✨Số Fermat

Số Fermat là một khái niệm trong toán học, mang tên nhà toán học Pháp Pierre de Fermat, người đầu tiên đưa ra khái niệm này. Nó là một số nguyên dương có dạng :$F\_\{n\}\; =\; 2^\{2^n\}\; +\; 1$.

với n là số nguyên không âm. Nếu một số Fermat là một số nguyên tố thì nó được gọi là số nguyên tố Fermat.

Tính chất cơ bản

Số Fermat thỏa mãn các hệ thức truy hồi sau

,với $n\; \backslash ge\; 1$, và

với $n\; \backslash ge\; 2$. Mỗi hệ thức trên có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Trong đó từ hệ thức thứ hai ta có thể suy ra Giả thuyết Goldbach rằng không có 2 số Fermat phân biệt mà ước chung của chúng lớn hơn 1. Để kiểm tra điều này, giả sử 0 ≤ i < j và F_i với F_j có chung 1 ước số a > 1. Khi đó a là ước của $F$0..F{j-1} và $F\_j$, suy ra a cũng phải là ước của 2, mà a lớn hơn 1 nên a bằng 2. Điều này mâu thuẫn bởi mọi số Fermat là số lẻ.

Đồng thời như một kết quả tất yếu, ta tìm được cách chứng minh khác cho sự vô hạn của số nguyên tố. Với mỗi F_n, chọn một ước nguyên tố p_n thì dãy {p_n} tạo thành một dãy chứa vô hạn các số nguyên tố phân biệt.

Các tính chất khác

• Không có số Fermat có thể biểu diễn thành hiệu của 2 lũy thừa bậc p với p là số nguyên tố lẻ''.
• Ngoại trừ F₀ và F₁, các số Fermat đều kết thúc bằng số 7.
• Tổng của các nghịch đảo của các số Fermat là số vô tỉ.

Các giá trị đầu tiên

Lịch sử

Khi nghiên cứu các số có dạng 2²ⁿ + 1, Fermat đã tính ra được với n = 0, 1, 2, 3, 4 thì số có dạng trên là số nguyên tố, từ đó ông đưa ra dự đoán các số có dạng như trên đều là số nguyên tố. Từ đó các số có dạng thức như trên được gọi là số Fermat.

Tuy nhiên đến năm 1732, Euler đã phủ định dự đoán trên bằng cách chứng minh F₅ là hợp số.

Phân tích ra thừa số nguyên tố

Bằng cách biểu thị: :$641\; =\; 5\; \backslash times\; 2^7\; +\; 1\; =\; 2^4\; +\; 5^4$

Euler đã suy ra: $5\; \backslash times\; 2^7\; \backslash equiv\; -1\backslash pmod\{641\}$, dẫn đến $5^4\; \backslash times\; 2^\{28\}\; \backslash equiv\; (-1)^4\; \backslash equiv\; 1\backslash pmod\{641\}$. Mặt khác $5^4\; \backslash equiv\; -2^4\backslash pmod\{641\}$ nên suy ra $-2^\{32\}\; \backslash equiv\; 1\backslash pmod\{641\}$. Vậy F₅ chia hết cho 641.

Euler cũng đã chứng minh được mọi ước nguyên tố của F_n đều có dạng k2^{n + 2} + 1.

Đến nay người ta vẫn chưa tìm ra nổi thêm số Fermat nào nguyên tố nữa, trong khi đã có hơn 70 hợp số của số Fermat đã được kiểm chứng.

Một trong những cách phân tích có uy tín nhất hiện nay là phân tích F_n ra tổng hai bình phương (chúng có dạng 4k + 1, hoàn toàn làm được). Phân tích cơ bản nhất là: :$F\_n\; =\; \backslash left\; (2^\{2^\{n-1\; \backslash right)^2\; +\; 1^2$.

Nếu như tồn tại một cách biểu diễn khác, giả dụ F_n = x² + y² (với x > y) thì tính kết quả của: :$\backslash gcd\; (x\; +\; 2^\{2^\{n-1\; \backslash times\; y,F\_n)$.

Ví dụ: F₅ = 62 264² + 20 449², dẫn đến: :$\backslash gcd\; (62.264\; +\; 2^\{2^4\}\; \backslash times\; 20.449,F\_5)\; =\; 641$. F₆ = 4 046 803 256² + 1 438 793 759², dẫn đến: :$\backslash gcd\; (4.046.803.256\; +\; 2^\{2^5\}\; \backslash times\; 1.438.793.759,F\_6)\; =\; 274.177$.

Nhờ đó người ta đã phân tích ra thừa số nguyên tố của các số từ F₅ đến F₁₁, thậm chí còn tìm ra ước nguyên tố của các số lớn hơn thế nữa.

Ví dụ: F₁₉₄₅ = 2²¹⁹⁴⁵ + 1 có khoảng 9,5929 × 10⁵⁸⁴ chữ số, nhờ phép phân tích trên tìm ra được ước số của nó là 5 × 2¹⁹⁴⁷ + 1 ≈ 6,3734 × 10⁵⁸⁶. F_{2 478 782} = 2^{22 478 782} + 1 có khoảng 1,6343 × 10^{746 187} chữ số, nhờ phép phân tích trên tìm ra được ước số của nó là 3 × 2^{2 478 785} + 1 ≈ 1,3029 × 10^{746 189}, đây là hợp số Fermat lớn nhất đã biết từ trước đến nay.

Tính chất liên quan đến ước số

Ta có thể tính gần đúng số chữ số của chúng bằng hệ thức gần đúng: :$D(n,b)\; =\; \backslash lfloor\; \backslash log${b}\left(2^{2^{\overset{n}{}+1\right)+1 \rfloor = \lfloor 2^{n}\,\log{b}2+1 \rfloor Nếu 2^m + 1 là nguyên tố thì m là một lũy thừa của 2. Ước nguyên tố của F_n luôn có dạng k2^{n + 2} + 1, với k > 2.

Ứng dụng trong dựng đa giác đều