Tôpô đại số là một nhánh của toán học sử dụng các công cụ của đại số để nghiên cứu các không gian tôpô.
Phương pháp bất biến đại số
Mục đích là xem xét các không gian tôpô và phân loại chúng. Ngày nay, phương pháp cơ bản của tô pô đại số là nghiên cứu các không gian thông qua các bất biến đại số bằng cách ánh xạ chúng thành các đối tượng đại số, ví dụ các nhóm, sau đó xem xét cấu trúc các đối tượng đó để suy ra tính chất đồng phôi của các không gian. Điều này cho phép chuyển các phát biểu về không gian tô pô thành các phát biểu về nhóm làm cho bài toán trở nên dễ chứng minh hơn.
Theo hướng này có hai phương pháp chính là thông qua các nhóm cơ bản, hay tổng quát hơn là lý thuyết đồng luân, và thông qua các nhóm đồng điều và đối đồng điều. Nhóm cơ bản cho ta những thông tin cơ bản về cấu trúc của không gian tôpô, nhưng chúng thường là không Abel và khó để làm việc.
Trái lại, các nhóm đồng điều và đối đồng điều là Abel và trong nhiều trường hợp quan trọng là hữu hạn sinh. Các nhóm Abel hữu hạn sinh đã được phân loại đầy đủ và dễ làm việc hơn.
Các kết quả của lý thuyết đồng điều
Một số kết quả suy ra trực tiếp khi làm việc với các nhóm Abel hữu hạn sinh. Hạng tự do của nhóm đồng điều thứ n của phức đơn hình bằng số Betti thứ n, do đó ta có thể sử dụng nhóm đồng điều của phức đơn hình để tính đặc trưng Euler-Poincaré của nó. Một ví dụ khác là nhóm đối đồng điều nguyên chiều cao nhất của một đa tạp đóng cho biết tính định hướng được của đa tạp đó: nhóm này hoặc đẳng cấu với nhóm các số nguyên hoặc bằng 0, tương ứng với việc đa tạp định hướng được hay không. Vì vậy các nhóm đồng điều của không gian tôpô chứa rất nhiều thông tin không gian đó.
Ngoài đồng điều đơn hình chỉ định nghĩa cho các phức đơn hình, người ta còn sử dụng cấu trúc khả vi của đa tạp trơn qua đối đồng điều de Rham, đối đồng điều Čech hoặc đối đồng điều bó để nghiên cứu tính giải được của phương trình vi phân xác định trên đa tạp. De Rham đã chỉ ra rằng tất những hướng tiếp cận này có quan hệ với nhau, và với một đa tạp định hướng, đóng, các số Betti định nghĩa trong đồng điều đơn hình cũng bằng các số Betti định nghĩa trong đối đồng điều de Rham.
Quan hệ với lý thuyết phạm trù
Nói chung, tất cả các xây dựng trong tôpô đại số đều có tính chất hàm tử. Các nhóm cơ bản, đồng điều, đối đồng điều không chỉ là các bất biến (theo nghĩa hai không gian tôpô đồng phôi thì có các nhóm liên kết đẳng cấu) của không gian tôpô nền, một ánh xạ liên tục giữa các không gian còn cảm sinh một đồng cấu giữa các nhóm liên kết. Những đồng cấu này có thể dùng để chỉ ra sự không tồn tại (hoặc sâu sắc hơn, chỉ ra sự tồn tại) của các ánh xạ.
Ứng dụng của tôpô đại số
Các ứng dụng cổ điển của tôpô đại số:
- Định lý đường cong Jordan: Mọi đường cong đóng trong R^2 đều chia R^2 thành đúng 2 thành phần liên thông nhận nó là biên. Tổng quát hơn, một tập con X của R^n mà đồng phôi với S^(n-1) thì sẽ chia R^n thành đúng 2 phần liên thông cùng nhận X làm biên.
- Định lý điểm bất động Brouwer: mọi ánh xạ liên tục từ một n-đĩa đơn vị vào chính nó có một điểm bất động.
- Mặt cầu n chiều có một trường vectơ đơn vị không triệt tiêu tại bất kì điểm nào nếu và chỉ nếu n là lẻ.
- Định lý Borsuk-Ulam: mọi xánh xạ liên tục từ mặt cầu n chiều vào không gian Euclide n chiều đều đồng nhất ít nhất hai điểm đối nhau.
- Nhóm con tuỳ ý của một nhóm tự do cũng là nhóm tự do. Kết quả này khá thú vị bởi vì phát biểu là thuần tuý đại số nhưng chứng minh đơn giản nhất dựa trên tôpô. Nghĩa là mọi nhóm tự do G có thể được xem như nhóm cơ bản của một đồ thị X. Định lý chính về không gian phủ nói rằng mọi nhóm con H của G là nhóm cơ bản của một không gian phủ Y nào đó của X; nhưng mọi Y như vậy lại là một đồ thị. Vì vậy nhóm cơ bản H của nó là tự do.
- Bài toán mở nổi tiếng nhất trong tôpô đại số là giả thuyết Poincaré. Bài toán này được xem là đã được giải quyết bởi Grigori Perelman.
- Trong lý thuyết đồng luân còn nhiều điều bí ẩn, nổi tiếng nhất là việc mô tả chính xác các nhóm đồng luân của mặt cầu.
👁️
1 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚
**Tôpô đại số** là một nhánh của toán học sử dụng các công cụ của đại số để nghiên cứu các không gian tôpô. ## Phương pháp bất biến đại số Mục đích là xem
nhỏ|Dưới con mắt tôpô học, cái cốc và cái vòng là một **Tô pô** hay **tô pô học** có gốc từ trong tiếng Hy Lạp là topologia (tiếng Hy Lạp: τοπολογία) gồm _topos_ (nghĩa là
**Đại số** là một nhánh của toán học nghiên cứu những hệ thống trừu tượng nhất định gọi là cấu trúc đại số và sự biến đổi biểu thức trong các hệ thống này. Đây
phải|nhỏ|250x250px| Đường cong này có số quấn quanh điểm _p_ bằng hai. Trong toán học, **số quấn** của một đường cong kín trong mặt phẳng quanh một điểm cho trước là một số nguyên biểu
Trong toán học, **tô pô vi phân** là lĩnh vực nghiên cứu về những hàm số khả vi trên đa tạp khả vi. Nhánh này có mối liên hệ gần gũi với hình học vi
**Không gian tôpô** là những cấu trúc cho phép người ta hình thức hóa các khái niệm như là sự hội tụ, tính liên thông và tính liên tục. Những dạng thường gặp của **không
Trong toán học, **nhóm cơ bản** là một trong những khái niệm cơ bản của tô pô đại số. Mỗi một điểm trong không gian tô pô, có một nhóm cơ bản liên kết với
thumb|right|[[Đường cong Tschirnhausen là một ví dụ về đường cong đại số bậc ba.]] Trong toán học, **đường cong phẳng đại số affin** là tập nghiệm của đa thức hai biến. **đường cong phẳng đại
Trong tô pô và các ngành liên quan của toán học, một **không gian rời rạc** là một ví dụ cực kì đơn giản của một không gian topo hay các cấu trúc tương tự,
Trong tô pô, đặc biệt là tô pô đại số, không gian phủ là một quan hệ giữa hai không gian tô pô đồng phôi địa phương. Trong số các không gian phủ, không gian
Trong tô-pô đại số, **groupoid cơ bản** của một không gian tô-pô khái quát khái niệm nhóm cơ bản. Nó là một bất biến tô-pô, và do đó có thể được sử dụng để phân
nhỏ|Quấn một hình cầu hai chiều quanh một hình cầu khác. Trong toán học, và cụ thể hơn là trong tô pô đại số, các **nhóm đồng luân của hình cầu** là các bất biến
nhỏ| Phần ảo của logarit phức. Cố gắng xác định logarit phức trên **C**\{0} sẽ cho các giá trị khác nhau với các đường dẫn khác nhau. Điều này dẫn đến một nhóm đơn đạo
thumb|right| Mặt yên ngựa (mặt hyperbolic paraboloid). thumb|right|Chai Klein trong không gian 3 chiều. Trong toán học, cụ thể là trong topo, một **mặt** là một đa tạp topo 2 chiều. Ví dụ quen thuộc
Trong toán học, **định lý** **Borsuk-Ulam** khẳng định rằng tất cả các hàm liên tục từ một hình cầu _n_ chiều vào một không gian Euclid _n_ chiều sẽ gửi ít nhất một cặp điểm
Trong toán học, cụ thể là lý thuyết nhóm, **tích tự do** là một kiến tạo từ hai nhóm và , cho kết quả là một nhóm mới (xem xây dựng ở
nhỏ|346x346px| Hạt nhân và ảnh của ánh xạ Trong toán học, **hạt nhân** (_kernel_) của một ánh xạ tuyến tính, còn gọi là **hạch** hay **không gian vô hiệu** (_null space_), là không gian vectơ
**Tối ưu hóa cấu trúc (Topology Optimization-TO**) là phương pháp tối ưu hóa thiết kế cơ khí bằng phương pháp toán học. Mục tiêu là tìm phân bố vật liệu tối ưu cho thiết kế
thế=Groups of two to twelve dots, showing that the composite numbers of dots (4, 6, 8, 9, 10, and 12) can be arranged into rectangles but the prime numbers cannot|nhỏ| Hợp số có thể được
thumb|right|Các thao tác bước xoay [[Rubik|khối lập phương Rubik tạo thành nhóm khối lập phương Rubik.]] Trong toán học, một **nhóm** (group) là một tập hợp các phần tử được trang bị một phép toán
**Amalie Emmy Noether** (, ; ; 23 tháng 3 năm 1882 – 14 tháng 4 năm 1935) là một nhà toán học người Đức nổi tiếng vì những đóng góp nền tảng và đột phá
Trong khoa học máy tính, **thứ tự tô pô** của một đồ thị có hướng là một thứ tự sắp xếp của các đỉnh sao cho với mọi cung từ _u_ đến _v_ trong đồ
Trong toán học, và đặc biệt hơn trong tôpô đại số và tổ hợp đa diện, **đặc trưng Euler** (hoặc **đặc trưng Euler-Poincaré**) là một topo bất biến, một số mà nó mô tả hình
nhỏ|Hình 3: Một biến đổi đồng luân tách cà phê thành xuyến. nhỏ|Hình 4: Hai đường đậm là đồng luân theo các điểm cuối của chúng. Các hình ảnh động mô tả một phép biến
**Jean-Pierre Serre** (sinh ngày 15 tháng 9 năm 1926) là một nhà toán học người Pháp nghiên cứu trong lĩnh vực hình học đại số, lý thuyết số và tô pô học. Ông đã nhận
Minh họa của định lý đường cong Jordan. Đường cong Jordan (vẽ bằng màu đen) chia mặt phẳng thành 2 phần: "phần trong" (màu xanh) và "phần ngoài"(màu hồng). **Định lý đường cong Jordan** là
Mọi điểm trong không gian Euclid ba chiều biểu hiện trong hệ quy chiếu [[Hệ tọa độ Descartes|Descartes]] Khoảng 300 năm TCN, nhà toán học Hy Lạp cổ đại Euclid đã tiến hành nghiên cứu
Trong toán học, đặc biệt là lý thuyết đồng luân, **thớ đồng luân** (đôi khi được gọi là **thớ ánh xạ**) là một cách gán một thành thớ với một hàm liên tục tùy ý
nhỏ|Một mặt cong giống 2 Trong hình học và các ngành toán học liên quan, **giống** có một vài ý nghĩa khác nhau nhưng có liên hệ gần gũi. Khái niệm phổ biến nhất, giống
Trong lý thuyết nhóm thuộc đại số trừu tượng, **nhóm Quỷ** M (còn gọi là **quỷ Fischer–Griess** hay **người khổng lồ dễ gần**) là nhóm sporadic đơn giản lớn nhất, với cấp: 2463205976112133171923293141475971 = 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000 ≈
Trong tô pô, một không gian tôpô được gọi **đơn liên** nếu nó liên thông đường và nhóm cơ bản của nó tại mọi điểm là tầm thường (hay mọi vòng đều đồng luân với
phải|nhỏ| Một nhát cắt của một phân thớ . Một nhát cắt cho phép không gian cơ sở được đồng nhất với một không gian con của . phải|nhỏ|
**Định lý bất biến miền **(Invariance of domain) còn có tên gọi là **Định lý Brouwer về tính bất biến của miền** (domain), được chứng minh bởi nhà toán học Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966)
**0** (được đọc là "không", còn tiếng Anh đọc là **zero**, bắt nguồn từ từ tiếng Pháp _zéro_ /zeʁo/) là số nguyên nằm giữa số -1 và số 1. Số không là chữ số cuối
Trong toán học, **Lớp đặc trưng** là cách để hợp mỗi phân thớ chính của _X_ với một lớp đối đồng điều của _X_. Lớp đối đồng điều đo độ "xoắn" của phân thớ và
nhỏ| Các điểm đối cực trên một [[Đường tròn|vòng tròn cách nhau 180 độ. ]] Trong toán học, **điểm đối cực** của một điểm trên bề mặt của một quả cầu là điểm mà đối
Trong toán học, một **phép nhúng** khái quát hóa ý tưởng về việc đặt một vật thể vào trong một vật thể khác (một cách phù hợp). ## Tô pô và hình học ### Tô
nhỏ|240x240px| Hằng số toán học [[Pi| là một số vô tỉ được thể hiện nhiều trong văn hóa đại chúng. ]] phải|nhỏ|240x240px| Số [[Căn bậc hai của 2| là số vô tỉ ]] Trong toán
Trong toán học, cụ thể là trong tô pô đại cương và các ngành liên quan, **lưới** hay còn gọi là **dãy Moore-Smith** là một khái niệm mở rộng của dãy. Về bản chất, một
**Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh** (tiếng Anh: _Ho Chi Minh City University of Education_ – **HCMUE**) được thành lập ngày 27 tháng 10 năm 1976 theo Quyết định số 426/TTg
nhỏ|[[Tập hợp Mandelbrot, đặt tên theo người đã khám phá ra nó, là một ví dụ nổi tiếng về fractal]] nhỏ|Mandelbrot năm 2007 nhỏ|Xây dựng một bông tuyết Koch cơ bản từ tam giác đều
thumb|[[Bảng tuần hoàn]] **Nguyên tố hóa học**, thường được gọi đơn giản là **nguyên tố**, là một chất hóa học tinh khiết, bao gồm một kiểu nguyên tử, được phân biệt bởi số hiệu nguyên
Trong hình học và tô pô, thông thường một đa tạp được xác định là một không gian Hausdorff. Trong tô pô đại cương, tiên đề này được nới lỏng, và người ta nghiên cứu
nhỏ|Lý thuyết biểu diễn nghiên cứu cách các cấu trúc đại số "biến đổi" các đối tượng toán học. Ví dụ đơn giản nhất là cách [[Nhóm nhị diện|nhóm đối xứng của các đa giác
**Nền văn minh La Mã cổ đại** đã có lịch sử lâu đời và để lại nhiều giá trị to lớn cho nhân loại ngày nay trong nhiều lĩnh vực. **Roma** ngày nay trước kia
nhỏ|285x285px|Các số hữu tỉ (ℚ) được bao gồm trong các [[số thực (ℝ), trong khi bản thân chúng bao gồm các số nguyên (ℤ), đến lượt nó bao gồm các số tự nhiên (ℕ)]] Trong
**Đại học Columbia**, tên chính thức là **Đại học Columbia ở Thành phố New York** () là một viện đại học nghiên cứu tư thục ở quận Manhattan, Thành phố New York, Hoa Kỳ. Một
thumb|Ước lượng Số chiều Hausdorff của bờ biển nước Anh Trong toán học, **Số chiều Hausdorff** (còn được biết đến như là **Số chiều Hausdorff - Besicovitch**) là một số thực không âm mở rộng
**Vladimir Voevodsky** (, 4 tháng 6 năm 1966 – 30 tháng 9 năm 2017) là một nhà toán học người Nga. Nghiên cứu của ông bao gồm phát triển một lý thuyết đồng luân cho
Trong phạm vi của ngành vũ trụ học, **hằng số vũ trụ** (hay **hằng số vũ trụ học**) là dạng mật độ năng lượng đồng nhất gây ra sự _giãn nở gia tốc_ của vũ