✨Đại số trừu tượng
Đại số trừu tượng là một ngành toán học liên quan đến việc nghiên cứu các cấu trúc đại số như nhóm, vành (toán học), trường, hay các cấu trúc tổng quát khác. Thuật ngữ đại số trừu tượng được sử dụng để phân biệt với đại số sơ cấp hay "đại số phổ thông", trong đó người ta giảng dạy các quy tắc chính xác để biến đổi các công thức và các biểu thức toán học đối với số thực và số phức, và biến số. Đại số trừu tượng trong thời gian nửa đầu của thế kỷ 20 được biết đến như là đại số hiện đại.
Thuật ngữ đại số trừu tượng nhiều khi được sử dụng để chỉ đại số nói chung.
Lịch sử và ví dụ
Về mặt lịch sử, các cấu trúc đại số thông thường xuất hiện đầu tiên trong các nhánh khác của toán học và được nêu ra như là các tiên đề, sau đó mới được nghiên cứu đúng bản chất của chúng trong đại số trừu tượng. Vì điều này, đại số trừu tượng có các mối liên hệ liên quan tới tất cả các nhánh khác của toán học.
Ví dụ về các cấu trúc đại số với phép tính hai ngôi duy nhất là:
- Các magma,
- Các tựa nhóm,
- Các monoid, nửa nhóm và quan trọng nhất nhóm.
Các ví dụ phức tạp hơn có:
- vành và trường
- Các mô-đun và không gian véctơ
- đại số kết hợp và đại số Lie
- Các lưới và đại số Bool
- Các đại số phổ dụng.
- Lý thuyết Galois
Trong đại số chung, tất cả các định nghĩa và cơ sở lập luận này được tập hợp lại để áp dụng tương đương cho mọi cấu trúc đại số. Tất cả các lớp các đối tượng trên đây cùng với khái niệm tính đồng hình, tạo thành các phạm trù, và thuyết phạm trù thường xuyên cung cấp hình thức để chuyển đổi và so sánh các cấu trúc đại số khác nhau.
👁️ 0 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚
**Đại số trừu tượng** là một ngành toán học liên quan đến việc nghiên cứu các cấu trúc đại số như nhóm, vành (toán học), trường, hay các cấu trúc tổng quát khác. Thuật ngữ
Trong toán học, và nhất là trong đại số trừu tượng, một **cấu trúc đại số** là một tập hợp (gọi là **tập hợp chứa** hoặc **tập hợp nền**) với một hoặc nhiều toán tử
nhỏ|429x429px|Boolean lattice of subsets Trong đại số trừu tượng, **đại số Boole** hay **đại số Boolean** là một cấu trúc đại số có các tính chất cơ bản của cả các phép toán trên tập
**Đại số** là một nhánh của toán học nghiên cứu những hệ thống trừu tượng nhất định gọi là cấu trúc đại số và sự biến đổi biểu thức trong các hệ thống này. Đây
**Trừu tượng hóa** trong toán học là quá trình rút ra bản chất cơ bản của một khái niệm toán học, loại bỏ bất kỳ sự phụ thuộc nào vào các đối tượng trong thế
thumb|[[Hình thất giác đều không thể dựng được thước kẻ và compa; Điều này có thể chứng minh sử dụng trường của số dựng được.]] Trong toán học, một **trường** là một tập hợp mà
|nhỏ|300x300px|Trong [[không gian Euclide ba chiều, ba mặt phẳng này biểu diễn các nghiệm của phương trình tuyến tính, và giao tuyến của chúng biểu thị tập các nghiệm chung: trong trường hợp này là
Là một nhánh của toán học, đại số phát triển vào cuối thế kỷ 16 ở châu Âu với công trình của François Viète. Đại số được xem xét một cách đáng chú ý như
1.Cơ Sở Đại Số Hiện Đại Tác giả Dương Quốc Việt Chủ biên - Trương Thị Hồng Thanh Nhà Xuất Bản NXB Đại học Sư Phạm Số trang 303 Năm xuất bản 2022 Nội dung
Trong toán học, một **đối tượng tự do** là một khái niệm cơ bản của đại số trừu tượng. ## Định nghĩa Đặt (_C_,_F_) là một phạm trù cụ thể (nghĩa là là một hàm
thumb|[[Phương trình bậc hai|Công thức giải phương trình bậc 2 thể hiện các nghiệm của phương trình bậc hai theo các hệ số của nó , trong đó
thumb|Căn bậc hai của 2 là số đại số bằng độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông có chân là độ dài 1. Trong toán học, một **số đại số** là một nghiệm
Trong toán học, một trường được gọi là **đóng đại số** nếu mọi đa thức một ẩn có bậc khác không, với hệ số trong , có nghiệm trong . ## Ví dụ Trường
**Tôpô đại số** là một nhánh của toán học sử dụng các công cụ của đại số để nghiên cứu các không gian tôpô. ## Phương pháp bất biến đại số Mục đích là xem
**Lý thuyết số đại số** là một nhánh của lý thuyết số sử dụng các kỹ thuật của đại số trừu tượng để nghiên cứu các số nguyên, các số hữu tỷ và các tổng
Trong đại số trừu tượng, một **magma** là một dạng cấu trúc đại số cơ bản. Cụ thể, một magma bao gồm một tập hợp cùng với một phép toán hai ngôi có tính đóng.
nhỏ|304x304px|Bức tranh trừu tượng màu nước đầu tiên của [[Wassily Kandinsky|Kandinsky, 1910 ]] **Nghệ thuật Trừu tượng** là trào lưu hội họa đầu thế kỷ 20, vào những năm 1910 đến 1914. Nghệ thuật trừu
nhỏ|Lý thuyết biểu diễn nghiên cứu cách các cấu trúc đại số "biến đổi" các đối tượng toán học. Ví dụ đơn giản nhất là cách [[Nhóm nhị diện|nhóm đối xứng của các đa giác
phải|Mỗi phần tử của một ma trận thường được ký hiệu bằng một biến với hai chỉ số ở dưới. Ví dụ, a2,1 biểu diễn phần tử ở hàng thứ hai và cột thứ nhất
**Chủ nghĩa biểu hiện trừu tượng** là một phong trào nghệ thuật sau Thế chiến II trong hội họa Mỹ, được phát triển ở New York vào những năm 1940. Đó là phong trào đặc
Trong công nghệ phần mềm và khoa học máy tính, **trừu tượng** (tiếng Anh: **abstraction**) là: * Quá trình loại bỏ hoặc khái quát các chi tiết vật lý, không gian hoặc thời gian hoặc
**Đa tạp đại số** là một trong những đối tượng được nghiên cứu nhất trong hình học đại số. Đa tạp đại số ban đầu được định nghĩa là tập nghiệm của hệ phương trình
Trong toán học, một phép **biến đổi tuyến tính** (còn được gọi là **toán tử tuyến tính** hoặc là **ánh xạ tuyến tính**) là một ánh xạ giữa hai mô đun (cụ
Trong toán học, một **biểu thức** hay **biểu thức toán học** là một tổ hợp hữu hạn các ký hiệu được tạo thành sao cho đúng dạng theo các quy tắc phụ thuộc vào ngữ
Trong toán học, đặc biệt là trong Đại số trừu tượng và Đại số tuyến tính, **nhóm tuyến tính tổng quát bậc** _n_ là tập hợp ma trận khả nghịch , cùng với
phải|nhỏ|[[Évariste Galois (1811–1832)]] Trong toán học, cụ thể hơn là trong đại số trừu tượng, **lý thuyết Galois**, đặt tên theo Évariste Galois, tạo ra một liên kết giữa lý thuyết trường và lý thuyết
liên_kết=https://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BA%ADptin:Scalar_multiplication_by_r=3.svg|phải|nhỏ|250x250px|Phép nhân vô hướng với hệ số bằng 3 kéo dãn vectơ. Trong toán học, **phép** **nhân vô hướng** (_scalar multiplication_) là một trong những phép toán cơ bản để định nghĩa một không gian
Trong toán học, **phép toán hai ngôi** hay **phép toán nhị nguyên** là một phép toán sử dụng hai biến đầu vào và cho ra một kết quả. Các biến và kết quả đều thuộc
Trong đại số trừu tượng, khái niệm **phần tử nghịch đảo** được khái quát hóa từ khái niệm cộng số đối liên quan đến phép cộng, và một sự đối ứng liên quan đến phép
phải|nhỏ|220x220px Trong phạm vi của đại số trừu tượng hay đại số phổ dụng, một **đơn cấu** là một đồng cấu mang tính đơn ánh. Một đơn cấu từ đến thường được ký hiệu bằng
Trong lý thuyết nhóm thuộc đại số trừu tượng, **nhóm Quỷ** M (còn gọi là **quỷ Fischer–Griess** hay **người khổng lồ dễ gần**) là nhóm sporadic đơn giản lớn nhất, với cấp: 2463205976112133171923293141475971 = 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000 ≈
phải|khung|Phép biến đổi _P_ là phép chiếu vuông góc lên đường thẳng _m_. Trong đại số tuyến tính và giải tích hàm, **phép chiếu** là một biến đổi tuyến tính từ một không gian
thế=Groups of two to twelve dots, showing that the composite numbers of dots (4, 6, 8, 9, 10, and 12) can be arranged into rectangles but the prime numbers cannot|nhỏ| Hợp số có thể được
Trong toán học, **số nguyên** được định nghĩa một cách thông dụng là một số có thể được viết mà không có thành phần phân số. Ví dụ: 21, 4, 0 và −2048 là các
thumb|alt=Cân thăng bằng trống|Hai đĩa cân thăng bằng này chứa không đồ vật, chia ra làm hai nhóm bằng nhau. Không là số chẵn. Nói theo cách khác, _tính chẵn lẻ_ của nó—đặc tính của
Trong toán học, **hệ số -adic** cho bất kỳ số nguyên tố mở rộng số học thông thường của số hữu tỉ theo cách khác biệt so với tính mở rộng của hệ số phù
Trong toán học, một **hàm số tự nghịch đảo**, là một hàm số f mà là hàm ngược của chính nó: : với mọi x trong tập xác định của f. ## Tính chất chung
thumb|right|Các thao tác bước xoay [[Rubik|khối lập phương Rubik tạo thành nhóm khối lập phương Rubik.]] Trong toán học, một **nhóm** (group) là một tập hợp các phần tử được trang bị một phép toán
**Amalie Emmy Noether** (, ; ; 23 tháng 3 năm 1882 – 14 tháng 4 năm 1935) là một nhà toán học người Đức nổi tiếng vì những đóng góp nền tảng và đột phá
**Lập trình hướng đối tượng** () là một mẫu hình lập trình dựa trên khái niệm "đối tượng", mà trong đó, đối tượng chứa đựng các dữ liệu trong các trường, thường được gọi là
Nói chung, **toán học thuần túy** là toán học nghiên cứu các khái niệm hoàn toàn trừu tượng. Đây là một loại hoạt động toán học có thể nhận biết được từ thế kỷ 19
nhỏ|"Hình vuông đen", tranh của Kazimir Malevich, 1915 **Trừu tượng Hình học** là một hình thức nghệ thuật trừu tượng dựa trên việc sử dụng các dạng hình học và đôi khi, mặc dù không
Trong khoa học máy tính, một **máy trạng thái trừu tượng** (MTT) (hay trong tiếng Anh: Abstract State Machine - ASM) là một máy trạng thái trong đó, số lượng các trạng thái không nhất
thumb|[[đồ thị Cayley|Đồ thị Cayley Q8 cho thấy sáu chu trình nhân bởi , và . (Nếu ảnh được mở trong Wikimedia Commons bằng cách nhấn đúp vào nó thì các chu trình có thể
nhỏ| [[Tập hợp con (toán học)|Các tập con của số phức. ]] **Số** là một đối tượng toán học được sử dụng để đếm, đo lường và đặt danh nghĩa. Các ví dụ ban đầu
**Phương trình** là một biểu thức toán học có chứa các biến số và các phép toán, trong đó các giá trị của các biến được tìm kiếm để làm cho cả biểu thức trở
Trong toán học, **vành** là một trong những cấu trúc đại số cơ bản. Nhiều đối tượng toán học có thể được xem xét như là vành, ví dụ như vành các hàm số liên
Trong Toán học, Vật lí và kĩ thuật, **vectơ** hay **hướng lượng** (theo phiên âm Hán Việt) (tiếng Anh: _vector_) là một đoạn thẳng có hướng. Đoạn thẳng này biểu thị phương, chiều và độ
nhỏ|phép tự đẳng cấu Trong toán học, một **phép tự đẳng cấu **là một phép đẳng cấu từ một đối tượng toán học đến chính nó. Theo một nghĩa nào đó, nó là một phiên
nhỏ| [[Đường cong siêu ellip được xác định bởi chỉ có hữu hạn điểm hữu tỷ (chẳng hạn như các điểm và ) theo định lý Faltings. ]] Trong toán học,