✨Phần bù (lý thuyết tập hợp)

Trong lý thuyết tập hợp, phần bù hay bù của tập hợp (toán học) thường được ký hiệu là (hoặc ), là tập hợp các phần tử không nằm trong .

Khi tất cả các tập đều nằm trong một vũ trụ (tập vũ trụ là tập tất cả các tập hợp đang cần xét), thì phần bù tuyệt đối của là tập tất cả các phần tử thuộc nhưng không nằm trong .

Phần bù tương đối của tương ứng với tập hợp còn được gọi là hiệu tập hợp giữa với , đượ ký hiệu là $B\; \backslash setminus\; A,$ và là tập các phần tử thuộc nhưng không thuộc về .

Phần bù tuyệt đối

thumb|Phần bù tuyệt đối của hình tròn màu trắng là miền màu đỏ

Định nghĩa

Nếu là một tập hợp, thì phần bù tuyệt đối của (hay nói gọn đi là bù của ) là tập tất cả phần tử không thuộc (tập này nằm trong một tập lớn hơn đã được định nghĩa trước). Nói cách khác, gọi là tập đang chứa tất cả các phần tử đang cần phải xét (nếu như không cần xác định thì có nghĩa nó đã được định nghĩa trước ngay từ đầu), khi đó phần bù tuyệt đối của là phần bù tương đối của trong :

$$A^\backslash complement\; =\; U\; \backslash setminus\; A.$$

Nói rõ hơn:

$$A^\backslash complement\; =\; \backslash \{\; x\; \backslash in\; U\; :\; x\; \backslash notin\; A\; \backslash \}.$$

Phần bù tuyệt đối của thường được ký hiệu bởi Các cách ký hiệu khác bao gồm $\backslash overline\; A,\; A\text{'},$

Các ví dụ

• Giả sử rằng tập vũ trụ là tập tất cả các số nguyên. Nếu là tập các số lẻ thì bù của là tập các số chẵn. Nếu là tập hợp các bội của 3, thì bù của là tập các số đồng dư với 1 hoặc 2 môđun 3 (nói đơn giản hơn là các số không chia hết cho 3).
• Giả sử rằng tập vũ trụ là bộ bài chuẩn 52 lá, nếu tập hợp là tập các lá bích, thì bù của là hợp của tập lá cơ, tập lá rô và tập lá chuồn. Nếu tập là hợp của tập lá chuồn và rô thì bủ của là hợp của tập lá cơ và bích.

Tính chất

Gọi và là hai tập hợp nằm trong vũ trụ . Sau đây là hai tính chất quan trọng của phần bù tuyệt đối:

Luật De Morgan: hay còn gọi là hiệu tập hợp của với , là tập tất cả các phần tử thuộc nhưng không thuộc . thumb|230x230px|Phần bù tương đối của trong dưới ký hiệu toán học: $B\; \backslash cap\; A^\backslash complement\; =\; B\; \backslash setminus\; A$ Phần bù tương đối của trong được ký hiệu là $B\; \backslash setminus\; A$ theo tiêu chuẩn ISO 31-11. Đôi khi cũng được ký hiệu là $B\; -\; A,$ song ký hiệu này không rõ ràng trong một số ngữ cảnh (ví dụ chẳng hạn, các phép tập hợp của Minkowski trong giải tích hàm). Chẳng hạn như, nó có thể coi là tập tất cả các phần tử $b\; -\; a,$ trong đó thuộc về và thuộc về .

Dưới ký hiệu toán học:

$$B\; \backslash setminus\; A\; =\; \backslash \{\; x\backslash in\; B\; :\; x\; \backslash notin\; A\; \backslash \}.$$

Các ví dụ

• $\backslash \{\; 1,\; 2,\; 3\backslash \}\; \backslash setminus\; \backslash \{\; 2,3,4\backslash \}\; =\; \backslash \{\; 1\; \backslash \}.$
• $\backslash \{\; 2,\; 3,\; 4\; \backslash \}\; \backslash setminus\; \backslash \{\; 1,2,3\; \backslash \}\; =\; \backslash \{\; 4\; \backslash \}\; .$
• Nếu $\backslash mathbb\{R\}$ là tập các số thực và $\backslash mathbb\{Q\}$ là tập các số hữu tỉ thì $\backslash mathbb\{R\}\backslash setminus\backslash mathbb\{Q\}$ là tập các số vô tỉ

Tính chất

Đặt , , và là các tập hợp. Các định thức sau chỉ ra các tính chất quan trọng của phần bù tương đối:

: $C\; \backslash setminus\; (A\; \backslash cap\; B)\; =\; (C\; \backslash setminus\; A)\; \backslash cup\; (C\; \backslash setminus\; B).$ : $C\; \backslash setminus\; (A\; \backslash cup\; B)\; =\; (C\; \backslash setminus\; A)\; \backslash cap\; (C\; \backslash setminus\; B).$ : $C\; \backslash setminus\; (B\; \backslash setminus\; A)\; =\; (C\; \backslash cap\; A)\; \backslash cup\; (C\; \backslash setminus\; B),$ ::trong đó có trường hợp đặc biệt $C\; \backslash setminus\; (C\; \backslash setminus\; A)\; =\; (C\; \backslash cap\; A)$ chứng minh rằng phần giao của hai tập hợp có thể biểu diễn bằng hiệu tập hợp) : $(B\; \backslash setminus\; A)\; \backslash cap\; C\; =\; (B\; \backslash cap\; C)\; \backslash setminus\; A\; =\; B\; \backslash cap\; (C\; \backslash setminus\; A).$ : $(B\; \backslash setminus\; A)\; \backslash cup\; C\; =\; (B\; \backslash cup\; C)\; \backslash setminus\; (A\; \backslash setminus\; C).$ : $A\; \backslash setminus\; A\; =\; \backslash empty.$ : $\backslash empty\; \backslash setminus\; A\; =\; \backslash empty.$ : $A\; \backslash setminus\; \backslash empty\; =\; A.$ : $A\; \backslash setminus\; U\; =\; \backslash empty.$ : Nếu $A\backslash subset\; B$, thì $C\backslash setminus\; A\backslash supset\; C\backslash setminus\; B$. : $A\; \backslash supseteq\; B\; \backslash setminus\; C$ tương đương với $C\; \backslash supseteq\; B\; \backslash setminus\; A$.

Quan hệ bù

Quan hệ hai ngôi $R$ được định nghĩa là tập con của tích tập hợp $X\; \backslash times\; Y.$ Quan hệ bù $\backslash bar\{R\}$ là bù của quan hệ $R$ trong $X\; \backslash times\; Y.$ Bù của quan hệ $R$ được viết ngắn gọn như sau

$$\backslash bar\{R\}\; \backslash \; =\; \backslash \; (X\; \backslash times\; Y)\; \backslash setminus\; R.$$ Trong lý thuyết, $R$ được xem là ma trận logic trong đó các hàng biểu diễn các phần tử thuộc $X,$ còn cột biểu diễn các phần tử thuộc $Y.$ Khi $aRb$ đúng, thì giá trị của $aRb$ bằng với 1 trong ô hàng $a,$ cột $b.$ trong ma trận lôgic. Ma trận lôgic của quan hệ bù của $R$ được xây bằng cách đổi các số 1 sang 0 và các số 0 về số 1 trong ma trận lôgic của $R$

Quan hệ bù cùng với hợp quan hệ,quan hệ ngược và đại số tập hợp là các phép toán sơ cấp của vi tích phân quan hệ.

Ký hiệu trong LaTeX

Trong ngôn ngữ soạn thảo tài liệu LaTeX, lệnh \setminus thường được dùng để hiển thị ký hiệu hiệu tập hợp, ký hiệu này gần giống với dấu gạch chéo ngược . Khi được hiển thị, lệnh \setminus giống ý hệt \backslash, chỉ ngoại trừ việc nó có nhiều khoảng cách đằng trước và đằng sau dấu gạch chéo, na ná chuỗi lệnh LaTeX \mathbin{\backslash}. Phiên bản khác \smallsetminus có trong gói amssymb. Ký hiệu $\backslash complement$ (ngược với $C$) lấy từ lệnh \complement. (Nó tương với ký hiệu Unicode ∁.)

Trong ngôn ngữ lập trình

Một số ngôn ngữ lập trình đã cài đặt sẵn một số cấu trúc dữ liệu như tập hợp. Thường thì cấu trúc đó có hoạt động giống với tập hữu hạn, tức là nó chỉ có hữu hạn số phần tử không được sắp theo thứ tự nào cả. Trong một số trường hợp, các phần tử trong tập không nhất thiết phải phân biệt, tức là cấu trúc lúc này mô tả đa tập hợp (multiset) thay vì tập hợp thông thường. Các ngôn ngữ này thường có toán tử hoặc hàm viết sẵn cho phần bù và hiệu tập hợp.

Các toán tử này có thể áp dụng cho cả các cấu trúc dữ liệu không phải tập hợp trong toán học, ví dụ danh sách liên kết hoặc mảng. Do đó một vài ngôn ngữ lập trình có sẵn hàm set_difference kể cả khi đầu vào của nó không nhất thiết phải là tập hợp.