, **lý thuyết nhóm** nghiên cứu về cấu trúc đại số như nhóm. **Nhóm** là lý thuyết trung tâm của đại số trừu tượng, những cấu trúc đại
nhỏ|phải|Hình vẽ một đồ thị có 6 đỉnh và 7 cạnh Trong toán học và tin học, **lý thuyết đồ thị** (tiếng Anh: _graph theory_) nghiên cứu các tính chất của đồ thị. Một cách
Trong toán học, logic và khoa học máy tính, một **lý thuyết hình thái** hoặc một **hệ hình thái** là một hệ thống hình thức trong đó mọi **đối tượng** đều có một **hình thái**
[[Siêu máy tính song song hàng loạt Blue Gene/P của IBM]] **Tính toán song song** (tiếng Anh: _Parallel computing_), là một hình thức tính toán trong đó nhiều phép tính và tiến trình được thực
Trong lý thuyết số, **bài toán Waring** hỏi rằng có phải mỗi số tự nhiên _k_ đều có một số nguyên dương _s_ sao cho mỗi số tự nhiên đều có thể viết thành tổng
nhỏ|Số dư ổn định. Trong toán học, **lý thuyết ổn định **tập trung nghiên cứu về sự ổn định của các lời giải của phương trình vi phân và quỹ đạo của các hệ thống
Trong đại số, **lý thuyết vành** là các nghiên cứu về vành—các cấu trúc đại số trong đó phép cộng và phép nhân được định nghĩa và có các thuộc tính tương tự như các
phải|nhỏ|280x280px|Hàm đặc trưng của một biến ngẫu nhiên với phân phối đều _U_(–1,1). Hàm này là giá trị thực bởi vì nó tương ứng với một biến ngẫu nhiên đối xứng qua gốc; tuy nhiên
thumb|right|Các thao tác bước xoay [[Rubik|khối lập phương Rubik tạo thành nhóm khối lập phương Rubik.]] Trong toán học, một **nhóm** (group) là một tập hợp các phần tử được trang bị một phép toán
thumb|[[Hình thất giác đều không thể dựng được thước kẻ và compa; Điều này có thể chứng minh sử dụng trường của số dựng được.]] Trong toán học, một **trường** là một tập hợp mà
thế=Groups of two to twelve dots, showing that the composite numbers of dots (4, 6, 8, 9, 10, and 12) can be arranged into rectangles but the prime numbers cannot|nhỏ| Hợp số có thể được
Trong hình học đại số và vật lý lý thuyết, **đối xứng gương** là mối quan hệ giữa các vật thể hình học được gọi là những đa tạp Calabi-Yau. Các đa tạp này có
**Lý thuyết trò chơi**, hoặc gọi **đối sách luận**, **lí luận ván cờ**, là một phân nhánh mới của toán học hiện đại, cũng là một môn học trọng yếu của vận trù học, tác
Trong vật lý lý thuyết, **Lý thuyết trường lượng tử** (tiếng Anh: **quantum field theory**, thường viết tắt QFT) là một khuôn khổ lý thuyết để xây dựng các mô hình cơ học lượng tử
nhỏ|[[Đồ thị Cayley của nhóm tự do có hai phần tử sinh. Đây là nhóm hyperbol có biên Gromov là tập Cantor. Tương tự với đồ thị Cayley, nhóm hyperbol và biên của nó là
**Lý thuyết dây** là một thuyết hấp dẫn lượng tử, được xây dựng với mục đích thống nhất tất cả các hạt cơ bản cùng các lực cơ bản của tự nhiên, ngay cả lực
Khái niệm của vòng phản hồi dùng để điều khiển hành vi động lực của hệ thống: đây là phản hồi âm, vì giá trị cảm biến (sensor) bị trừ đi từ giá trị mong
**Lý thuyết về ràng buộc** (TOC) là một mô hình quản lý mà quan sát bất kỳ hệ thống quản lý nào bị giới hạn trong việc đạt được nhiều mục tiêu hơn bởi một
**Lý thuyết thứ tự** là một nhánh trong toán học nghiên cứu thuật ngữ thứ tự bằng cách sử dụng các quan hệ hai ngôi. Nó cho một khung hình thức để có thể mô
thumb|**[[Phép tính lambda** là một hệ thống hình thức để định nghĩa hàm, ứng dụng hàm và đệ quy được Alonzo Church đề xuất vào những năm 193x.]] **Lý thuyết ngôn ngữ lập trình** (thường
**Lý thuyết thông tin** là một nhánh của toán học ứng dụng và kĩ thuật điện nghiên cứu về đo đạc lượng thông tin. Lý thuyết thông tin được xây dựng bởi Claude E. Shannon
nhỏ|Các bảng số học dành cho trẻ em, Lausanne, 1835 **Số học** là phân nhánh toán học lâu đời nhất và sơ cấp nhất, được hầu hết mọi người thường xuyên sử dụng từ những
**Lý thuyết thông tin thuật toán** là một lĩnh vực của lý thuyết thông tin và khoa học máy tính liên quan đến mối quan hệ giữa tính toán và thông tin. Theo Gregory Chaitin,
**Lý thuyết nhiễu loạn** là phương pháp toán học để tìm ra nghiệm gần đúng cho một bài toán, bằng cách xuất phát từ nghiệm chính xác của một bài toán tương tự đơn giản
phải|Bài toán II.8 trong _Arithmetica_ của Diophantus, với chú giải của Fermat và sau đó trở thành định lý Fermat cuối cùng (ấn bản 1670) **Định lý cuối cùng của Fermat** (hay còn gọi là
**Lý thuyết mã hóa** là nghiên cứu về các đặc tính của mã và khả năng thích ứng với các ứng dụng cụ thể của chúng. Mã được sử dụng cho nén dữ liệu, mật
**Lý thuyết tập hợp ngây thơ** là bất kỳ lý thuyết nào trong số các lý thuyết tập hợp được sử dụng trong cuộc thảo luận về nền tảng của toán học. Không giống như
nhỏ|Các vectơ mật độ dòng điện xác suất cảm ứng từ tính được tính toán bằng phương pháp lượng tử trong benzen. **Hóa học lý thuyết** là một nhánh của hóa học trong đó phát
thumb|Lý thuyết về dự định hành vi **Lý thuyết hành vi có kế hoạch hay lý thuyết hành vi hoạch định** (Tiếng Anh: **The Theory of Planning Behaviour**) là một lý thuyết thể hiện mối
phải|nhỏ|Các số tự nhiên dùng để đếm (một quả táo, hai quả táo, ba quả táo....). Trong toán học, các **số tự nhiên** được sử dụng để đếm (như trong "có _sáu_ đồng xu trên
Trong toán học, **số nguyên** được định nghĩa một cách thông dụng là một số có thể được viết mà không có thành phần phân số. Ví dụ: 21, 4, 0 và −2048 là các
**Lý thuyết gán nhãn hiệu** (tiếng Anh: Labeling Theory) là một lý thuyết xã hội học nghiên cứu hành vi ứng xử của con người theo phương pháp phân tích tương tác biểu tượng qua
**Lý thuyết phiếm hàm mật độ** (tiếng Anh: _Density Functional Theory_) là một lý thuyết được dùng để mô tả các tính chất của hệ electron trong nguyên tử, phân tử, vật rắn,... trong khuôn
**Lý thuyết cân bằng tổng thể** là một nhánh của kinh tế học lý thuyết, được xem là thuộc kinh tế vi mô. Lý thuyết này tìm cách giải thích cung, cầu và giá của
**Lý thuyết chu kỳ kinh tế thực (lý thuyết RBC)** là một loại mô hình kinh tế vĩ mô tân cổ điển, trong đó các biến động của chu kỳ kinh doanh được tính bằng
Trong lý thuyết tập hợp và các ứng dụng của nó quanh toán học, **lớp** là họ của các tập (và đôi khi trên cả các đối tượng toán học khác) và được định nghĩa
nhỏ|Bìa cuốn sách _Homotopy Type Theory: nền tảng thống nhất của toán học_. Trong logic toán và khoa học máy tính, **lý thuyết hình thái đồng luân** (tiếng Anh: **homotopy type theory**, **HoTT** ) đề