✨Đại số trên một trường

Đại số trên một trường

Trong toán học, một đại số trên một trường (thường được gọi đơn giản là đại số) là một không gian vectơ được trang bị một tích song tuyến tính.

Định nghĩa

Đặt K là một trường và đặt A là không gian vectơ trên K được trang bị một phép toán hai ngôi A × A đến A, ký hiệu là · (nghĩa là nếu x và y là hai phần tử bất kỳ của A, x · y là tích của x và y). Thế thì A là một đại số trên K nếu các đẳng thức sau đúng cho tất cả các phần tử x, y và z của A và tất cả các phần tử (thường được gọi là vô hướng) a và b của K:

Phân phối phải: (x + y) · z = x · z + y · z
Phân phối trái: z · (x + y) = z · x + z · y
Tương thích với nhân vô hướng: (a x) · (b y) = (ab) (x · y).

Ba tiên đề này là một cách khác để nói rằng phép toán hai ngôi là song tuyến tính. Đại số trên K cũng được gọi là K-đại số.

Ví dụ

Ta có $\mathbb{R}$ -đại số $\mathbb{C}$ , $\mathbb{R}$ đại số các quaternion $\mathbb{H}$ , $\mathbb{R}$ -đại số các octonion $\mathbb{O}$ , $\mathbb{R}$ -đại số các ma trận $M_n(\mathbb{R})$ .

Với $k$ là một trường bất kì, ta cũng có $k$ -đại số các ma trận $M_n(k)$ .

Các khái niệm cơ bản

Đồng cấu đại số

Cho K-đại số A và B, phép đồng cấu K -đại số là ánh xạ _K-_tuyến tính f: A → B sao cho f(xy)=f(x)f(y) với mọi x,y trong A. Không gian của tất cả các đồng cấu K-đại số giữa A và B thường được ký hiệu là

: $\mathbf{Hom}_{K\text{-alg (A,B).$

Đại số kết hợp

Một đại số là kết hợp nếu phép nhân có tính kết hợp.

Đại số phi kết hợp

Không gian Euclide R ³ với phép nhân được cho bởi tích vector
Octonion
Đại số Lie

Đại số và vành

Đôi khi, một K-đại số được định nghĩa là một vành A cùng với phép đồng cấu vành

: $\eta: K\to A$

Phép nhân vô hướng

: $K\times A \to A$

được cho bởi

: $(k,a) \mapsto \eta(k) a.$

Đại số trên một vành

Xét một vành giao hoán A. Một A-đại số (một đại số trên vành A) được định nghĩa là một vành B cùng với một phép đồng cấu vành

: $\eta: A\to B$

Phép nhân vô hướng

: $A\times B \to B$

được cho bởi

: $(a,b) \mapsto \eta(a) b$ trang bị cho B một cấu trúc A-mô-đun.

👁️ 1 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚

💫 Đại số trên một trường

Trong toán học, một **đại số trên một trường** (thường được gọi đơn giản là **đại số**) là một không gian vectơ được trang bị một tích song tuyến tính. ## Định nghĩa Đặt _K_

💫 Đại số

**Đại số** là một nhánh của toán học nghiên cứu những hệ thống trừu tượng nhất định gọi là cấu trúc đại số và sự biến đổi biểu thức trong các hệ thống này. Đây

💫 Trường (đại số)

thumb|[[Hình thất giác đều không thể dựng được thước kẻ và compa; Điều này có thể chứng minh sử dụng trường của số dựng được.]] Trong toán học, một **trường** là một tập hợp mà

💫 Đa tạp đại số

**Đa tạp đại số** là một trong những đối tượng được nghiên cứu nhất trong hình học đại số. Đa tạp đại số ban đầu được định nghĩa là tập nghiệm của hệ phương trình

💫 Số đại số

thumb|Căn bậc hai của 2 là số đại số bằng độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông có chân là độ dài 1. Trong toán học, một **số đại số** là một nghiệm

💫 Hạt nhân (đại số tuyến tính)

nhỏ|346x346px| Hạt nhân và ảnh của ánh xạ Trong toán học, **hạt nhân** (_kernel_) của một ánh xạ tuyến tính, còn gọi là **hạch** hay **không gian vô hiệu** (_null space_), là không gian vectơ

💫 Đường cong đại số

thumb|right|[[Đường cong Tschirnhausen là một ví dụ về đường cong đại số bậc ba.]] Trong toán học, **đường cong phẳng đại số affin** là tập nghiệm của đa thức hai biến. **đường cong phẳng đại

💫 Hạng (đại số tuyến tính)

Trong đại số tuyến tính, **hạng** (rank) của một ma trận là số chiều của không gian vectơ được sinh (span) bởi các vectơ cột của nó. Điều này tương đương với số cột độc

💫 Đại số tuyến tính

|nhỏ|300x300px|Trong [[không gian Euclide ba chiều, ba mặt phẳng này biểu diễn các nghiệm của phương trình tuyến tính, và giao tuyến của chúng biểu thị tập các nghiệm chung: trong trường hợp này là

💫 Không gian thương (đại số tuyến tính)

Trong đại số tuyến tính, **thương** của một không gian vectơ _V_ với một không gian vectơ con _N_ là một không gian vectơ thu được khi "thu gọn" _N_ về không. Không gian thu

💫 Số đại số nguyên

Trong toán học, một **số đại số nguyên** (đôi khi gọi là _số nguyên đại số_) là một nghiệm (thực hoặc phức) của một đa thức với các hệ số nguyên và có hệ số

💫 Đại số Boole

nhỏ|429x429px|Boolean lattice of subsets Trong đại số trừu tượng, **đại số Boole** hay **đại số Boolean** là một cấu trúc đại số có các tính chất cơ bản của cả các phép toán trên tập

💫 Tô pô đại số

**Tôpô đại số** là một nhánh của toán học sử dụng các công cụ của đại số để nghiên cứu các không gian tôpô. ## Phương pháp bất biến đại số Mục đích là xem

💫 Đa thức cực tiểu (đại số tuyến tính)

Trong đại số tuyến tính, **đa thức cực tiểu** của một ma trận trên một trường là một đa thức monic trên với bậc thấp nhất sao cho . Bất kỳ đa thức nào khác

💫 Cấu trúc đại số

Trong toán học, và nhất là trong đại số trừu tượng, một **cấu trúc đại số** là một tập hợp (gọi là **tập hợp chứa** hoặc **tập hợp nền**) với một hoặc nhiều toán tử

💫 Đại số phổ dụng

**Đại số phổ dụng** thường gọi tắt là **đại số** là một cấu trúc đại số tổng quát nhất. Khái niệm đại số phổ dụng bao gồm tất cả các cấu trúc đại số đã

💫 Nghiệm đại số

**Nghiệm đại số** là một nghiệm được biểu hiện ở dạng biểu thức đóng, và cụ thể hơn là một biểu thức đại số dạng đóng. Nó là nghiệm của một phương trình đại số

💫 Trường đóng đại số

Trong toán học, một trường

F

được gọi là **đóng đại số** nếu mọi đa thức một ẩn có bậc khác không, với hệ số trong

F

, có nghiệm trong

F

. ## Ví dụ Trường

💫 Hàm số đại số

Trong toán học, **hàm số đại số** hay **hàm đại số** là một hàm số có thể được định nghĩa là nghiệm của phương trình đa thức. Các hàm đại số thường là các biểu

💫 Lý thuyết số siêu việt

**Lý thuyết số siêu việt** là một nhánh của lý thuyết số nghiên cứu các số siêu việt (các số không phải là nghiệm của bất kỳ phương trình đa thức nào với các hệ

💫 Phép toán đại số

phải|nhỏ| Các phép toán đại số trong lời giải cho [[phương trình bậc hai. Dấu khai căn, √ biểu thị một căn bậc hai, tương đương với lũy thừa với số mũ ½. Dấu ±

💫 Đại số trừu tượng

**Đại số trừu tượng** là một ngành toán học liên quan đến việc nghiên cứu các cấu trúc đại số như nhóm, vành (toán học), trường, hay các cấu trúc tổng quát khác. Thuật ngữ

💫 Định lý cơ bản của đại số

Trong toán học, **định lý cơ bản của đại số** khẳng định rằng mọi đa thức một biến khác hằng số với hệ số phức có ít nhất một nghiệm phức. Điều đó tương đương

💫 Đại số sơ cấp

thumb|[[Phương trình bậc hai|Công thức giải phương trình bậc 2 thể hiện các nghiệm của phương trình bậc hai

ax^2 + bx +c=0

theo các hệ số của nó

a, b, c

, trong đó

a

💫 Không gian một chiều

nhỏ|300x300px|Một trục số Trong vật lý và toán học, một chuỗi _n_ số có thể xác định một vị trí trong không gian n-chiều. Khi , các tập hợp tất cả các điểm như vậy

💫 Magma (đại số)

Trong đại số trừu tượng, một **magma** là một dạng cấu trúc đại số cơ bản. Cụ thể, một magma bao gồm một tập hợp cùng với một phép toán hai ngôi có tính đóng.

💫 Phép chiếu (đại số tuyến tính)

phải|khung|Phép biến đổi _P_ là phép chiếu vuông góc lên đường thẳng _m_. Trong đại số tuyến tính và giải tích hàm, **phép chiếu** là một biến đổi tuyến tính

P

từ một không gian

💫 Hệ thống đại số máy tính

Một **hệ thống đại số máy tính** là một phần mềm máy tính thực hiện biến đổi các biểu thức toán học. Cốt lõi của hệ thống này là lưu trữ và biến đổi các

💫 Vết (đại số tuyến tính)

Trong đại số tuyến tính, **vết** (tiếng Anh: _trace_) của một ma trận vuông A bậc _n_x_n_ được xác định bằng tổng các phần tử trên đường chéo chính (đường nối từ góc trên bên

💫 Nhóm (toán học)

thumb|right|Các thao tác bước xoay [[Rubik|khối lập phương Rubik tạo thành nhóm khối lập phương Rubik.]] Trong toán học, một **nhóm** (group) là một tập hợp các phần tử được trang bị một phép toán

💫 Emmy Noether

**Amalie Emmy Noether** (, ; ; 23 tháng 3 năm 1882 – 14 tháng 4 năm 1935) là một nhà toán học người Đức nổi tiếng vì những đóng góp nền tảng và đột phá

💫 Hình học số học

nhỏ| [[Đường cong siêu ellip được xác định bởi

y^2=x(x+1)(x-3)(x+2)(x-2)

chỉ có hữu hạn điểm hữu tỷ (chẳng hạn như các điểm

(-2, 0)

và

(-1, 0)

) theo định lý Faltings. ]] Trong toán học,

💫 Nón lồi (đại số tuyến tính)

Trong đại số tuyến tính, **nón lồi** là tập con của một không gian vector mà kín đối với mọi tổ hợp tuyến tính với hệ số dương. ## Định nghĩa Giả sử _V_ là

💫 Trường số đại số

Trong toán học, **trường số đại số** (còn gọi đơn giản là **trường số**) _F_ là một trường mở rộng có bậc hữu hạn (và do vậy là một mở rộng đại số) của trường

💫 Hàm số bậc ba

phải|nhỏ|210x210px|Đồ thị của một hàm số bậc ba với 3 [[Nghiệm số|nghiệm số thực (tại đó đường đồ thị cắt trục hoành—thỏa mãn ). Hình vẽ cho thấy hai điểm cực trị. Phương trình của

💫 Trường thặng dư

Trong toán học, trường **thặng dư** là một cấu trúc cơ bản trong đại số giao hoán. Nếu _R_ là một vành giao hoán và _m_ là một i-đê-an tối đại, thì trường thặng dư

💫 Phép chuyển cơ sở

Trong toán học, một cơ sở có thứ tự của một không gian vectơ hữu hạn chiều cho phép biểu diễn duy nhất một phần tử bất kỳ trong không gian vectơ bởi một vectơ

💫 Dầu Dừa Ép Lạnh Thương Hiệu Herbee | 100% Chiết Xuất Tự Nhiên | Ngăn Ngừa và Làm Mờ Vết Rạn Da | Massage Cho Trẻ Sơ Sinh

GIỚI THIỆU DẦU DỪA ÉP LẠNH HERBEE (100ml)• Dầu dừa ép lạnh Herbee với nguyên liệu tuyển chọn chặt chẽ từ những trái dừa già tươi mới• Được sản xuất theo công nghệ ly tâm

💫 🌺Dầu Dừa Ép Lạnh Herbee 🌺100% Chiết Xuất Tự Nhiên 🌺Ngăn Ngừa và Làm Mờ Vết Rạn Da 🌺Massage Cho Trẻ Sơ Sin

💫 Đại học Virginia

**Đại học Virginia** (tiếng Anh: _University of Virginia;_ gọi tắt: _U.Va_ hoặc _UVA_) là một trường đại học nghiên cứu công lập tại Charlottesville, Virginia, Hoa Kỳ. Trường được Thomas Jefferson thành lập vào năm

💫 Đại học Đà Nẵng

**Đại học Đà Nẵng** ( – **UDN**) là một trong ba hệ thống đại học vùng của Việt Nam, có trụ sở chính được đặt tại Đà Nẵng, được thành lập vào ngày 4 tháng

💫 Trường Đại học Hà Nội

**Trường Đại học Hà Nội** (tiếng Anh: **Hanoi University**, tên viết tắt: **HANU**) là một trong hai cơ sở đào tạo và nghiên cứu ngoại ngữ ở trình độ đại học và sau đại học;

💫 Trường Đại học Ngoại thương

**Trường Đại học Ngoại thương** (tiếng Anh: _Foreign Trade University,_ **FTU**), còn được gọi vắn tắt là **Ngoại thương**, là một trường đại học công lập Việt Nam, trực thuộc Bộ Công Thương và chịu

💫 Đại học Paris-Saclay

**Đại học Paris-Saclay** () là một viện nghiên cứu công nghệ kết hợp và trường đại học công lập tại Paris, Pháp. Đại học Paris-Saclay được thành lập vào năm 2019 sau việc sáp nhập

💫 Trường Đại học Văn Lang

**Trường Đại học Văn Lang** (English:**_Van Lang University**,_ Latin: _Universitas Vanlangensis_), thường được gọi tắt là **VLU** là một trường đại học tư thục đa ngành ở Thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam. Thành

💫 Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

**Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng** (tiếng Anh: _University of Science and Education, the University of Da Nang_ – **UDN-UEd**) là trường thành viên Đại học Đà Nẵng, chuyên đào tạo

💫 Đại học Melbourne

**Viện Đại học Melbourne** hay **Đại học Melbourne** (tiếng Anh: _The University of Melbourne_, hay còn gọi là _Melbourne University_, _Melbourne Uni_, _Melbourne_, hay _UniMelb_) là một viện đại học công lập ở Melbourne, Victoria,

💫 Đại học Leeds

**Đại học Leeds** là một viện đại học ở Leeds, Tây Yorkshire, Anh, thành lập vào năm 1831. Ban đầu nó có tên là Cao đẳng Khoa học Yorkshire và sau đó là Cao đẳng

💫 Tập Đoàn Tảo Xoắn Đại Việt

Tập đoàn Tảo xoắn Đại Việt là đơn vị đã khẳng định được uy tín và thương hiệu trên thị trường nhiều năm qua và không ngừng tìm tòi phát triển thêm sản phẩm mới,

💫 Đại học Kyung Hee

**Đại học Kyung Hee** (viết tắt là **KHU**) (Hangul: 경희대학교; Hanja: 慶熙大學校; Hán-Việt: _Khánh Hy Đại học hiệu_) là một trường đại học tư thục ở Hàn Quốc với các cơ sở tại Seoul và