✨Phân giải (đại số)

Trong toán học, và cụ thể hơn là trong đại số đồng điều, một phân giải (hoặc phân giải trái) là một dãy khớp các mô-đun (hay nói chung là các đối tượng của một phạm trù abel), được sử dụng để xác định các bất biến đặc trưng cho cấu trúc mô-đun (hay cấu trúc của phạm trù abel).

Một phân giải là hữu hạn nếu chỉ có một số hữu hạn các vật là khác $0$.

Nói chung, các vật trong dãy thường bị ép có một thuộc tính P (ví dụ là tự do). Do đó, người ta nói về một phân giải P. Đặc biệt, mọi mô-đun đều có phân giải tự do, phân giải xạ ảnh và phân giải phẳng, là các phân giải tương ứng với các mô-đun tự do, mô-đun xạ ảnh hoặc mô-đun phẳng. Tương tự, mọi mô-đun đều có phân giải nội xạ, là phân giải bên phải bao gồm các mô-đun nội xạ.

Phân giải mô-đun

Định nghĩa

Cho một _R-_mô-đun M, một phân giải trái (hoặc đơn giản là phân giải) của M là một dãy khớp (có thể là vô hạn) các R -mô-đun

: $\backslash cdots\backslash overset\{d\_\{n+1\{\backslash longrightarrow\}E\_n\backslash overset\{d\_n\}\{\backslash longrightarrow\}\backslash cdots\backslash overset\{d\_3\}\{\backslash longrightarrow\}E\_2\backslash overset\{d\_2\}\{\backslash longrightarrow\}E\_1\backslash overset\{d\_1\}\{\backslash longrightarrow\}E\_0\backslash overset\{\backslash varepsilon\}\{\backslash longrightarrow\}M\backslash longrightarrow0.$

Các đồng cấu d_i được gọi là các ánh xạ biên. Ánh xạ $\backslash varepsilon$ được gọi là ánh xạ nhảy. Ta cũng viết ngắn gọn

: $E\_\backslash bullet\backslash overset\{\backslash varepsilon\}\{\backslash longrightarrow\}M\backslash longrightarrow0.$

Khái niệm đối ngẫu của phân giải trái là phân giải phải. Cụ thể, cho một _R-_mô-đun M, một phân giải phải của nó là một dãy khớp các R-mô-đun

: $0\backslash longrightarrow\; M\backslash overset\{\backslash varepsilon\}\{\backslash longrightarrow\}C^0\backslash overset\{d^0\}\{\backslash longrightarrow\}C^1\backslash overset\{d^1\}\{\backslash longrightarrow\}C^2\backslash overset\{d^2\}\{\backslash longrightarrow\}\backslash cdots\backslash overset\{d^\{n-1\{\backslash longrightarrow\}C^n\backslash overset\{d^n\}\{\backslash longrightarrow\}\backslash cdots,$

Ta cũng viết

: $0\backslash longrightarrow\; M\backslash overset\{\backslash varepsilon\}\{\backslash longrightarrow\}C^\backslash bullet.$