✨Toán tử div

Trong giải tích vectơ, toán tử div hay toán tử phân kỳ hay suất tiêu tán là một toán tử đo mức độ phát (ra) hay thu (vào) của trường vectơ tại một điểm cho trước; div của một trường vectơ là một hàm số thực có thể âm hay dương. Ví dụ, ta xét xem không khí được hâm nóng hay làm nguội đi. Trường vectơ trong ví dụ này là vận tốc của không khí di chuyển tại từng điểm. Nếu không khí được hâm nóng lên trong một vùng nào đó nó sẽ nở ra trong tất cả mọi hướng do vậy các vectơ vận tốc sẽ chỉ hướng ra khỏi vùng đó. Do đó suất tiêu tán trong vùng đó sẽ có giá trị dương, vì vùng đó là nguồn phát nhiệt. Nếu như không khí lạnh đi và co lại, suất tiêu tán vùng đó sẽ có giá trị âm và vùng được gọi là nguồn thu nhiệt. Một cách chính xác hơn, suất tiêu tán tượng trưng cho mật độ thể tích của một thông lượng đi ra khỏi trường vectơ từ một thể tích rất nhỏ xung quanh một điểm cho trước.

Định nghĩa

Toán tử div áp dụng trên một trường vectơ $\backslash textbf\{F\}$ được định nghĩa bởi:

:$\{\backslash rm\; div\}\backslash textbf\{F\}\backslash equiv\backslash nabla\backslash cdot\backslash textbf\{F\}\backslash equiv\backslash lim\_\{V\backslash to\; 0\}\backslash frac\{\backslash oint\_S\backslash textbf\{F\}\backslash cdot\; d\backslash textbf\{A\{V\}$.

Trong tọa độ Descartes, với trường vectơ được biểu diễn là $\backslash textbf\{a\}=(a\_x,\; a\_y,\; a\_z)$, toán tử này được viết:

:$\backslash nabla\backslash cdot\backslash textbf\{a\}=\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; a\_x\}\{\backslash partial\; x\}+\backslash frac\{\backslash partial\; a\_y\}\{\backslash partial\; y\}+\backslash frac\{\backslash partial\; a\_z\}\{\backslash partial\; z\}\backslash right)$.