✨Phương pháp nhân tử Lagrange

right|thumb|Hình 1: Tìm và để có lớn nhất dưới điều kiện (vẽ bởi màu đỏ) . thumb|Hình 2: Đường đồng mức tương ứng của Hình 1. Đường đỏ thể hiện giới hạn . Các đường xanh là những đường đồng mức . Tại điểm mà đường đỏ tiếp xúc tiếp tuyến với đường đồng mức màu xanh là nghiệm phải tìm. Vì , nghiệm là giá trị cực đại địa phương của .

Trong ngành tối ưu hóa, phương pháp nhân tử Lagrange (đặt theo tên của nhà toán học Joseph Louis Lagrange) là một phương pháp để tìm cực tiểu hoặc cực đại địa phương của một hàm số chịu các điều kiện giới hạn.

Ví dụ (xem Hình 1), xét bài toán tối ưu hóa

:tìm cực đại của hàm
:chịu điều kiện giới hạn .

Chúng ta cần và đều phải thỏa mãn là chúng liên tục tại đạo hàm riêng bậc nhất của chúng. Đặt một biến mới () gọi là nhân tử Lagrange và nghiên cứu hàm Lagrange (hay Lagrangian) định nghĩa bằng :$\backslash Lambda(x,y,\backslash lambda)\; =\; f(x,y)\; +\; \backslash lambda\; \backslash cdot\; g(x,y),$

với số hạng có thể là cộng hoặc trừ. Nếu là giá trị cực đại của cho bài toán giới hạn ban đầu, thì tồn tại sao cho là một điểm dừng của hàm Lagrange (điểm dừng là những điểm mà đạo hàm riêng của nó theo bằng 0). Tuy vậy, không phải mọi điểm dừng đều cho tương ứng với một nghiệm của bài toán ban đầu. Do đó, phương pháp nhân tử Lagrange mang lại điều kiện cần cho mục đích tối ưu hóa trong các bài toán giới hạn. Điều kiện đủ cho giá trị cực đại và cực tiểu cũng phải thỏa mãn.