✨Hàm lồi chính thường

Trong giải tích toán học (đặc biệt là giải tích lồi) và tối ưu hóa, hàm lồi chính thường (proper convex function) là một hàm $f$ lấy giá trị trong trục số thực mở rộng sao cho

:

tại ít nhất một giá trị $x$ và

: $f(x)\; >\; -\backslash infty$

với mọi $x$. Điều đó có nghĩa là, một hàm lồi là chính thường nếu nó có miền hữu hiệu khác rỗng và không bao giờ đạt giá trị $-\backslash infty$. Hàm lồi không có tính chính thường được gọi là hàm lồi phi chính thường (improper convex function).

Hàm lõm chính thường là một hàm $g$ sao cho $f\; =\; -g$ là hàm lồi chính thường.

Tính chất

Với mọi hàm lồi chính thường $f$ trên $\backslash mathbb\{R\}^n$, thì tồn tại $b$ thuộc $\backslash mathbb\{R\}^n$ và $\backslash beta$ thuộc $\backslash mathbb\{R\}$ sao cho

: $f(x)\; \backslash ge\; x\; \backslash cdot\; b\; -\; \backslash beta$

với mọi $x$.

Tổng của hai hàm lồi chính thường là một hàm lồi, nhưng có thể không phải là một hàm chính thường. Ví dụ, với hai tập lồi khác rỗng $A\; \backslash subset\; X$ và $B\; \backslash subset\; X$ trong không gian vectơ $X$, hai hàm chỉ thị $I\_A$ và $I\_B$ đều là hàm lồi chính thường, nhưng nếu $A\; \backslash cap\; B\; =\; \backslash emptyset$ thì $I\_A\; +\; I\_B$ luôn bằng $+\backslash infty$.

Tổng chập infimal của hai hàm lồi chính thường là một hàm lồi nhưng chưa hẳn là một hàm chính thường.